क्या यह परीक्षण करना संभव है कि क्या एक कम्प्यूटेशनल संख्या तर्कसंगत या पूर्णांक है?

Question

यदि कम्प्यूटेशनल संख्या तर्कसंगत या पूर्णांक है, तो क्या यह एल्गोरिदमिक रूप से परीक्षण करना संभव है? दूसरे शब्दों में, क्या यह एक पुस्तकालय के लिए संभव होगा जो कार्यों को प्रदान करने के लिए कम्प्यूटेशनल संख्याओं को लागू करता है isIntegerया isRational?

मैं अनुमान लगा रहा हूं कि यह संभव नहीं है, और यह किसी भी तरह से इस तथ्य से संबंधित है कि यदि दो संख्याएं समान हैं तो परीक्षण करना संभव नहीं है, लेकिन मैं यह नहीं देखता कि इसे कैसे साबित किया जाए।

संपादित करें: एक गणनीय संख्या $x$ एक समारोह द्वारा दिया जाता है $f_x(\epsilon)$ इस बात का एक तर्कसंगत सन्निकटन लौट सकते हैं $x$ परिशुद्धता के साथ $\epsilon$ : $|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilon$ , किसी के लिए $\epsilon > 0$ । इस तरह के समारोह को देखते हुए यह अगर परीक्षण के लिए संभव है $x \in \mathrm{Q}$ या $x \in \mathrm{Z}$ ?

Comments

कम्प्यूटेबल नंबर कैसे दिया जाता है?

— त्सुयोशी इतो

नंबर कैसे दिया जाता है यह निश्चित रूप से प्रासंगिक है। एक मूर्खतापूर्ण उदाहरण के रूप में, यदि इनपुट में एक ध्वज है चाहे संख्या एक पूर्णांक है या नहीं, यह तय करना कि इनपुट एक पूर्णांक है या नहीं यह तुच्छ है।

— त्सुयोशी इतो

इसी तरह के सवाल: cstheory.stackexchange.com/questions/10495/…

— क्रिस्टोफ़र अर्नसेफेल्ट हेन्सन

(१) "आप कैसे जानते हैं कि यह पूर्णांक है?" मुझे क्यों परवाह करनी चाहिए? आपने संचालन के बारे में आवश्यकताओं के बारे में कुछ नहीं कहा। (2) "यदि आप अब तक दो उत्तर देखते हैं, तो वे कार्यान्वयन के बारे में कुछ भी उल्लेख नहीं करते हैं।" मुझे नहीं पता कि आपके यहां "कार्यान्वयन" से क्या मतलब है, या यह वाक्य मेरी टिप्पणियों के लिए प्रासंगिक क्यों है।

— त्सुयोशी इतो

मुझे उम्मीद है कि मेरा जवाब इस चर्चा को झुठलाएगा। त्सुयोशी, आप गलत हैं, यह प्रासंगिक है कि क्या संचालन कम्प्यूटेशनल हैं। हम एक वैक्यूम में वास्तविक संख्याओं को लागू नहीं करते हैं, लेकिन उन्हें हेरफेर करने के लिए । आपके अनुसार, हम सब कुछ को लागू करने के लिए केवल इकाई प्रकार का उपयोग कर सकते हैं। हाँ, हम कर सकते थे, लेकिन फिर कुछ कार्यों गणनीय नहीं होगा, और वह यह है कि ठीक कसौटी है जिसके द्वारा हम अभ्यावेदन न्यायाधीश।

— लेडी बाउर

Answer 1

एक वास्तविक संख्या को "प्रतिनिधित्व" या "लागू" करने के लिए इसका क्या अर्थ है, इस बारे में भ्रमित होना आसान है। वास्तव में, हम टिप्पणियों में एक चर्चा देख रहे हैं जहां प्रतिनिधित्व विवादास्पद है। तो मुझे यह पहले संबोधित करते हैं।

हम कैसे जानते हैं कि एक कार्यान्वयन सही है?

