क्या समान क्षणों के साथ वितरण समान हैं

Question

निम्नलिखित समान हैं, लेकिन यहां और यहां पिछले पदों से अलग हैं

1. दो वितरणों को देखते हुए, जो सभी आदेशों के क्षणों को स्वीकार करते हैं, यदि दो वितरणों के सभी क्षण समान हैं, तो क्या वे समान वितरण हैं?
2. दो वितरणों को देखते हुए, जो क्षण उत्पन्न करने वाले कार्यों को स्वीकार करते हैं, यदि उनके समान क्षण हों, तो क्या उनके क्षण उत्पन्न करने वाले कार्य समान होते हैं?

Comments

प्रश्न # 2 के अनुसार, मैं सामान्य रूप से मानता हूं, अगर दो कार्यों में एक ही एमजीएफ (यदि यह 0 के एक खुले पड़ोस में मौजूद है) तो वे समान वितरण का पालन करते हैं। दुर्भाग्य से, मुझे सबूत का पता नहीं है, क्योंकि यह काफी जटिल है। उम्मीद है कि बस थोड़ा सा मदद करता है।

— गुडफेला

@nicefella प्रमाण अपेक्षाकृत आसान है: काल्पनिक मूल्यों पर एमजीएफ का मूल्यांकन करने से विशेषता फ़ंक्शन होता है जो वितरण का उत्पादन करने के लिए उलटा हो सकता है। उलटा काम करता है बशर्ते मूल के पड़ोस में MGF विश्लेषणात्मक हो।

— whuber

Answer 1

मुझे उल्टे क्रम में जवाब दें:

2. हाँ। यदि उनके MGF मौजूद हैं, तो वे समान * होंगे।

उदाहरण के लिए यहां और यहां देखें

वास्तव में यह उस परिणाम से आता है जो आप इस पद से देते हैं; यदि MGF विशिष्ट रूप से ** वितरण का निर्धारण करता है, और दो वितरणों में MGF होते हैं और उनका समान वितरण होता है, तो उनका समान MGF होना चाहिए (अन्यथा आपको 'MGFs विशिष्ट रूप से वितरण निर्धारित करने के लिए प्रतिसाद' होगा)।

* 'समान' के कुछ मूल्यों के लिए, उस वाक्यांश के कारण 'लगभग हर जगह'

** ' लगभग हर जगह '

1. नहीं - चूंकि प्रतिपक्ष मौजूद हैं।

केंडल और स्टुअर्ट एक निरंतर वितरण परिवार की सूची बनाते हैं (संभवतः मूल रूप से स्टील्त्ज या उस विंटेज में से किसी के कारण, लेकिन मेरा स्मरण स्पष्ट नहीं है, यह कुछ दशकों का है) जिसमें समान क्षण अनुक्रम हैं और फिर भी अलग हैं।

रोमनो एंड सीगल (प्रोबेबिलिटी एंड स्टैटिस्टिक्स में काउंटरटेक्मेंस) की पुस्तक खंड 3.14 और 3.15 (पृष्ठ 48-49) में समकक्षों को सूचीबद्ध करती है। (वास्तव में, उन्हें देखकर, मुझे लगता है कि वे दोनों केंडल और स्टुअर्ट में थे।)

रोमानो, जेपी और सीगल, एएफ (1986),
काउंटरटेक्मेंस इन प्रोबेबिलिटी एंड स्टैटिस्टिक्स।
बोका रत्न: चैपमैन और हॉल / सीआरसी।

3.15 के लिए वे फेलर, 1971, पी 227 को श्रेय देते हैं

उस दूसरे उदाहरण में घनत्व का परिवार शामिल है

$$f(x;\alpha) = \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})[1-\alpha \sin(x^{1/4})], \quad x>0;\,0<\alpha<1$$

$\alpha$

उस क्षण के अनुक्रम समान हैं बंटवारे में शामिल है$f$

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

और फिर यह दिखाते हुए कि दूसरा भाग प्रत्येक क्षण में 0 योगदान देता है, इसलिए वे सभी पहले भाग के क्षणों के समान हैं।

यहाँ दो घनत्व क्या दिखते हैं। बाईं सीमा पर नीला मामला है ($\alpha=0$), हरे रंग के मामले में है $\alpha=0.5$। दाईं ओर का ग्राफ समान है लेकिन कुल्हाड़ियों पर लॉग-लॉग तराजू के साथ है।

बेहतर अभी भी, शायद, एक बहुत बड़ी रेंज लेने के लिए और एक्स-धुरी पर एक चौथे-जड़ पैमाने का इस्तेमाल किया, जिससे नीला वक्र सीधा होता है, और हरे रंग के ऊपर और नीचे एक पाप वक्र की तरह चलता है, ऐसा कुछ:

नीले वक्र के ऊपर और नीचे के विगल्स - चाहे वह बड़े या छोटे परिमाण के हों - सभी सकारात्मक पूर्णांक क्षणों को अनछुए छोड़ने के लिए निकलते हैं।

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ध्यान दें कि इसका अर्थ यह भी है कि हम उन सभी वितरणों को प्राप्त कर सकते हैं जिनके विषम क्षण शून्य हैं, लेकिन जो असममित है, चुनकर$X_1,X_2$ अलग के साथ # अन्य के साथ $\alpha$ और 50-50 का मिश्रण लेना $X_1$, तथा $-X_2$। परिणाम सभी विषम क्षणों को रद्द करना होगा, लेकिन दो हिस्सों में समान नहीं हैं।

Comments

धन्यवाद! मेरे दूसरे प्रश्न के उत्तर में, "समान 'के कुछ मूल्यों के लिए" क्या मतलब है "? क्या आप मेरे पहले सवाल का जवाब दे सकते हैं?

— टिम

यह केवल पिछले प्रश्न में 'लगभग हर जगह' की वजह से आवश्यक योग्यता का संदर्भ है। इसलिए प्रतिरूप घनत्व घनत्व के कार्यों को देख सकते हैं जो लगभग हर जगह समान थे लेकिन अंकों के सबसे बड़े उपसमूह में भिन्न थे - मैंने पहले ही आपको एक उदाहरण दिया था।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

मेरे पहले प्रश्न के लिए, (आपके उत्तर के लिए हाँ मेरे दूसरे प्रश्न के लिए और मेरे पिछले पोस्ट में मेरे प्रश्न के अनुसार), क्या सभी प्रतिरूप मामले के हैं जब दोनों वितरण पल उत्पन्न करने वाले कार्यों को स्वीकार नहीं करते हैं?

— टिम

यह होना चाहिए कि यह कथन का एक परिणाम है "यदि एमजीएफ एक खुले अंतराल में शून्य से परिमित है, तो संबंधित वितरण को उसके क्षणों की विशेषता है" कार्डिनल के उत्तर में मेरा मानना ​​है कि मैं इससे जुड़ा हुआ हूं। यदि एक एमजीएफ उस अर्थ में परिमित नहीं है, तो यह वितरण के लिए एकमात्र तरीका है कि उसके क्षणों की विशेषता न हो।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

पहला सवाल पर जवाब था stats.stackexchange.com/questions/25010/... और कम से ओपी के हाल के प्रश्न में stats.stackexchange.com/questions/84158/... । स्टेलर एंड ऑर्ड में फेलर का उदाहरण स्टेल्टेज (फेलर के समय से पहले का तरीका) को दिया गया है।

— whuber