किस वितरण के लिए असंबद्धता स्वतंत्रता का अर्थ है?

आँकड़ों में एक समय सम्मानित अनुस्मारक "असंबद्धता स्वतंत्रता का अर्थ नहीं है"। आमतौर पर यह अनुस्मारक मनोवैज्ञानिक रूप से सुखदायक (और वैज्ञानिक रूप से सही) बयान के साथ पूरक है "जब, फिर भी दो चर संयुक्त रूप से सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं , तो असंबद्धता स्वतंत्रता का अर्थ है"।

मैं एक से दो तक खुश अपवादों की संख्या बढ़ा सकता हूं: जब दो चर बर्नौली-वितरित किए जाते हैं , तो फिर से, असंबद्धता स्वतंत्रता का अर्थ है। यदि और दो बरमौली आर.वी., , जिसके लिए हमारे पास , और लिए समान रूप से , उनका सहसंयोजक है $X$ $Y$ $X \sim B(q_x),\; Y \sim B(q_y)$ $P(X=1) = E(X) = q_x$ $Y$

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = \sum_{S_{X Y}} p (x, y) x y - q_{x} q_{y}

$\operatorname{Cov}(X,Y)= E(XY) - E(X)E(Y) = \sum_{S_{XY}}p(x,y)xy - q_xq_y$

= P (X = 1, Y = 1) - q_{x} q_{y} = P (X = 1 ∣ Y = 1) P (Y = 1) - q_{x} q_{y}

$= P(X=1,Y=1) - q_xq_y = P(X=1\mid Y=1)P(Y=1)-q_xq_y$

= (P (X = 1 ∣ Y = 1) - q_{x}) q_{y}

$= \Big(P(X=1\mid Y=1)-q_x\Big)q_y$

असंबद्धता के लिए हमें कोवरियन की आवश्यकता शून्य होती है

Cov (X, Y) = 0 \Rightarrow P (X = 1 ∣ Y = 1) = P (X = 1)

$\operatorname{Cov}(X,Y) = 0 \Rightarrow P(X=1\mid Y=1) = P(X=1)$

\Rightarrow P (X = 1, Y = 1) = P (X = 1) P (Y = 1)

$\Rightarrow P(X=1,Y=1) = P(X=1)P(Y=1)$

वह स्थिति जो चर के स्वतंत्र होने के लिए भी आवश्यक है।

तो मेरा सवाल यह है कि क्या आप किसी अन्य वितरण (निरंतर या असतत) के बारे में जानते हैं जिसके लिए असंबद्धता स्वतंत्रता का अर्थ है?

अर्थ: दो यादृच्छिक चर मान लें जिसमें सीमांत वितरण हैं जो समान वितरण से संबंधित हैं (शायद वितरण मापदंडों के लिए अलग-अलग मानों के साथ), लेकिन आइए एक ही समर्थन के साथ कहते हैं जैसे। दो घातांक, दो त्रिकोणीय, आदि समीकरण लिए सभी समाधान ऐसे हैं कि वे वितरण कार्यों के रूप / गुणों के आधार पर स्वतंत्रता भी प्रदान करते हैं? यह सामान्य मार्जिन के साथ मामला है (यह भी कि उनके पास एक द्विभाजित सामान्य वितरण है), और साथ ही बर्नौली मार्जिन के साथ-साथ कोई अन्य मामले हैं? $X,Y$ $\operatorname{Cov}(X,Y) = 0$