सिद्धांत जो बताता है कि कंप्यूटर में चीजों का प्रतिनिधित्व कैसे किया जाता है, वह वास्तविकता है । मूल विचार यह है कि, एक सेट दिया है , हम एक डेटाप्रकार लेने τ और हर के लिए एक्स ∈ एक्स एक प्रकार की मूल्यों का वह समूह τ जो एहसास यह। हम लिखने वी ⊢ एक्स ∈ एक्स जब वी एक मूल्य है कि एहसास है x । उदाहरण के लिए (मैं कोई अच्छे कारण के लिए हास्केल का उपयोग होना चाहिए), की एक समझदार कार्यान्वयन एन डेटाप्रकार हो सकता है जहां वी ⊢ कश्मीर ∈ एन जब $X$$\tau$$x \in X$$\tau$$v \vdash x \in X$$v$$x$$\mathbb{N}$Integer$v \vdash k \in \mathbb{N}$$v$ को अंक लिए (इस प्रकार विशेष रूप से एक प्राकृतिक संख्या का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, और न ही एक विचलन कार्यक्रम करता है)। लेकिन कुछ जोकर द्वारा चल सकते हैं और सुझाव दे सकते हैं कि हम टी आर यू ई oker के साथ प्राकृतिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग करते हैं$\overline{k}$-42Bool और एफ एक एल एस ई ⊢ n ∈ एन के लिए n ≠ 42 । यह गलत क्यों है? हमें एककसौटी चाहिए।$\mathtt{True} \vdash 42 \in \mathbb{N}$$\mathtt{False} \vdash n \in \mathbb{N}$$n \neq 42$

"जोकर संख्या" के मामले में आसान अवलोकन यह है कि इसके अलावा इसे लागू नहीं किया जा सकता है। मैं आपको बता मैं दो नंबर हैं, दोनों के प्रतिनिधित्व वाले मान लीजिए । क्या आप उनकी राशि के लिए एक रियाल्टार दे सकते हैं? खैर, यह निर्भर करता है कि योग 42 है, लेकिन आप नहीं बता सकते। चूंकि जोड़ "प्राकृतिक संख्याएं क्या हैं" का एक अनिवार्य हिस्सा है, यह अस्वीकार्य है। दूसरे शब्दों में, कार्यान्वयन सेटों के बारे में नहीं है, बल्कि संरचनाओं के बारे में है , अर्थात, हमें इस तरह से सेटों का प्रतिनिधित्व करना होगा ताकि संबंधित संरचना को लागू करना भी संभव हो। मुझे इस पर जोर देने दें:$\mathtt{False}$

हम संरचनाएं लागू करते हैं, नंगे सेट नहीं। इसलिए, हमें कार्यान्वयन को सही करने के लिए, संचालन और सभी स्वयंसिद्धों के साथ, संपूर्ण संरचना को लागू करने में सक्षम होना चाहिए।

यदि आप इस सिद्धांत का पालन नहीं करते हैं, तो आपको शुद्धता का एक वैकल्पिक गणितीय मानदंड सुझाना होगा । मुझे एक का पता नहीं है।

उदाहरण: प्राकृतिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व

प्राकृतिक संख्याओं के लिए प्रासंगिक संरचना का वर्णन पीनो एक्सियलम्स द्वारा किया गया है, और इसे लागू करने वाले महत्वपूर्ण स्वयंसिद्ध इंडक्शन (लेकिन , उत्तराधिकारी, + और × ) भी है। हम वास्तविकता का उपयोग करके गणना कर सकते हैं कि प्रेरण का कार्यान्वयन क्या करता है। यह एक नक्शा (जहां अभी तक अज्ञात डेटाटाइप है जो प्राकृतिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करता है) बन जाता है$0$$+$$\times$nat

induction : 'a -> (nat -> 'a -> 'a) -> 'nat -> 'a

संतोषजनक induction x f zero = xऔर induction x f (succ n) = f n (induction x f n)। यह सब वास्तविकता से बाहर आता है। हमारे पास एक मानदंड है: प्राकृतिक संख्याओं का क्रियान्वयन सही है जब यह पीनो स्वयंसिद्धों के कार्यान्वयन की अनुमति देता है। इसी तरह का परिणाम प्राप्त किया जाएगा यदि हमने फन्तेरे लिए प्रारंभिक बीजगणित के रूप में संख्याओं के लक्षण वर्णन का उपयोग किया ।$X \mapsto 1 + X$

