चुकता सामान्य और ची-वर्ग चर के आक्षेप का वितरण?

डेटा का विश्लेषण करते समय निम्नलिखित समस्या हाल ही में सामने आई। यदि यादृच्छिक चर X एक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है और Y एक वितरण (n dof के साथ) का अनुसरण करता है , तो वितरित किया जाता है? अब तक मैं : के पीडीएफ के साथ आया था $\chi^2_n$ $Z = X^2 + Y^2$ $Y^2$

\begin{array}{rcl} ψ_{n}^{2} (x) & = & \frac{\partial F (\sqrt{x})}{\partial x} \\ = & {(\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{t^{n / 2 - 1} \cdot e^{- t / 2}}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} d t)}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} \cdot {(\sqrt{x})}^{n / 2 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \cdot {(\sqrt{x})}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2 - 1} Γ (n / 2)} \cdot x^{n / 4 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi^2_n(x) &=& \frac{\partial F(\sqrt{x})}{\partial x} \\ &=& \left( \int_0^{\sqrt{x}} \frac{t^{n/2-1}\cdot e^{-t/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \mathrm{d}t \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^{n/2-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2-1}\Gamma(n/2)} \cdot x^{n/4-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \end{eqnarray}$

अभिन्न अभिन्न अंग के लिए कुछ सरलीकरण ( में m dof के साथ pdf ): $X^2$ $\chi^2_m$

\begin{array}{rcl} K_{m n} (t) & := & (χ_{m}^{2} * ψ_{n}^{2}) (t) \\ = & \int_{0}^{t} χ_{m}^{2} (x) \cdot ψ_{n}^{2} (t - x) d x \\ = & {(2^{\frac{(n + m)}{2} + 1} Γ (\frac{m}{2}) Γ (\frac{n}{2}))}^{- 1} \cdot \int_{0}^{t} (t - x)^{\frac{n}{4} - 1} \cdot x^{\frac{m}{2} - 1} \cdot \exp (- (\sqrt{t - x} + x) / 2) d x \end{array}

$\begin{eqnarray} K_{mn}(t) &:=& ( \chi^2_m \ast \psi^2_n )(t) \\ &=& \int_0^t \chi^2_m(x) \cdot \psi^2_n(t-x) \mathrm{d}x \\ &=& \left( 2^{\frac{(n+m)}{2}+1} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) \right)^{-1} \cdot \int_0^t (t-x)^{\frac{n}{4}-1} \cdot x^{\frac{m}{2}-1} \cdot \exp(-(\sqrt{t-x}+x)/2) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$

क्या कोई किसी वास्तविक टी के लिए इस अभिन्न की गणना का एक अच्छा तरीका देखता है या क्या इसे संख्यात्मक रूप से गणना करना है? या मैं एक बहुत सरल समाधान याद आ रही है?

— लियो स्ज़ीलार्ड
स्रोत

यदि चुकता नहीं था, तो मेरे पास कुछ विशिष्ट सलाह होगी। मुझे नहीं लगता है कि यह ट्रैक्टेबल होगा (न ही विशेष रूप से ज्ञानवर्धक होगा, भले ही यह ट्रैक्टेबल साबित हो)। मैं संख्यात्मक दृष्टिकोण या अनुकरण जैसे कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोणों को देखने के लिए ललचाऊंगा, यह वास्तव में आप परिणाम के साथ क्या करना चाहते हैं पर निर्भर करता है।

Y

$Y$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

मेरी राय में यह बहुत संभावना नहीं है कि अभिन्न किया जा सकता है।

— डेव31415

@ Dave31415 के लिए

और

भी, अभिन्न स्पष्ट रूप से सकारात्मक अभिन्न मान के लिए गणना की जा सकती

और

। यह गुणांक कि में बहुपद हैं साथ exponentials और त्रुटि कार्यों के एक रैखिक संयोजन के बराबर होगा

n

$n$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

। मूल्यांकन प्रतिस्थापन

माध्यम से किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,

हम

प्राप्त करते हैं

\sqrt{t}

$\sqrt{t}$

x = t - u^{2}

$x=t-u^2$

n = 2, m = 4

$n=2,m=4$

।

\frac{1}{4} e^{- \frac{1}{8} (2 \sqrt{t} + 1)^{2}} (e^{\frac{\sqrt{t}}{2}} (\sqrt{2 π} (4 t + 3) (erfi (\frac{2 \sqrt{t} - 1}{2 \sqrt{2}}) + erfi (\frac{1}{2 \sqrt{2}})) + 4 e^{\frac{1}{8}}) - 4 e^{\frac{t}{2} + \frac{1}{8}} (2 \sqrt{t} + 1))

