"बंद-फ़ॉर्म समाधान" का क्या अर्थ है?

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मैं काफी बार "क्लोज-फॉर्म सॉल्यूशन" शब्द पर आया हूं। बंद-रूप समाधान का क्या अर्थ है? यदि कोई समस्या के लिए एक क्लोज-फॉर्म समाधान मौजूद है, तो यह कैसे निर्धारित किया जाता है? ऑनलाइन खोज करने पर, मुझे कुछ जानकारी मिली, लेकिन एक सांख्यिकीय या संभाव्य मॉडल / समाधान विकसित करने के संदर्भ में कुछ भी नहीं।

मैं प्रतिगमन को बहुत अच्छी तरह से समझता हूं, इसलिए यदि कोई भी प्रतिगमन या मॉडल-फिटिंग के संदर्भ में अवधारणा की व्याख्या कर सकता है, तो उपभोग करना आसान होगा। :)

— arjsgh21
स्रोत

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ऐसा लगता है कि कुछ समय के लिए कम गुणवत्ता वाले उत्तर के लिए एक चुंबक का कुछ था; मैंने सोचा कि शायद अब इसे संरक्षित किया जाना चाहिए।

— Glen_b

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"एक समीकरण को एक क्लोज्ड फॉर्म सॉल्यूशन कहा जाता है, अगर यह आम तौर पर स्वीकृत सेट से कार्यों और गणितीय कार्यों के संदर्भ में एक समस्या को हल करता है। उदाहरण के लिए, एक अनंत योग को आमतौर पर क्लोज-फॉर्म नहीं माना जाता है। हालांकि,। बंद-फ़ॉर्म को कॉल करने का विकल्प और नए "बंद-फ़ॉर्म" फ़ंक्शन के बाद क्या नहीं है, इसके बजाय मनमाने ढंग से परिभाषित किया जा सकता है। --वोल्फरम अल्फा

तथा

"गणित में, एक अभिव्यक्ति को एक क्लोज-फॉर्म अभिव्यक्ति कहा जाता है यदि इसे कुछ" अच्छी तरह से ज्ञात "कार्यों की परिमित संख्या के संदर्भ में विश्लेषणात्मक रूप से व्यक्त किया जा सकता है। आमतौर पर, इन प्रसिद्ध कार्यों को प्राथमिक कार्यों के लिए परिभाषित किया जाता है- स्थिरांक, एक चर x, अंकगणित (+ - ×,) के प्राथमिक संचालन, nth मूल, प्रतिपादक और लघुगणक (जिसमें इस प्रकार त्रिकोणमितीय कार्य और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन शामिल हैं)। अक्सर समस्याओं को शब्दों में हल करने के लिए कहा जा सकता है। एक बंद-रूप अभिव्यक्ति की। " - विकिपीडिया

रैखिक प्रतिगमन में एक बंद फॉर्म समाधान का एक उदाहरण कम से कम वर्ग समीकरण होगा

\hat{β} = (X^{T} X)^{- 1} X^{T} y

$\hat\beta=(X^TX)^{-1}X^Ty$

यह देखते हुए कि सभी प्रतिगमन परिदृश्यों को समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की समस्या के रूप में डाला जा सकता है, जब एक बंद-रूप समाधान नहीं होगा? एक बीमार-पोज़ या विरल समस्या के लिए एक अनुमानित समाधान की आवश्यकता होगी, तो क्या यह है कि एक बंद-रूप समाधान मौजूद नहीं है? कैसे के बारे में जब एक नियमितीकरण के साथ संयुक्त ढाल वंश का उपयोग करता है?

— arjsgh21

मुझे यह चर्चा सहायक

— लगी

@ arjsgh21 क्या आपको अभी भी इस बारे में और स्पष्टीकरण की आवश्यकता है कि बंद फॉर्म समाधान का क्या मतलब है? क्योंकि आपके नए प्रश्न के बारे में ऐसा लगता है जब प्रतिगमन समस्याओं में बंद फॉर्म समाधान (या नहीं) हैं जो एक पूरी तरह से नया विषय है और एक नए प्रश्न के रूप में पूछा जाना चाहिए, मेरी राय में।

धन्यवाद बाबक। मुझे लगता है कि मैं इसे अब प्राप्त करता हूं, प्रतिगमन के संदर्भ में और अन्यथा भी।

