सशर्त स्वतंत्रता और इसके चित्रमय प्रतिनिधित्व के बारे में

Question

सहसंयोजक चयन का अध्ययन करते समय, मैं एक बार निम्नलिखित उदाहरण पढ़ता हूं। निम्नलिखित मॉडल के संबंध में:

इसके सहसंयोजक मैट्रिक्स और व्युत्क्रम सहसंयोजक मैट्रिक्स निम्नानुसार दिए गए हैं,

मुझे समझ नहीं आ रहा है कि और y की स्वतंत्रता का निर्णय यहाँ उलटा सहसंयोजक द्वारा क्यों किया जाता है?$x$$y$

इस संबंध में गणितीय तर्क क्या अंतर्निहित है?

इसके अलावा, निम्नलिखित आकृति में बाएं ग्राफ का दावा किया गया है कि और y के बीच स्वतंत्रता संबंध को पकड़ने के लिए ; क्यों?$x$$y$

Answer 1

उलटा सहसंयोजक मैट्रिक्स का उपयोग बहुभिन्नरूपी गौसियन वितरण के लिए सशर्त रूपांतरों और सहसंयोजकों को काम करने के लिए किया जा सकता है। पहले वाला प्रश्न कुछ संदर्भ देता है

$Y$$Z$$X=x$

$$\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{rr} \tfrac32 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & \tfrac12 \end{array} \right)$$

$Y$$Z$$X=x$

$X$$Y$$Z=z$

$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$

$X$$Y$$Z=z$$0$$1$

यह निष्कर्ष निकालने के लिए कि यह शून्य सशर्त सहसंयोजक का तात्पर्य सशर्त स्वतंत्रता से है, आपको इस तथ्य का भी उपयोग करना होगा कि यह एक बहुभिन्नरूपी गॉसियन है (जैसा कि सामान्य शून्य सहसंयोजक जरूरी स्वतंत्रता का अर्थ नहीं है)। आप इसे निर्माण से जानते हैं।

$\epsilon_1$$\epsilon_2$$Z=z$$X=z+\epsilon_1$$Y=z+\epsilon_2$$Z=z$$X$$Y$

Answer 2

यह सही और स्वीकृत उत्तर का पूरक है। विशेष रूप से, मूल प्रश्न में पुस्तक के कथन के बारे में अनुवर्ती प्रश्न शामिल हैं।

$X$$Y$

यह इस उत्तर में संबोधित किया गया है, और इस उत्तर में केवल एक चीज संबोधित है।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि हम उसी पृष्ठ पर हैं, इस क्रम में मैं (अप्रत्यक्ष) सशर्त स्वतंत्रता ग्राफ की इस परिभाषा का उपयोग करता हूं जो मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्रों से मेल खाती है (कम से कम मोटे तौर पर):

$X$$G=(K,E)$$K=\{ 1, 2, \dots, k \}$$(i,j)$$X_i \perp \! \! \! \perp X_j | X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_i$$X_j$

पी से। व्हिटेकर के 60, एप्लाइड गणितीय बहुभिन्नरूपी सांख्यिकी में ग्राफिकल मॉडल (1990)।

$X$$Y$$Z$$X \perp \! \! \perp Y \ | Z$

$X, Y$$Z$$X$$Y$$Z$

$X$$Y$

बाएं ग्राफ के संबंध में, यह अधिक संदर्भ के बिना अस्पष्ट है, लेकिन मुझे लगता है कि विचार सिर्फ यह दिखाने के लिए है कि सशर्त स्वतंत्रता ग्राफ क्या दिखेगा, अगर हम उलटा सहसंयोजक मैट्रिक्स की उन प्रविष्टियों में शून्य नहीं थे ।

$X, Y, Z$