$\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{8}(2\sqrt{t}+1)^2}(e^{\frac{\sqrt{t}}{2}}(\sqrt{2\pi} (4t+3)(\text{erfi}(\frac{2\sqrt{t}-1}{2\sqrt{2}})+\text{erfi}(\frac{1}{2\sqrt{2}}))+4e^\frac{1}{8})-4 e^{\frac{t}{2}+\frac{1}{8}}(2\sqrt{t}+1))$

— whuber

अच्छा लगा। विषम संख्याओं के लिए, आप संभवतः इसे संख्याओं के बाउंडिंग के लिए परिणाम के औसत के साथ अनुमानित कर सकते हैं? या शायद नहीं।

— डेव ३१४१५

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद! कुछ सम-सामयिक मामलों के लिए मुझे एक समान परिणाम मिला जिसमें डॉसन के कार्य शामिल थे, लेकिन ऐसा लगता है कि मुझे एक सामान्य समाधान के लिए कुछ और काम करना होगा ...

— लियो स्ज़ीलार्ड

जवाबों:

मामले में यह मदद करता है, चर एक सामान्यीकृत गामा यादृच्छिक चर है (उदाहरण के लिए, स्टेसी 1962 देखें)। आपका प्रश्न ची-वर्ग यादृच्छिक यादृच्छिक और सामान्यीकृत गामा यादृच्छिक चर के योग के वितरण के लिए पूछ रहा है। मेरे ज्ञान के अनुसार, परिणामी चर के घनत्व में कोई बंद रूप अभिव्यक्ति नहीं है। इसलिए, आपके द्वारा प्राप्त किया गया दृढ़ संकल्प बिना किसी बंद फॉर्म समाधान के एक अभिन्न अंग है। मुझे लगता है कि आप इस एक के लिए एक संख्यात्मक समाधान के साथ फंसने जा रहे हैं। $Y^2$

स्टेसी, EW (1962)। गामा वितरण का एक सामान्यीकरण। गणितीय सांख्यिकी 33 (3) , पीपी। 1187-1192।

— मोनिका को बहाल करो
स्रोत

यह केवल एक संकेत है। पियर्सन टाइप III ची-स्क्वॉड हो सकता है। कभी-कभी किसी चीज को अपने आप को दोषी मानकर सजा पाई जा सकती है। मैं एनडी और जीडी को हल करने के लिए ऐसा करने में कामयाब रहा , जिसके लिए मैंने खुद के साथ एक पियर्सन III को दोषी ठहराया। यह एनडी और ची-स्क्वेड के साथ कैसे काम करता है , मुझे यकीन नहीं है। लेकिन, आपने संकेत मांगे, और यह एक सामान्य संकेत है। आपको शुरू करने के लिए पर्याप्त होना चाहिए, मुझे उम्मीद है। $^2$

— कार्ल
स्रोत

क्या आप बता सकते हैं कि यह सवाल का जवाब कैसे देता है? यह सीधे संबंधित नहीं लगता है।

— whuber

पियरसन प्रकार III के साथ खुद को समझा जा सकता है। किसी कारण से एक चीज को खुद के साथ हल करना आसान होता है, एक चीज को दूसरे के साथ सुलझाने से। उदाहरण के लिए, मैंने पियरसन प्रकार III के दृढ़ संकल्प को हल किया और एनडी के जीडी के साथ संबंधित समस्या का हल प्राप्त किया।

— कार्ल

लगता है मदद नहीं की है, शीघ्र ही हटा देगा।

— कार्ल