— arjsgh21 19

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यह मुझे भ्रमित करता है कि क्यों CrossValidated एकमात्र "स्टैकटेक्चेंज फ़ोरम" है जो लगातार उन उत्तरों पर ओवरफसकेटिंग-लेकिन-सही उत्तरों का समर्थन करता है जो समझ प्रदान करते हैं। वर्तमान फसल का सबसे अच्छा उत्तर @ लुका है, और यह अप्राप्य है। सच है, यह केवल एक लिंक प्रदान करता है, लेकिन एक महान लिंक जिसे समझना आसान है। यह अति-संक्षिप्त उत्तर केवल उन लोगों के लिए समस्या को हल करने में मदद करता है जो पहले से ही उत्तर जानते हैं। :(

— माइक विलियमसन

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अधिकांश अनुमान प्रक्रियाओं में कुछ उद्देश्य फ़ंक्शन को कम करने (या अधिकतम) को खोजने वाले पैरामीटर शामिल होते हैं। उदाहरण के लिए, ओएलएस के साथ, हम चुकता अवशिष्ट के योग को कम करते हैं। अधिकतम संभावना अनुमान के साथ, हम लॉग-लाइबिलिटी फ़ंक्शन को अधिकतम करते हैं। अंतर तुच्छ है: न्यूनताकरण को उद्देश्य फ़ंक्शन के नकारात्मक का उपयोग करके अधिकतमकरण में परिवर्तित किया जा सकता है।

कभी-कभी यह समस्या बीजगणित रूप से हल की जा सकती है, एक बंद-रूप समाधान का निर्माण करती है। ओएलएस के साथ, आप पहले ऑर्डर की शर्तों को हल करते हैं और परिचित फॉर्मूला प्राप्त करते हैं (हालांकि आपको उत्तर का मूल्यांकन करने के लिए अभी भी कंप्यूटर की आवश्यकता है)। अन्य मामलों में, यह गणितीय रूप से संभव नहीं है और आपको कंप्यूटर का उपयोग करके पैरामीटर मानों की खोज करने की आवश्यकता है। इस मामले में, कंप्यूटर और एल्गोरिथ्म एक बड़ी भूमिका निभाते हैं। Nonlinear कम से कम वर्ग एक उदाहरण है। आपको एक स्पष्ट सूत्र नहीं मिलता है; आपको मिलने वाला एक नुस्खा है जिसे लागू करने के लिए आपको कंप्यूटर की आवश्यकता है। नुस्खा एक प्रारंभिक अनुमान के साथ शुरू हो सकता है कि पैरामीटर क्या हो सकते हैं और वे कैसे भिन्न हो सकते हैं। आप फिर मापदंडों के विभिन्न संयोजनों का प्रयास करते हैं और देखते हैं कि कौन सा आपको सबसे कम / उच्चतम उद्देश्य फ़ंक्शन मान देता है। यह जानवर बल दृष्टिकोण है और इसमें लंबा समय लगता है। उदाहरण के लिए, $10^5$ संयोजनों, और अगर आप भाग्यशाली हैं, तो यह आपको सही उत्तर के पड़ोस में रखता है। इस दृष्टिकोण को ग्रिड खोज कहा जाता है।

या आप एक अनुमान के साथ शुरू कर सकते हैं, और किसी दिशा में अनुमान लगा सकते हैं जब तक कि उद्देश्य फ़ंक्शन में सुधार कुछ मूल्य से कम न हो। इन्हें आमतौर पर ग्रेडिएंट मेथड्स कहा जाता है (हालांकि ऐसे अन्य भी हैं जो ग्रेडिएंट का उपयोग करने के लिए नहीं करते हैं कि जेनेटिक एल्गोरिदम और सिम्युलेटेड एनालिंग की तरह किस दिशा में जाना है)। इस तरह की कुछ समस्याएं इस बात की गारंटी देती हैं कि आपको सही उत्तर जल्दी (द्विघात वस्तुनिष्ठ कार्य) मिलते हैं। अन्य ऐसी कोई गारंटी नहीं देते हैं। आप चिंता कर सकते हैं कि आप एक वैश्विक, इष्टतम के बजाय एक स्थानीय पर अटक गए हैं, इसलिए आप प्रारंभिक अनुमानों की एक श्रृंखला की कोशिश करते हैं। आप पा सकते हैं कि बेतहाशा अलग-अलग पैरामीटर आपको उद्देश्य फ़ंक्शन का समान मूल्य देते हैं, इसलिए आपको पता नहीं है कि कौन सा चुनना है।

यहाँ अंतर्ज्ञान प्राप्त करने का एक अच्छा तरीका है। मान लें कि आपके पास एक सरल घातीय प्रतिगमन मॉडल है, जहां एकमात्र प्रतिगामी अवरोधक है: start

