अपेक्षित मूल्य बनाम सबसे संभावित मूल्य (मोड)

Question

वितरण का अपेक्षित मान माध्य है, जो भारित औसत मान $f(x)$

$$E[x]=\int_{-\infty}^{+\infty} x \, \, f(x) dx$$

सबसे संभावित मूल्य मोड है, यही सबसे संभावित मूल्य है।

हालांकि क्या हम किसी भी समय को देखने की उम्मीद करते हैं ? यहाँ से उद्धृत :$E[x]$

यदि परिणाम समान रूप से संभावित नहीं हैं, तो साधारण औसत को भारित औसत से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, जो इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि कुछ परिणाम दूसरों की तुलना में अधिक होने की संभावना है। अंतर्ज्ञान हालांकि एक ही रहता है: एक्स का अपेक्षित मूल्य वह है जो औसतन होने की उम्मीद करता है ।$x_i$$x$

मैं नहीं समझ सकता क्या अर्थ है "पर औसत हो" करता है, इसका मतलब है कि, सहायता के लिए, एक उपाय बार जब मैं देखने की उम्मीद का एक बहुत लेने के $E[x]$ अधिक के अन्य मूल्यों से $x$ ? लेकिन क्या यह विधा की परिभाषा नहीं है?

तो बयान की व्याख्या कैसे करें? और E [x] का संभावित अर्थ क्या है $E[x]$?

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मैं एक उदाहरण भी दिखाना चाहूंगा जहां मैं भ्रमित नहीं होता। अध्ययन वितरण मुझे पता चला कि मोड है , जबकि , जहां डेटा की स्वतंत्रता की डिग्री कर रहे हैं।χ 2 मीटर $\chi^2$$\chi^2_{mode}=\nu-2$$E[\chi^2]=\nu$$\nu$

मैंने विश्वविद्यालय में सुना है कि, डेटा का एक सेट फिट करने के लिए Least Squares Method का उपयोग करने के बाद परीक्षण करते समय, मुझे प्राप्त करने की अपेक्षा करनी चाहिए क्योंकि "जो सामान्य रूप से होता है"।χ 2 ≈ $\chi^2$$\chi^2 \approx \nu$

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क्या मुझे इस सब की गलतफहमी थी या किसी संभावित मूल्य की उम्मीद है? (भले ही सबसे संभावित मूल्य मोड है)

Comments

मुझे वास्तव में इस प्रश्न के लिए टिकट-इन- द -बॉक्स रूपक की शक्ति पसंद है , क्योंकि यह एक सरल, स्पष्ट, उत्तर पैदा करता है: एक यादृच्छिक चर की उम्मीद इसके मूल्यों का योग है (टिकट पर खींचा गया) टिकटों की गिनती। बस। कोई भी कथन जो इस परिभाषा (या इसके अधिक परिष्कृत गणितीय समकक्षों) का पालन नहीं करता है, वह सिर्फ एक अनुमान है और कुछ परिस्थितियों में बहुत अच्छी तरह से गलत हो सकता है।

— whuber

Answer 1

एक सामान्य वितरण के लिए, अपेक्षित मान, माका, मोड के बराबर है।

सामान्य तौर पर, न केवल अपेक्षित मूल्य न केवल सबसे अधिक होने की संभावना है (या उच्चतम घनत्व पर), लेकिन यह होने का कोई मौका नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, यादृच्छिक चर X पर विचार करें जो 0 या 2 के बराबर है, प्रत्येक में 0.5 की संभावना है। तब EX = 1, लेकिन अपेक्षित मान, 1, में 0 होने की संभावना है, जबकि 0 और 2 वितरण के दोनों तरीके हैं।

उद्धरण "एक्स का अपेक्षित मूल्य वह है जो औसत पर होने की उम्मीद करता है" गैर-तकनीकी आम आदमी की भाषा है, जो आपके भ्रम से स्पष्ट है, केवल मामलों को भ्रमित करने का कार्य करता है। गणितीय औसत होने के नाते प्रत्याशित मूल्य का संभाव्यता में बहुत विशिष्ट अर्थ है। जबकि आम आदमी की भाषा में, एक अपेक्षित मूल्य या "औसतन" आमतौर पर होने वाली कुछ उम्मीद की जा सकती है। यदि "औसतन" को गणितीय औसत के रूप में समझा जाता है कि क्या होता है, तो उन्हें समेटा जा सकता है।

पूरी तरह से तुम्हारा,

जो औसत

Comments

प्रश्न पूछता है: मध्यिका के बारे में क्या, जो संभव होने की गारंटी है ?

— उज्ज्वल-स्टार

जैसा कि @TrevorAlexander ने कहा, मोड गारंटी भी नहीं देता है। निरंतर वितरण के मोड पर विचार करें।

— टिम

@ ट्रेवर अलेक्जेंडर हमेशा एक मध्यस्थ होता है जो संभव है (सकारात्मक संभावना या घनत्व)। हालांकि, सभी मध्यस्थ आवश्यक नहीं हैं। यादृच्छिक चर एक्स के एक मंझला किसी भी बिंदु मीटर जिसके लिए है और पी ( एक्स ≥ मीटर ) ≥ 1 / 2 । यदि X 1,2,3, या 4 के बराबर है, प्रत्येक में 1/4 संभावना है, तो अंतराल में कोई भी संख्या [2,3] X का माध्य है।$P(X \le m) \ge 1/2$$P(X \ge m) \ge 1/2$

