पल-पल के कार्यों की पहचान

Question

क्या कोई गैर-समान वितरण होते हैं जो एक ही पल-उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन होते हैं?

Comments

पल-पल होने वाले फ़ंक्शन के

— onestop

@onestop जो इसका जवाब देता है! अगर तुम एक जवाब के रूप में मैं चाहता हूँ कि मैं तैसा accep हूँ।

Answer 1

हाँ।

एक अभ्यास में, स्टुअर्ट और Ord ( सांख्यिकी केंडल उन्नत सिद्धांत ।।, 5 वीं एड, पूर्व 3.12) टीजे Stieltjes (जो जाहिरा तौर पर अपने में प्रकट होता है की एक 1918 परिणाम बोली Oeuvres कम्प्लिट्स , ):

यदि 1 अवधि का एक विषम कार्य है$f$ , दिखाओ$\frac{1}{2}$

$$\int_0^\infty x^r x^{-\log x} f(\log x) dx = 0$$

सभी अभिन्न मूल्यों के लिए । इसलिए दिखाते हैं कि वितरण$r$

$$dF = x^{-\log x}(1 - \lambda \sin(4\pi \log x))\ dx, \quad 0 \le x \lt \infty;\quad 0 \le |\lambda| \le 1,$$

जो भी का मूल्य है उसी क्षण ।$\lambda$

(मूल, में केवल रूप में प्रकट होता λ ; के आकार पर प्रतिबंध $|\lambda|$$\lambda$$\lambda$ आवश्यकता से उत्पन्न होती है के घनत्व समारोह सभी मूल्यों को रखने के लिए । गैर नकारात्मक) व्यायाम प्रतिस्थापन के माध्यम से हल करने के लिए आसान है x = exp ( y ) और वर्ग को पूरा करना। मामला λ = 0 प्रसिद्ध ज्ञात असामान्य वितरण है ।$dF$$x = \exp(y)$$\lambda=0$

नीला वक्र λ = 0 से मेल खाता है$\lambda=0$$\lambda = -1/4$$\lambda = 1/2$

Comments

लेकिन लॉगनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन में पल-पल का फंक्शन नहीं होता है।

— onestop

यह एक उत्कृष्ट बिंदु है, इसके बाद, और मुझे इसके साथ सहमत होना है। मैंने "क्षणों के समान सेट" के अर्थ में प्रश्न लिया और मुझे व्याख्या के उस बदलाव को इंगित करना चाहिए था। जब एमजीएफ एक फ़ंक्शन के रूप में मौजूद है (और न केवल एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में) तो यह एक अद्वितीय घनत्व का उत्पादन करने के लिए उलटा हो सकता है जिससे यह मेल खाती है।

— व्हीबर

यह सच नहीं है कि Lognormal न ही mgf है, केवल यही है कि इसकी एक खुले अंतराल पर परिभाषित नहीं है जिसमें शून्य है

— kjetil b halvorsen

$0.$$0$$0.$

— whuber

@ वाउचर: यह ठीक है, लेकिन ऐसा लगता है कि इसे इतनी बार समझा जा सकता है कि कोई भूल जाए कि एमजीएफ उपयोगी भी हो सकता है। यह भी देखें (लिंक इन) आंकड़े.stackexchange.com/questions/389846/…

— kjetil b halvorsen