E [y] = \exp {α}

$\begin{equation} E[y]=\exp\{\alpha\} \end{equation}$

वस्तुनिष्ठ फ़ंक्शन

Q_{N} (α) = - \frac{1}{2 N} \sum_{i}^{N} {(y_{i} - \exp {α})}^{2}

$\begin{equation} Q_N(\alpha)=-\frac{1}{2N} \sum_i^N \left( y_i - \exp\{\alpha\} \right)^2 \end{equation}$

इस सरल समस्या के साथ, दोनों दृष्टिकोण संभव हैं। व्युत्पन्न लेने से मिलने वाला बंद-फॉर्म समाधान । आप यह भी सत्यापित कर सकते हैं कि कुछ और आपको इसके बजाय में प्लग करके उद्देश्य फ़ंक्शन का एक उच्च मूल्य देता है । यदि आपके पास कुछ रजिस्टर थे, तो विश्लेषणात्मक समाधान खिड़की से बाहर चला जाता है। $\alpha^* = \ln \bar y$ $\ln (\bar y + k)$

— दिमित्री वी। मास्टरोव
स्रोत

क्या आपने अंतिम वाक्य में "विश्लेषणात्मक" को "बंद-रूप" के साथ समान रूप से समानता दी है?

— whuber

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मैंने तब सोचा था कि पर्यायवाची: mathworld.wolfram.com/Analytic.html

— दिमित्री वी। मास्टरोव

क्या आपने उस मैथवर्ल्ड पेज के अंत में असहमति टिप्पणी देखी? मुद्दा यह है कि वर्तमान संदर्भ में "विश्लेषणात्मक" को यथोचित रूप से कई अलग-अलग तरीकों से समझा जा सकता है। इसके अलावा, "विश्लेषणात्मक" और "विश्लेषणात्मक" का मतलब बिल्कुल एक ही बात नहीं है (जैसे "ऐतिहासिक" और "ऐतिहासिक" के अलग-अलग अर्थ हैं)।

— whuber

मुझे पता नहीं है कि "विश्लेषणात्मक समाधान", "विश्लेषणात्मक समाधान," और "बंद-फ़ॉर्म" के बीच अंतर है। MathWorld में विश्लेषणात्मक के लिए एक अलग प्रविष्टि नहीं है और यह एक समस्या के विश्लेषणात्मक समाधान को परिभाषित करता है, जिसे ज्ञात कार्यों, स्थिरांक आदि के संदर्भ में "बंद रूप" में लिखा जा सकता है। MW का कहना है कि विश्लेषणात्मक और विश्लेषणात्मक संस्करण हैं । ऐतिहासिक और ऐतिहासिक के बीच का अंतर मान्य है, लेकिन मैं इस मामले के साथ क्या करना है, इसका पालन नहीं करता। अगर मैं ग़लत हूँ तो कृपया मुझे सही कीजियेगा।

— दिमित्री वी। मास्टरोव

2

कई गणितीय संदर्भों में "एनालिटिक" कला का एक सटीक शब्द है, जो किसी भी कार्य को स्थानीय रूप से अभिव्यक्त करने के लिए एक शक्तिशाली श्रृंखला के रूप में लागू किया जाता है, जिसमें अभिसरण की सकारात्मक त्रिज्या होती है, जबकि "विश्लेषणात्मक" अधिक व्यापक रूप से मूल भागों में विघटन से संबंधित है। जैसा कि बाबाक के उद्धरणों से संकेत मिलता है, "बंद रूप" केवल मूल्यों के संयोजन के लिए आम तौर पर स्वीकृत प्रक्रियाओं के कुछ संदर्भ के भीतर ही अर्थ प्राप्त करता है (आमतौर पर प्राथमिक लेकिन पारमार्थिक कार्यों से मिलकर माना जाता है)।

— whuber

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मुझे लगता है कि यह वेबसाइट एक सरल अंतर्ज्ञान प्रदान करती है, जिसका एक अंश है:

एक क्लोज-फॉर्म सॉल्यूशन (या क्लोज्ड फॉर्म एक्सप्रेशन) कोई भी फॉर्मूला है जिसका मूल्यांकन मानक संचालन की सीमित संख्या में किया जा सकता है। ... एक संख्यात्मक समाधान किसी भी सन्निकटन है जिसका मूल्यांकन मानक संचालन की एक सीमित संख्या में किया जा सकता है। बंद प्रपत्र समाधान और संख्यात्मक समाधान समान हैं कि इन दोनों का मूल्यांकन मानक संचालन की सीमित संख्या के साथ किया जा सकता है। वे इसमें भिन्न हैं कि एक बंद-रूप समाधान सटीक है जबकि एक संख्यात्मक समाधान केवल अनुमानित है।

