नेग बिनोमियल और जेफ़रीज़ प्रायर

मैं एक नकारात्मक द्विपद वितरण के लिए जेफ्रीज़ को प्राप्त करने से पहले कोशिश कर रहा हूं। मैं यह नहीं देख सकता कि मैं कहाँ गलत हूँ, इसलिए अगर कोई इस बात की मदद कर सकता है कि उसकी सराहना की जाएगी।

ठीक है, इसलिए स्थिति यह है: मैं एक द्विपद और एक नकारात्मक द्विपद का उपयोग करके प्राप्त किए गए पूर्व वितरणों की तुलना करने के लिए हूं, जहां (दोनों मामलों में) परीक्षण और सफलताएं हैं। मुझे द्विपद मामले के लिए सही उत्तर मिलता है, लेकिन नकारात्मक द्विपद के लिए नहीं। $n$ $m$

आइए पूर्व कॉल करें । फिर, $\pi_J(\theta)$

π_{J} (θ) \propto [I (θ)]^{1 / 2} .

$\pi_J(\theta)\propto [I(\theta)]^{1/2}.$

नियमितता की शर्तों के तहत (हम घातीय परिवार के साथ काम कर रहे हैं के रूप में पूरा),

I (θ) = - E (\frac{\partial^{2} \log L (θ | x)}{\partial θ^{2}})

$I(\theta)=-E\left(\frac{\partial^2 \log L(\theta|x)}{\partial \theta^2}\right)$ जहां नकारात्मक द्विपद के लिए है ऊपर में अभिव्यक्ति (सफलताओं की कुल संख्या तय की गई है, नहीं है)। वितरण - मुझे लगता है - है

n

$n$

x

$x$

m

$m$

n

$n$

p (m | θ) \propto θ^{m} (1 - θ)^{n - m}

$p(m|\theta)\propto\theta^m(1-\theta)^{n-m}$ बाद से को सफलता की संभावना के रूप में परिभाषित किया गया है और सफलताओं की संख्या है। यह भी संभावना है, क्योंकि एक अदिश राशि है और वेक्टर नहीं है। इसलिये,

θ

$\theta$

m

$m$

m

$m$

L (θ | n) \propto θ^{m} (1 - θ)^{n - m} \log L (θ | n) = m \log θ + (n - m) \log (1 - θ) \frac{\partial \log L (θ | n)}{\partial θ} = \frac{m}{θ} - \frac{n - m}{1 - θ} \frac{\partial^{2} \log L (θ | n)}{\partial θ^{2}} = - \frac{m}{θ^{2}} - \frac{n - m}{(1 - θ)^{2}}

$L(\theta|n)\propto\theta^m(1-\theta)^{n-m}\\ \log L(\theta|n)=m\log\theta +(n-m)\log (1-\theta)\\ \frac{\partial\log L(\theta|n)}{\partial \theta}=\frac{m}{\theta}-\frac{n-m}{1-\theta}\\ \frac{\partial^2\log L(\theta|n)}{\partial \theta^2}=-\frac{m}{\theta^2}-\frac{n-m}{(1-\theta)^2}$ तो फिशर जानकारी है

I (θ) = - E (\frac{\partial^{2} \log L (θ | n)}{\partial θ^{2}}) = \frac{m}{θ^{2}} + \frac{E (n) - m}{(1 - θ)^{2}} = \frac{m}{θ^{2}} + \frac{\frac{m θ}{1 - θ} - m}{(1 - θ)^{2}} = \frac{m (1 - θ)^{2} + \frac{m θ^{3}}{(1 - θ)} - m θ^{2}}{θ^{2} (1 - θ)^{2}} = \frac{m (1 - 2 θ) + \frac{m θ^{3}}{(1 - θ)}}{θ^{2} (1 - θ)^{2}} = \frac{m (1 - 2 θ) (1 - θ) + m θ^{3}}{θ^{2} (1 - θ)^{3}} = \frac{m (1 - 3 θ + 2 θ^{2} + θ^{3})}{θ^{2} (1 - θ)^{3}} \propto \frac{1 - 3 θ + 2 θ^{2} + θ^{3}}{θ^{2} (1 - θ)^{3}}