वास्तविक संख्याओं का सही क्रियान्वयन

आइए हम वास्तविक संख्या और प्रश्न पर ध्यान दें। पहला सवाल यह पूछना है कि "वास्तविक संख्याओं की प्रासंगिक संरचना क्या है?" जवाब है: आर्किमिडीज कॉची पूरा ऑर्डर किया हुआ क्षेत्र । यह "वास्तविक संख्या" का स्थापित अर्थ है। आपको इसे बदलने के लिए नहीं मिलता है, यह आपके लिए दूसरों द्वारा तय किया गया है (हमारे मामले में वैकल्पिक डेडेकिंड रियल, कॉची रियल के लिए आइसोमॉर्फिक है, जिसे हम यहां पर विचार कर रहे हैं।) आप इसका एक हिस्सा नहीं ले सकते। आपको यह कहने की अनुमति नहीं है कि "मुझे इसके अतिरिक्त कार्यान्वयन की परवाह नहीं है", या "मुझे आदेश की परवाह नहीं है"। यदि आप ऐसा करते हैं, तो आपको इसे "वास्तविक संख्या" नहीं कहना चाहिए, लेकिन "वास्तविक संख्याएं जहां हम रैखिक क्रम को भूल जाते हैं" जैसा कुछ।

मैं सभी विवरणों में नहीं जा रहा हूं, लेकिन मुझे यह समझाने की कोशिश करें कि संरचना के विभिन्न भाग कैसे वास्तविक पर विभिन्न संचालन देते हैं:

• आर्किमिडीज़ स्वयंसिद्ध के बारे में कंप्यूटिंग है तर्कसंगत reals का अनुमान
• क्षेत्र संरचना सामान्य अंकगणितीय संचालन देती है
• रैखिक क्रम हमें x < y का परीक्षण करने के लिए एक ठोस प्रक्रिया प्रदान करता है$x < y$
• कॉची पूर्णता हमें एक समारोह देता है lim : (nat -> real) -> realजो एक (के प्रतिनिधित्व) लेता है तेजी से कॉची अनुक्रम और अपनी सीमा देता है। (ए अनुक्रम तेजी से है अगर | एक्स एन - एक्स मीटर | ≤ 2 मिनट $(x_n)_n$ सभी के लिएमीटर,एन।)$|x_n - x_m| \leq 2^{\min(n,m)}$$m, n$

हमें जो नहीं मिलता है वह समानता के लिए एक परीक्षण कार्य है। लोकों के लिए स्वयंसिद्धों में कुछ भी नहीं है जो पूछता है कि निंदनीय हो। (इसके विपरीत, पीनो स्वयंसिद्ध का अर्थ है कि प्राकृतिक संख्याएं निर्णायक हैं, और आप केवल एक मजेदार अभ्यास के रूप में उपयोग करके यह साबित कर सकते हैं )।$=$eq : nat -> nat -> Boolinduction

यह एक तथ्य है कि मानवता द्वारा उपयोग किए जाने वाले वास्तविक का सामान्य दशमलव प्रतिनिधित्व बुरा है क्योंकि इसके साथ हम इसके अलावा लागू नहीं कर सकते हैं। अनंत मंटिसा के साथ फ्लोटिंग बिंदु भी विफल रहता है (व्यायाम: क्यों?)। हालाँकि, क्या काम करता है, पर हस्ताक्षर प्रतिनिधित्व, यानी, जिसमें हम नकारात्मक अंकों के साथ-साथ सकारात्मक लोगों को भी अनुमति देते हैं। या हम तर्कसंगत के अनुक्रमों का उपयोग कर सकते हैं जो तेजी से कॉची परीक्षण को संतुष्ट करते हैं, जैसा कि ऊपर कहा गया है।