— लुका बर्टिनेट्टो
स्रोत

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केवल एक लिंक प्रदान करते समय, यह निश्चित रूप से सबसे उपयोगी उत्तर है।

— माइक विलियमसन

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वेन लिंक से एक उद्धरण को शामिल करने से निश्चित रूप से उत्तर में सुधार हुआ।

— Glen_b

2

इसके अलावा, लुका की कड़ी अब मर चुकी है।

— नरसिंह

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लेट टर्म्स या दर्दनाक क्रिया की तलाश है जो अर्थ को कठोरता से परिभाषित करती है? मुझे लगता है कि अन्य शर्तों को हर जगह पाया जा सकता है। मान लें कि आप 8 के वर्गमूल का बंद फॉर्म समाधान चाहते हैं। बंद फॉर्म समाधान 2 * (2) ^ 1/2 या दो के वर्गमूल का दो गुना है। यह गैर-बंद फॉर्म समाधान 2.8284 के विपरीत है। (69 के स्थानों पर देखने के लिए 2 का विकिपीडिया वर्ग रूट देखें यह 1 / 10,000 के भीतर सटीक है) एक बिल्कुल गणितीय शब्दों में परिभाषित किया गया है जबकि दूसरा नहीं है। एक बंद प्रपत्र समाधान एक सटीक उत्तर प्रदान करता है और एक जो बंद नहीं होता है वह एक सन्निकटन होता है, लेकिन आप एक बंद प्रपत्र समाधान के रूप में बंद कर सकते हैं जैसा कि आप चाहते हैं। लगता है कि काउंटर सहज ज्ञान युक्त है, लेकिन अगर आपको इसकी अधिक सटीक आवश्यकता है, तो बस थोड़ा और अधिक संगणना करें।

— Cheesepipe
स्रोत

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यह "बंद रूप" शब्द का एक असामान्य उपयोग है। क्या आप एक संदर्भ प्रदान कर सकते हैं?

— whuber

1

मुझे यकीन नहीं है कि मैं इस पर एक बहस जीतने के लिए समर्थन दस्तावेज के स्तर को पर्याप्त रूप से प्रदान कर सकता हूं, क्योंकि मैं आगे काम करने के लिए तैयार नहीं हूं, लेकिन यहां जाता है। क्लोज्ड फॉर्म एक्सप्रेशन के लिए विकिपीडिया पर देखें। अंतिम दो खंडों में यह वर्णन किया गया है कि कैसे बंद किए गए फॉर्म सॉल्यूशंस की आवश्यकता नहीं होती है क्योंकि संख्यात्मक अभिकलन को आमतौर पर एक समाधान पर पहुंचने के लिए सफलतापूर्वक उपयोग किया जा सकता है और निम्न अनुभाग बताता है कि कैसे कुछ गणितीय प्रोग्राम संख्यात्मक मानों से बंद फॉर्म सॉल्यूशंस उत्पन्न करने का प्रयास करते हैं। बंद फ़ॉर्म समाधान सटीक हैं (अंतरिक्ष से बाहर)

— चीज़पाइप

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संदर्भ के रूप में विकिपीडिया ठीक है। इस स्थिति में ऐसा प्रतीत होता है कि आपने "बंद फ़ॉर्म संख्या" के साथ "बंद फ़ॉर्म अभिव्यक्ति" को जब्त कर लिया है। वे एक ही चीजों का मतलब नहीं है।

— whuber

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बंद-रूप = बंद (क्रियात्मक) रूप

बंद का मतलब है कि अधिक कुछ अंदर नहीं जा सकता है; अर्थात्, कोई विकल्प => केवल एक समाधान => केवल एक फ़ंक्शन जो परिणाम और भविष्यवक्ताओं के बीच संबंध स्थापित कर सकता है।

— विवेक अस्थवंश
स्रोत

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यह भी शब्द का एक असामान्य उपयोग है। क्या आप इसके कुछ उदाहरण इस संदर्भ में उपयोग किए जा सकते हैं? मैं ज्यादातर आश्चर्यचकित हूं क्योंकि एक अक्सर बंद-रूप / इंटीग्रल के बारे में कोई बंद रूप नहीं सुनता है, जिसमें वास्तव में परिणाम या भविष्यवाणियां नहीं होती हैं।

— मैट क्रूज़