$I(\theta)=-E\left(\frac{\partial^2\log L(\theta|n)}{\partial \theta^2}\right)=\frac{m}{\theta^2}+\frac{E(n)-m}{(1-\theta)^2}=\frac{m}{\theta^2}+\frac{\frac{m\theta}{1-\theta}-m}{(1-\theta)^2}\\ =\frac{m(1-\theta)^2+\frac{m\theta^3}{(1-\theta)}-m\theta^2}{\theta^2(1-\theta)^2}=\frac{m(1-2\theta)+\frac{m\theta^3}{(1-\theta)}}{\theta^2(1-\theta)^2}\\ =\frac{m(1-2\theta)(1-\theta)+m\theta^3}{\theta^2(1-\theta)^3}=\frac{m(1-3\theta+2\theta^2+\theta^3)}{\theta^2(1-\theta)^3}\\ \propto\frac{1-3\theta+2\theta^2+\theta^3}{\theta^2(1-\theta)^3}$

यह, हालांकि, मुझे सही उत्तर नहीं देता है। सही जवाब है

π_{J} (θ) \propto \frac{1}{θ (1 - θ)^{1 / 2}}

$\pi_J(\theta)\propto \frac{1}{\theta(1-\theta)^{1/2}}$ the जिसका अर्थ है कि मुझे जो जानकारी मिलनी चाहिए वह होनी चाहिए

I (θ) = \frac{1}{θ^{2} (1 - θ)}

$I(\theta)=\frac{1}{\theta^2(1-\theta)}$ चूंकि पूर्व सूचना के वर्गमूल के आनुपातिक होना चाहिए।

क्या किसी को कोई गलती मिल सकती है? मुझे आश्चर्य नहीं होगा अगर मैंने वितरण के सेट अप के साथ कुछ गड़बड़ कर दी (सफलताओं बनाम असफलताएं उनकी संबंधित संभावनाओं, आदि के साथ)।

मैंने विकिपीडिया से अपेक्षित मूल्य का उपयोग किया है और मुझे यहाँ से सही उत्तर पता है (पृष्ठ 3) ।

— hejseb
स्रोत

समस्या उत्पन्न होती है क्योंकि नकारात्मक द्विपद वितरण को अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, विभिन्न योगों के लिए अपेक्षा भिन्न होती है। जिस तरह से आप नकारात्मक द्विपद बंटन निर्दिष्ट किया है, की उम्मीद है (जैसे देखने के लिए यहाँ पेज 3 पर)। इसके साथ, फ़िशर जानकारी को सरल बनाती है $n$ $E(n) = m/\theta$

I (θ) = m (\frac{1}{θ^{2} (1 - θ)})

$I(\theta) = m\left(\frac{1}{\theta^2(1-\theta)}\right)$

इस प्रकार जेफरीज़ का पूर्व

π_{J} (θ) = | I (θ) |^{1 / 2} \propto θ^{- 1} (1 - θ)^{- 1 / 2}

$\pi_{J}(\theta) = |I(\theta)|^{1/2}\propto \theta^{-1}(1-\theta)^{-1/2}$

जैसा कि आपने पहले ही नोट किया है।

— COOLSerdash
स्रोत

बहुत खूब! यह बहुत उपयोगी है और एक उत्कृष्ट संदर्भ भी है क्योंकि यह उस समस्या से गुजरता है जिससे मैं जूझ रहा था। धन्यवाद!

— हेजसेब

मुझे एक समाधान मिला है जो एक और सूत्रीकरण का उपयोग करता है, यहां देखें । मैं खुशी से मदद कर सकता है। आपका स्वागत है।

— कोलश्राद