त्सुओशी प्रतिनिधित्व कुछ भी लागू करता है, लेकिन आर नहीं$\mathbb{R}$

आइए हम वास्तविक के निम्नलिखित प्रतिनिधित्व पर विचार करें: एक वास्तविक को एक जोड़ी ( q , b ) द्वारा दर्शाया जाता है , जहाँ ( q n ) n एक तेजी से कैची अनुक्रम है जो x में परिवर्तित होता है और b एक बूलियन है जो दर्शाता है कि x एक पूर्णांक है। इसके लिए वास्तविक का प्रतिनिधित्व करने के लिए, हमें इसके अतिरिक्त कार्यान्वयन करना होगा, लेकिन जैसा कि यह पता चलता है कि हम बूलियन झंडे की गणना नहीं कर सकते हैं। तो यह वास्तविकताओं का प्रतिनिधित्व नहीं है। लेकिन यह अभी भी कुछ का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात् वास्तविक का सबसेट$x$$(q,b)$$(q_n)_n$$x$$b$$x$$\mathbb{Z} \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z})$। दरअसल, साकार व्याख्या के अनुसार एक संघ एक झंडा यूनियन हम में हैं के किस हिस्से का संकेत के साथ किया जाता है। वैसे, $\mathbb{Z} \cup (\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z})$ एक है नहीं के बराबर बाहर रखा गया बीच में, जब तक आप विश्वास करते हैं जो लागू नहीं किया जा सकता है और इसलिए इस चर्चा के लिए काफी अप्रासंगिक है। हम कंप्यूटर द्वारा चीजों को अंतर्ज्ञान से करने के लिए मजबूर हैं।$\mathbb{R}$

हम परीक्षण नहीं कर सकते कि क्या वास्तविक पूर्णांक है

अंत में, मैं उस प्रश्न का उत्तर दूं जो पूछा गया था। अब हम जानते हैं कि वास्तविक का एक स्वीकार्य प्रतिनिधित्व तर्कसंगत रूप से तीव्र कॉची दृश्यों द्वारा एक है। (एक महत्वपूर्ण प्रमेय में कहा गया है कि वास्तविक रूप से स्वीकार्य किसी भी दो का प्रतिनिधित्व वास्तव में अनिवार्य रूप से आइसोमॉर्फिक है)।

प्रमेय: यह परीक्षण करना कि क्या वास्तविक पूर्णांक है, निर्णायक नहीं है।

प्रमाण। मान लीजिए कि हम परीक्षण कर सकते हैं कि क्या कोई वास्तविक पूर्णांक है (निश्चित रूप से, वास्तविक एक तीव्र कैची अनुक्रम द्वारा महसूस किया गया है)। विचार, जो यदि आप चाहते हैं, तो आपको बहुत अधिक सामान्य प्रमेय साबित करने की अनुमति देगा, जो कि एक पूर्णांक के रूप में परिवर्तित होने वाले गैर-पूर्णांकों का एक तीव्र कैची अनुक्रम का निर्माण करना है । यह आसान है, बस x n = 2 - n लें । अगला, हल करने की समस्या को निम्नानुसार हल करें। ट्यूरिंग मशीन T को देखते हुए , y n = { x n if  T द्वारा एक नया अनुक्रम ( y n ) n परिभाषित करें$(x_n)_n$$x_n = 2^{-n}$$T$$(y_n)_n$ यही है, अनुक्रम की तरह नया अनुक्रम दिखता है(एक्सएन)nजब तकटीरन है, लेकिन फिर इसे "अटक" हो जाता हैएक्सहूँअगरटीचरण में हाल्टमीटर। बहुत महत्वपूर्ण बात, नया अनुक्रम भी एक तीव्र कैची अनुक्रम है (और हमटीहॉल्ट्सको जाने बिना यह साबित कर सकते हैं)। इसलिए, हम इसकी सीमाz= कीगणना कर सकते हैं

$$y_n = \begin{cases} x_n & \text{if $T$ has not stopped within $n$ steps}\\ x_m & \text{if $T$ stopped in step $m$ and $m \leq n$} \end{cases}$$ $(x_n)_n$$T$$x_m$$T$$m$$T$$z = \lim_n y_n$, क्योंकि हमारी वास्तविकताओं का प्रतिनिधित्व सही है। परीक्षण करें कि क्या एक पूर्णांक है। यदि यह है, तो यह 0 होना चाहिए और यह केवल तब होता है जब टी हमेशा के लिए चलता है। अन्यथा, z एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए T बंद होना चाहिए। QED।$z$$0$$T$$z$$T$