— मार्क एल। स्टोन

Answer 2

अपेक्षित मूल्य एक प्राथमिकता बहुत सार है और यह सोचने का कोई कारण नहीं है कि यह सबसे संभावित परिणाम है; जैसा कि अन्य ने बताया है, यादृच्छिक वेरिएबल का निर्माण करना आसान है जिसके लिए (और घनत्व के साथ भी यदि X सातत्य है)

$$P( X = E(X) ) = 0$$ $X$

अपेक्षित मूल्य के लिए एकमात्र औचित्य, और इस कारण कि हम "इसे अक्सर देखने की उम्मीद करते हैं", बड़ी संख्या का कानून है :

यदि आपके पास स्वतंत्र रूप से वितरित चर X i है , तो$n$$X_i$

$$\frac {X_1 + \dots + X_n}{n} \to E(X)$$

( उपयुक्त अर्थ के लिए जो इस समय जांच के लिए व्यर्थ है)$\to$

इसका क्या मतलब है? कल्पना कीजिए कि आप संभावना p > 1 के साथ एक सिक्का फेंकते हैंलैंडिंग हेड के 2 , जिसे हम नंबर1, और प्रायिकता1-लैंडिंग टेल केपी(यानी,0) केसाथ जोड़ देंगे। सबसे संभावित परिणाम क्या है? 1! (वह है, सिर) अपेक्षित मूल्य क्या है? ई(एक्स)=1⋅पी+0⋅(1-पी)=$p> \frac 12$$1$$1-p$$0$

$$E(X) = 1\cdot p + 0\cdot(1-p) = p$$

अब स्पष्ट रूप से "पी" कभी नहीं होगा (यह या तो सिर या पूंछ है, या तो 0 या 1)।

लेकिन सिक्का को 10.000 बार लॉन्च करें, और कुल बार संख्या के ऊपर आने वाले समय को रिकॉर्ड करें। यह संख्या कैप्चर करती है जिसे हम सहज रूप से औसत ("औसत संख्या का औसत") के बारे में सोचते हैं। और बड़ी संख्या का नियम आपको बताता है कि यह संख्या E ( X ) = p के करीब होगी$E(X) = p$

Comments

मैं यह नहीं कहूंगा कि बड़ी संख्या का कानून अपेक्षित मूल्य के लिए एकमात्र औचित्य है। उदाहरण के लिए, en.wikipedia.org/wiki/… उपयोगिता कार्यों के अपेक्षित मूल्यों पर विचार करने के लिए एक औचित्य है (मैंने प्रमाण का अध्ययन नहीं किया है लेकिन मुझे आश्चर्य है कि यह किसी तरह बड़ी संख्या के कानून पर आधारित है)।

— जुहो कोक्कल

Answer 3

मुझे "अपेक्षित मूल्य" शब्द पसंद नहीं है और संभाव्यता सिखाते समय इसका उपयोग नहीं किया। मेरी राय में, "अंकगणित माध्य" बेहतर है, क्योंकि 6-पक्षीय मरने का अंकगणित माध्य 3.5 है, लेकिन ऐसी संख्या नहीं होती है। मैंने मूल रूप से कॉलेज में जब अवधारणा के लिए "उम्मीद मूल्य" शब्द सुना था। तकनीकी शब्दों के बहुत सारे स्पष्ट गैर-तकनीकी अर्थ से सहमत नहीं हैं। ("या" मन में आता है।)

ध्यान दें कि वितरण में एक से अधिक मोड हो सकते हैं लेकिन अंकगणितीय माध्य अद्वितीय है। मोड, माध्य और माध्य अलग-अलग हैं और इनके अलग-अलग उपयोग हैं।

Comments

"या" पर अच्छा लगा। इसने मुझे रैखिक प्रोग्रामिंग में मेरे पाठ्यक्रम के बारे में सोचा, जिसमें हमने वैकल्पिक के कई सिद्धांतों का अध्ययन किया। वे इस रूप में थे "या तो A सत्य है या B सत्य है, लेकिन दोनों नहीं"। इसे एक्स ए बी के रूप में व्यक्त करना बहुत आसान है। मैं आकस्मिक सड़क बातचीत में एक्सोर का अधिक उपयोग नहीं सुनता हूं।

— मार्क एल। स्टोन

Answer 4

अंतर असतत वितरण के साथ देखना सबसे आसान है:

उन मानों के दो सेटों पर विचार करें जहां प्रत्येक संख्या समान रूप से तैयार होने की संभावना है: {1,2,2,2,10} और {1,2,2,2,3}।

दोनों में एक ही मोड (2) है, लेकिन अपेक्षित मान भिन्न हैं। अपेक्षित मूल्य बड़े मूल्यों पर अतिरिक्त भार डालता है जबकि मोड बस यह देखता है कि मूल्य क्या होता है। इसलिए यदि आप इस वितरण से बार-बार आते हैं, तो आपका नमूना औसत अपेक्षित मूल्य के करीब होगा, जबकि होने वाला सबसे आम पूर्णांक मोड के करीब होगा।

$mode=arg{\max{f(x)}}$$x*f(x)$

केंद्रीय प्रवृत्ति के विभिन्न मापों के बीच अंतर करने के लिए भाषा का उपयोग सांख्यिकी सीखने के दौरान एक सामान्य मुद्दा है। उदाहरण के लिए, माध्य एक और उपाय है जो औसत जैसे बड़े मूल्यों द्वारा तिरछा नहीं है।