यहां प्रेरणा यह है कि आमतौर पर यह जांचना आसान है कि क्या स्वतंत्रता है या नहीं, इसकी तुलना में कोवरियन शून्य है। इसलिए, यदि सैद्धांतिक वितरण को देखते हुए, सहसंयोजक की जाँच करके आप भी स्वतंत्रता की जाँच कर रहे हैं (जैसा कि बर्नौली या सामान्य मामला है), तो यह जानना एक उपयोगी बात होगी।
यदि हमें दो आरवी से दो नमूने दिए गए हैं जो सामान्य मार्जिन हैं, तो हम जानते हैं कि अगर हम उन नमूनों से सांख्यिकीय रूप से निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि उनका सहसंयोजक शून्य है, तो हम यह भी कह सकते हैं कि वे स्वतंत्र हैं (केवल इसलिए कि उनके पास सामान्य मार्जिन हैं) यह जानना उपयोगी होगा कि क्या हम उन मामलों में भी निष्कर्ष निकाल सकते हैं जहां दो आरवी के मार्जिन थे जो कुछ अन्य वितरण के थे।

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

तार्किक रूप से, यहां कोई सवाल नहीं है: वितरण के रूप में स्वतंत्र चर की किसी भी जोड़ी को लें। वे सहसंबद्ध हैं या नहीं, वे फियात से स्वतंत्र हैं ! आपको वास्तव में "वितरण" से क्या मतलब है, इसके बारे में अधिक सटीक होने की आवश्यकता है और आप किस प्रकार के उत्तर उपयोगी पाएंगे।

— whuber

@ मैं आपकी टिप्पणी को नहीं समझता। मैं असंबद्धता से शुरू करता हूं और पूछता हूं कि "क्या मैं साबित कर सकता हूं कि वे असंबद्ध हैं जब यह मतलब है कि वे भी स्वतंत्र हैं"? चूँकि प्रश्न में वर्णित दो परिणाम rv के एक विशिष्ट वितरण (सामान्य या बर्नौली) के होने पर निर्भर करते हैं, मैं पूछता हूँ "क्या कोई अन्य ज्ञात वितरण है जिसके लिए, यदि दो चर इसका अनुसरण करते हैं, तो यह परिणाम होता है"?

— एलेकोस पापाडोपोलोस 21

किसी भी दो स्वतंत्र चर को लें और को उनका वितरण करें। आपके प्रश्न का एक मान्य उत्तर है। ध्यान दें कि आप एक सशर्त साबित करने के लिए कह रहे हैं, जो कि परिभाषा के अनुसार सच है जब भी परिणाम सत्य होता है, तब तक कोई फर्क नहीं पड़ता कि उसके पूर्ववर्ती का सत्य मूल्य क्या हो सकता है। इस प्रकार, तर्क के बुनियादी नियमों द्वारा, स्वतंत्र चर के सभी वितरण आपके प्रश्न के उत्तर हैं।

X, Y

$X,Y$

F

$F$

F

$F$

— 21-21 बजे व्हिबर

@Whuber, आप स्पष्ट रूप से सही हैं। मैंने इस प्रश्न के लिए प्रेरणा से संबंधित कुछ पाठ जोड़े, जिनसे मुझे आशा है कि मेरी प्रेरणा क्या थी।

— एलेकोस पापाडोपोलोस 21

यह निर्णय लेते समय आप किस जानकारी से शुरू करते हैं? आपके उदाहरण के निर्माण से, ऐसा लगता है कि आपको प्रत्येक चर के लिए सीमांत पीडीएफ दिया गया है और चर के प्रत्येक जोड़े को असंबंधित जानकारी है। आप तब निर्णय लेते हैं कि क्या वे भी स्वतंत्र हैं। क्या यह सही है?

— probabilityislogic

"फिर भी, यदि दो चर सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं, तो असंबद्धता स्वतंत्रता का अर्थ है" एक बहुत ही सामान्य गिरावट है ।

यह केवल तभी लागू होता है जब वे संयुक्त रूप से सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं।