व्यायाम: उपरोक्त प्रमाण को यह दिखाने के लिए अनुकूलित करें कि हम तर्कसंगत संख्याओं के लिए परीक्षण नहीं कर सकते हैं। फिर इसे दिखाने के लिए अनुकूलित करें कि हम किसी भी गैर-तुच्छ चीज़ के लिए परीक्षण नहीं कर सकते (यह थोड़ा कठिन है)।

कभी-कभी लोग इस सभी परीक्षण व्यवसाय के बारे में भ्रमित हो जाते हैं। उन्हें लगता है कि हमने साबित कर दिया है कि हम कभी भी यह परीक्षण नहीं कर सकते हैं कि क्या वास्तविक पूर्णांक है। लेकिन निश्चित रूप से, 42 एक वास्तविक है और हम बता सकते हैं कि क्या यह पूर्णांक है। वास्तव में, कोई विशेष वास्तविक हमारे साथ आता है, , 88 ln 89 ,$\sin 11$$88 \ln 89$ , आदि, हम पूरी तरह से अच्छी तरह से बता सकते हैं कि क्या वे पूर्णांक हैं। संक्षेप में,हमबता सकते हैं क्योंकिहमारेपास अतिरिक्त जानकारी है: इन वास्तविकताओं को हमें दृश्यों के रूप में नहीं दिया जाता है, बल्कि प्रतीकात्मक अभिव्यक्तियों के रूप में दिया जाता है, जिनसे हम Tsuyoshi बिट की गणना कर सकते हैं। जैसे ही हमारे पास वास्तविक के बारे में एकमात्र जानकारी तर्कसंगत सन्निकटन का एक क्रम है, जो इसे परिवर्तित करता है (और मुझेअनुक्रम का वर्णन करने वाली एक प्रतीकात्मक अभिव्यक्तिनहींहै, लेकिन एक ब्लैक बॉक्स जोएनआउटपुट करता है।$e^{\pi \sqrt{163}}$$n$ इनपुट पर -th शब्द का ) तब हम मशीनों की तरह असहाय हो जाएगा।$n$

कहानी का नैतिक पहलू है

किसी सेट के कार्यान्वयन के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है जब तक कि हम यह नहीं जानते कि हम उस पर किस प्रकार का संचालन करना चाहते हैं।

Comments

यदि मेरे उत्तर पत्नियां थीं, तो मैं केवल एक बार उत्तर दे सकता था। या कम से कम मुझे अगला उत्तर लिखने से पहले हटाना होगा।

— लेडी बाउर

@ मोम: इस तरह का पहला प्रमेय क्रेसेल, लैकोम्बे और शोनीफील्ड (केएलएस प्रमेय देखें) द्वारा दिए गए थे। स्वतंत्र रूप से टस्टिटिन ने एक प्रमेय दिया जो कि केएलएस को सामान्य करता था और स्पष्ट रूप से "प्रत्येक कम्प्यूटेशनल मानचित्र कम्प्यूटेशनल निरंतर है"।

— फफूंद बॉयर

मुझे एक पाठ्यपुस्तक लिखने की आवश्यकता है - (Google google google)। ठीक है, अच्छा है, आपका कार्यकाल है। इसका लाभ उठाएं!

