Collatz अनुमान के लिए "निकटतम" समस्या क्या है जिसे सफलतापूर्वक हल किया गया है?

मैं Collatz अनुमान के लिए "निकटतम" (और "सबसे जटिल") समस्या में दिलचस्पी रखता हूं जिसे सफलतापूर्वक हल किया गया है (जो एर्दोस ने प्रसिद्ध रूप से कहा था "गणित अभी भी ऐसी समस्याओं के लिए परिपक्व नहीं है")। यह साबित हो चुका है कि "Collatz जैसी" समस्याओं का एक वर्ग अनिर्दिष्ट है। हालांकि, ऐसी समस्याएं जो अस्पष्ट रूप से हॉफस्टैटर के MIU गेम के समान हैं (हल की गई हैं, लेकिन एक खिलौना समस्या की अधिकता है) वास्तव में निर्णायक हैं या हल की गई हैं।

संबंधित सवाल

Collatz अनुमान और व्याकरण / ऑटोमेटा

— vzn
स्रोत

चूंकि यह HTML है और LaTeX नहीं है, इसलिए यदि आप उन संदर्भों को इनलाइन करना आसान है, जहां वे प्रासंगिक हैं।

— सुरेश वेंकट

TCS / सममितीय कोणों पर collatz / refs

— vzn

कम से कम एक व्यक्ति है जो दावा करता है कि "Collatz अनुमान" आपके प्रश्न का अनूठा उत्तर है। मैं लिंक किए गए सबूत की पूर्णता पर संदेह कर रहा हूं, लेकिन मैंने अभी तक इसका विश्लेषण करने में पर्याप्त समय नहीं लगाया है।

— बॉयड स्टीफन स्मिथ जूनियर

फीजी मिशेल का एक नया पत्र है जो अच्छी तरह से एक सामान्य संख्या सिद्धांत के ढांचे में अनिश्चिता को जोड़ने वाले क्षेत्र का सर्वेक्षण करता है, व्यस्त बीवर प्रतियोगिता से संख्या सिद्धांत में समस्याएं

— vzn

जवाबों:

एक विस्तारित टिप्पणी:

कुछ प्रतीकों और राज्यों वाले छोटे ट्यूरिंग मशीनों द्वारा Collatz की तरह के दृश्यों की गणना की जा सकती है। पी। मिशेल (2004) द्वारा " स्मॉल ट्यूरिंग मशीनों और सामान्यीकृत व्यस्त बीवर प्रतियोगिता " में, एक अच्छी तालिका है जो Collatz जैसी समस्याओं को पर्णपाती TMs (जिसके लिए हॉल्टिंग समस्या विकट है) और यूनिवर्सल TMs के बीच स्थित करती है।

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ऐसे टीएम हैं जो Collatz जैसे अनुक्रमों की गणना करते हैं, जिनके लिए डिकिडेबिलिटी अभी भी एक खुली समस्या है: , और (जहाँ सेट है ट्यूरिंग मशीन के साथ राज्यों और प्रतीक)। मुझे नहीं पता कि क्या परिणाम निष्प्रभावी हुए हैं। $TM(5,2)$ $TM(3,3)$ $TM(2,4)$ $TM(k,l)$ $k$ $l$

कागज के comclusion से:

... वर्तमान कोलेज़ जैसी लाइन पहले से ही अपने न्यूनतम संभव स्तर पर है, के संभावित अपवाद के साथ , लेकिन हम अनुमान लगाते हैं कि इस सेट में सभी मशीनें निर्णायक साबित हो सकती हैं ... $TM(4,2)$

डी। वुड्स और टी। नियरी (2007) द्वारा " छोटी सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीनों की जटिलता: एक सर्वेक्षण " भी देखें ।

Collatz जैसी समस्या का एक और उदाहरण जिसके लिए डिकिडेबिलिटी एक खुली समस्या है पोस्ट की टैग प्रणाली है: ; एक हालिया विश्लेषण के लिए " एल। डी। मोल (2009) द्वारा टैग सिस्टम में सॉल्वेबिलिटी एंड अनसॉल्वेंसी की सीमाओं पर। सैद्धांतिक और प्रायोगिक परिणाम " देखें। $\mu = 2, v=3,0\rightarrow 00, 1 \rightarrow 1101$

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

उत्तर को पूरक करने के लिए: कॉनवे ने दिखाया कि कोलेज़ -जैसे अनुक्रम हैं जो कि असंदिग्ध ams.org/mathscinet-getitem?mr=392904 हैं । यानी एक कोलेजन-जैसा अनुक्रम ही एक सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीन का अनुकरण कर सकता है।

— साशो निकोलेव

धन्यवाद! mitchell सर्वेक्षण / परिणाम बहुत अच्छे हैं! तालिका में fyi स्पष्टीकरण, एक सेल में एक "टी" एक टीएम (के, एल) को इंगित करता है, जो कि मौजूद है, जो कोलेजन अनुमान के बराबर है। परिप्रेक्ष्य से यह भी पता चलता है कि Collatz अनुमान केवल एक पृथक सैद्धांतिक जिज्ञासा नहीं है, लेकिन संभवतः कम्प्यूटेशनल सिद्धांत में गहराई से कुछ की सतह की घटना है। ps भी बहुत दिलचस्पी है अगर किसी भी एक बार खुले "समस्याओं की तरह collatz" कभी हल किया गया है ...?

— vzn

फ़ंक्शन पर विचार करें , जहां जब सम है और जब विषम हो। तब यह ज्ञात होता है कि किसी भी लिए , वहाँ एक जैसे कि । $T: \mathbb N \rightarrow \mathbb N$ $T(n)=n/2$ $n$ $T(n)=n+1$ $n$ $n \in \mathbb N$ $k \in \mathbb N$ $T^{(k)}(n)=1$

यदि बजाय जब विषम है, तो हमने को परिभाषित किया था जब विषम है, तो हमें Collatz अनुमान होगा, इसलिए मुझे लगता है कि यह Collatz की निकटतम समस्या है अनुमान जो कभी हल किया गया हो। $T(n)=n+1$ $n$ $T(n)=3n+1$ $n$

— क्रेग फेंस्टीन
स्रोत

मुझे नहीं लगता कि यह प्रश्न के "सबसे जटिल" भाग को संतुष्ट करता है, क्योंकि एक प्रेरित ग्रेड स्कूल का छात्र आपके विचार के प्रमाण के पीछे महत्वपूर्ण विचार को थोड़ा विचार करके पहचान सकता है।

— योनातन एन

लेकिन अगर यह अधिक जटिल है और अभी भी हल हो गया है, तो यह Collatz अनुमान के समान नहीं होगा। इसके अलावा, उनके प्रश्न का शीर्षक इंगित करता है कि वह "सबसे जटिल" पर "निकटतम" को प्राथमिकता देता है।

— क्रेग फेन्सटीन