प्रति एक मैं सबसे अधिक बार देखा है सामान्य है और स्वतंत्र Rademacher (इसलिए यह है 1 या -1 संभावना 0.5 प्रत्येक के साथ); तो भी, (इसके वितरण समारोह पर विचार से स्पष्ट) सामान्य है (समस्या यहां दिखाने के लिए है पर उम्मीद पुनरावृत्ति द्वारा जैसे , और कहा कि यह देखते हुए , $X \sim N(0,1)$ $Y$ $Z=XY$ $\operatorname{Cov}(X,Z)=0$ $\mathbb{E}(XZ)=0$ $Y$ $XZ$ $X^2$ या संभावना साथ प्रत्येक 0.5) और यह स्पष्ट है कि चर निर्भर हैं (जैसे अगर मुझे पता है तो या , इसलिए बारे में जानकारी मुझे बारे में जानकारी देती है )। $-X^2$ $X>2$ $Z>2$ $Z<-2$ $X$ $Z$

यह भी ध्यान में रखने योग्य है कि सीमांत वितरण संयुक्त वितरण को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं करते हैं। सीमांत CDFs और साथ कोई भी दो असली आरवी और लें । फिर किसी भी फ़ंक्शन के लिए: $X$ $Y$ $F_X(x)$ $G_Y(y)$ $\alpha<1$

H_{X, Y} (एक्स, y) = {एफ}_{एक्स} (एक्स) {जी}_{Y} (y) (1 + α (1 - {एफ}_{एक्स} (एक्स)) (1 - {एफ}_{Y} (y)))

$H_{X,Y}(x,y)=F_X(x)G_Y(y)\left(1+\alpha\big(1-F_X(x)\big)\big(1-F_Y(y)\big)\right)$

एक bivariate CDF होगा। ( से सीमांत प्राप्त करने के लिए सीमा लेती है क्योंकि अनंत तक जाती है, जहां लिए इसके विपरीत ।) स्पष्ट रूप से विभिन्न मूल्यों का चयन करके। की आप अलग अलग संयुक्त वितरण प्राप्त कर सकते हैं! $F_X(x)$ $H_{X,Y}(x,y)$ $y$ $F_Y(y)=1$ $Y$ $\alpha$

— silverfish
स्रोत

वास्तव में। मैं "संयुक्त" भूल गया।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

@Alecos चूंकि सीमांत वितरण सामान्य रूप से संयुक्त वितरण का निर्धारण नहीं करते हैं (बस इसे स्पष्ट करने के लिए मेरे उत्तर को संपादित किया गया है), यह आपके प्रश्न को कहां छोड़ता है?

— सिल्वरफिश

@ एलेकोस मुझे लगता है कि मुझे अब प्रश्न के पदार्थ की बेहतर समझ है: दो सीमांत वितरण, संभावित संयुक्त वितरण का एक अनंत सेट है। शून्य सहसंयोजक की स्थिति को लागू करने के लिए किन परिस्थितियों में हमें केवल उन संयुक्त वितरणों में से एक के साथ छोड़ना संभव है, जिनमें से यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं?

— सिल्वर फिश

मैं द्विचर मामले पर कायम हैं संयुक्त एमजीएफ के साथ,

और सीमांत MGFs

और

, प्रश्न बन जाता है: जब करता

M_{X, Y} (s, t)

$M_{X,Y}(s,t)$

M_{X} (s) = M_{X, Y} (s, 0)

$M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$

M_{Y} (t) = M_{X, Y} (0, t)

$M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$

मतलब है कि

\frac{\partial^{2}}{\partial s \partial t} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0} = \frac{\partial}{\partial s} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0} \cdot \frac{\partial}{\partial t} M_{X, Y} (s, t) |_{s = 0, t = 0}

$\frac{\partial^2}{\partial s \partial t}M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0} = \frac{\partial}{\partial s} M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0} \cdot \frac{\partial}{\partial t} M_{X,Y}(s,t)|_{s=0,t=0}$

M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0) \cdot M_{X,Y}(0,t)$

— सिल्वरफिश नोव

@Silverman मैं उप- निर्भरता , en.wikipedia.org/wiki/Subind dependence की अवधारणा की जांच करेगा , यह देखने के लिए कि क्या यह समस्या पल उत्पन्न करने वाले कार्यों के रूप में तैयार की जा सकती है।

— एलेकोस पापादोपोलोस