— जेफ

@ त्सुयोशी: इस प्रश्न का उपयोग योग्यता के बिना स्थापित वाक्यांश "वास्तविक संख्या" के लिए किया जाता है। वास्तविक संख्याओं की संरचना मानक है। आप अन्य संरचनाओं पर विचार करने के लिए स्वतंत्र हैं, लेकिन आप मानक शब्दावली की गलत व्याख्या करने के लिए स्वतंत्र नहीं हैं।

— एंड्रेज बॉयर

तकनीकी रूप से, आप सही हैं, "वास्तविक" शब्द का उपयोग नहीं किया गया था। लेकिन आप वास्तविक संख्या की परिभाषा के बारे में गलत हैं। या मैं इसे इस तरह से रखूंगा : यह सोचना बुरा है कि वास्तविक एक विशेष सेट है जो पहले आता है, केवल कुछ संरचना का पालन किया जाना है। जैसे हम समूहों, वलयों, टोपोलॉजिकल स्पेस आदि को उनकी संरचना के संदर्भ में परिभाषित करते हैं , वैसे ही हमें उनके सार्वभौमिक गुणों के संदर्भ में विशेष वस्तुओं को परिभाषित करना चाहिए (प्राकृतिक संख्या प्रारंभिक सेमिनार हैं, प्रारंभिक रिंग को पूर्णांक देता है, परिमेय प्रारंभिक क्षेत्र, reals) .....)।

— एंड्रेज बॉयर

Answer 2

मुझे लगता है कि यह अविश्वसनीय है:

आज्ञा देना एक कम्प्यूटेशनल अपरिमेय संख्या है। टीएम एम पर विचार करें । आप एक समारोह है कि चलाता है का निर्माण कर सकते एम पर ε , और समानांतर computes में x बढ़ रही परिशुद्धता के साथ। यदि M रुकता है, तो यह कंप्यूटिंग x को रोकता है$x$$M$$M$$\epsilon$$x$$M$$x$ , अन्यथा यह जारी रहता है।

यह तय करना कि क्या यह फ़ंक्शन एक तर्कसंगत संख्या की गणना करता है, रुकने की समस्या के बराबर है।

Comments

मुझे आपका उत्तर समझ नहीं आ रहा है, क्या आप अधिक विस्तार से बता सकते हैं? मुझे समझ में नहीं आया कि आप इसे हॉल्टिंग समस्या से कैसे संबंधित करते हैं, और इससे भी महत्वपूर्ण बात, मुझे लगता है कि लिए कभी भी रुकने का कोई कारण नहीं है (भले ही एक्स एक पूर्णांक हो)। $M$$x$

— डर्बोसा

जैसा कि Tsuyoshi ने बताया है कि उत्तर प्रतिनिधित्व और गणना के मॉडल पर निर्भर करता है। आपका उत्तर सही ढंग से कहता है कि यदि इनपुट को कम्प्यूट कंप्यूटिंग के वास्तविक संख्याओं के साथ लिया जाए, तो TM समानता बताती है कि समानता निर्णायक नहीं है। यह सही है, हालांकि यह किसी भी मॉडल के करीब नहीं है जो अभ्यास में उपयोग किया जाता है।

— केवह

दरअसल, मेरा जवाब प्रश्न में पोस्ट किए गए अभ्यावेदन को संदर्भित करता है, उन्हें व्यावहारिक होना चाहिए या नहीं। @dbarbosa - मैं समझाता हूं: एक टीएम दिया , उत्तर में निर्माण का पालन करें। फिर, विरोधाभास के माध्यम से मान लें कि आप तय कर सकते हैं कि आउटपुट मशीन तर्कसंगत का प्रतिनिधित्व करती है या नहीं। यदि यह तर्कसंगत है, तो इसका मतलब है कि किसी बिंदु पर, एम रुका हुआ है और हम संख्या की गणना करना बंद कर देते हैं। दूसरी ओर, यदि यह तर्कहीन है, तो M रुका नहीं है। इस प्रकार, हम जानते हैं कि क्या एम हाल्ट करता है, हल करने की समस्या को हल करता है, जिसे अनिर्दिष्ट माना जाता है। $M$$M$$M$$M$

— शाम

Answer 3

एक वास्तविक मानते हुए कुछ ज्ञात कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन द्वारा बंधी हुई त्रुटि के साथ तर्कसंगत अनुमानों के अनुक्रम के रूप में दिया जाता है जो शून्य पर जाता है (ऐसे सभी अनुमानित समतुल्य हैं, और वास्तविक पर सामान्य टोपोलॉजी के अनुरूप हैं)।

कम्प्यूटेशनल कार्य निरंतर हैं। IsRational और IsInteger निरंतर नहीं हैं और इसलिए अभिकलन योग्य नहीं है।

IsInteger अर्ध- विवादास्पद है: एक प्रक्रिया है जो अंततः "झूठा" आउटपुट देगी यदि इनपुट एक पूर्णांक नहीं है, लेकिन इनपुट पूर्णांक होने पर हमेशा के लिए चलेगा। यह प्रक्रिया बस प्रत्येक सन्निकटन को देखती है और जांचती है कि क्या त्रुटि के भीतर एक पूर्णांक है। यह फ़ंक्शन निरंतर है जब हम Sierpi isski टोपोलॉजी का उपयोग {true, false} पर करते हैं (यानी {false} एक खुला सेट है लेकिन {true} नहीं है)।

Comments

जवाब के लिए धन्यवाद। मुझे समझ में नहीं आता है कि निरंतर नहीं => संगणना योग्य नहीं है, मैं अनुमान लगा रहा हूं कि आपने (शायद व्यापक रूप से ज्ञात) प्रमेय का उपयोग किया है कि मैं इसके बारे में नहीं जानता हूं या मुझे याद नहीं है। क्या आप कृपया इस चरण के बारे में अधिक विवरण प्रदान कर सकते हैं?

— dbarbosa

"कम्प्यूटेबल => निरंतर" एक लोक प्रमेय प्रतीत होता है - मुझे एक मूल उद्धरण नहीं मिल सकता है। अनंत वस्तुओं पर अभिकलन का सिद्धांत और टोपोलॉजी के संबंध ब्रेटका ( गणित.उन.क्रोक.प्ल / आईएनपीकेओवी / सेलाइड्स /ब्रेटका.पीडी ) द्वारा इन पाठ्यक्रम स्लाइड में काफी अच्छी तरह से (आईएमओ) वर्णित हैं । स्लाइड्स में प्रस्ताव 2 में कहा गया है कि भीलों के अनुक्रमों पर सभी कम्प्यूटेशनल कार्य निरंतर हैं; प्रमेय 12 के साथ संयुक्त होने से अन्य प्रकार के कार्यों का परिणाम मिलता है।

— अधिकतम

Answer 4

यह निर्विवाद है कि क्या दी गई गणना संख्या शून्य के बराबर है या नहीं ।

(इसलिए आपका तर्कसंगत अनुमान अलंकरण आपके द्वारा किए गए प्रत्येक approxim के लिए 0 देता है। हो सकता है कि आपने अभी इसे एक छोटा सा पर्याप्त approxim नहीं दिया है।)

इस प्रकार, यह अनिर्दिष्ट है कि -½ और + ½ के बीच एक दिया गया अभिकलन संख्या पूर्णांक है या नहीं।

Answer 5

फंक्शन कम्प्यूटेबल होना फंक्शन कंटिन्यू होने से ज्यादा मजबूत है, यानी किसी भी कंप्यूटेबल फंक्शन को इनफॉर्मेशन टोपोलॉजी में निरंतर होना चाहिए।

आप यह देखना चाहते हैं कि फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित है या नहीं$F:\mathbb{R} \to \{Yes,No\}$

$$F(r) = \begin{cases} YES & r\in \mathbb{Q}\\ NO & o.w. \end{cases}$$

कम्प्यूटेशनल है।

$r$$\frac{k}{2^{n}}$$r \in [\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n}]$$n$ ।

तब आपका कार्य निरंतर नहीं होता है और इसलिए यह गणना योग्य नहीं है।

$M$$0$$n$$[-\frac{1}{2^n},\frac{1}{2^n}]$$M$$M$$m$$M$$[-\frac{1}{2^m},\frac{1}{2^m}]$$M$$M$$NO$$YES$$M$$[-\frac{1}{2^m},\frac{1}{2^m}]$$M$$YES$$M$

किसी भी कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन को निरंतर बनाए रखने के लिए प्रमाण समान है।