यदि 'बी को अधिक संभावना ए' दी जाती है, तो 'ए को अधिक संभावना बी' दी जाती है।

Question

"अगर मैं पीछे एक स्पष्ट अंतर्ज्ञान पाने के लिए कोशिश कर रहा हूँ बनाता अधिक होने की संभावना तो बनाता है यानी अधिक होने की संभावना"$A$$B$$B$$A$

बता दें कि उस स्थान के आकार को दर्शाता है जिसमें और हैं$n(S)$$A$$B$

दावा: तो$P(B|A)>P(B)$$n(AB)/n(A) > n(B)/n(S)$

so$n(AB)/n(B) > n(A)/n(S)$

जो$P(A|B)>P(A)$

मैं गणित को समझता हूं, लेकिन यह सहज ज्ञान क्यों करता है?

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मैंने 'मेक' शब्द को हटाने के लिए प्रश्न का संपादन किया। यह सवाल फेसबुक पर उन अस्पष्ट सवालों की तरह लग रहा था, जहां आपको चित्रों के साथ कुछ बीजीय योग को हल करना है और लोगों को प्रश्न की अलग-अलग व्याख्याओं के कारण व्यापक रूप से अलग-अलग उत्तर मिलते हैं। यह कोई ऐसी चीज नहीं है जो हम यहां चाहते हैं। (एक विकल्प अस्पष्ट होने के लिए प्रश्न को बंद करना है और ओपी को बदलना है)।

— सेक्स्टस एम्पिरिकस

Answer 1

अंतर्ज्ञान के माध्यम से, वास्तविक दुनिया उदाहरण जैसे कि पीटर फ्लॉम देता है, कुछ लोगों के लिए सबसे अधिक उपयोगी है। दूसरी चीज जो आमतौर पर लोगों की मदद करती है वह है तस्वीरें। इसलिए, अधिकांश आधारों को कवर करने के लिए, आइए कुछ तस्वीरें देखें।

हमारे यहां जो दो संभावनाएं हैं, वे दो मूल आधारभूत संभावनाएं हैं। पहले दो स्वतंत्र विधेयकों को दिखाता है जिन्हें मैं रेड एंड प्लेन कहूंगा। यह स्पष्ट है कि वे स्वतंत्र हैं क्योंकि रेखाएं ऊपर रेखाएं हैं। सादे क्षेत्र का अनुपात जो लाल है, वह धारदार क्षेत्र के अनुपात के समान है जो लाल है और लाल रंग के कुल अनुपात के समान है।

दूसरी छवि में, हमारे पास गैर-स्वतंत्र वितरण हैं। विशेष रूप से, हमने इस तथ्य को बदले बिना कि यह लाल है, सादा लाल क्षेत्र में कुछ सादे लाल क्षेत्र का विस्तार किया है। स्पष्ट रूप से, लाल होने के कारण सादे होने की संभावना अधिक होती है।

इस बीच, उस छवि के सादे पक्ष पर एक नज़र है। स्पष्ट रूप से जो मैदानी क्षेत्र लाल है, उसका अनुपात उस पूरी छवि के अनुपात से अधिक है जो लाल है। ऐसा इसलिए है क्योंकि मैदानी क्षेत्र को एक गुच्छा अधिक क्षेत्र दिया गया है और यह सभी लाल है।

तो, लाल सादा अधिक संभावना बनाता है, और सादा लाल अधिक संभावना बनाता है।

वास्तव में यहां क्या हो रहा है? A, B के लिए प्रमाण है (अर्थात, A, B को अधिक संभावना बनाता है) जब A और B दोनों से बड़ा क्षेत्र उस स्थिति से अनुमानित होगा, यदि वे स्वतंत्र थे। क्योंकि A और B के बीच का अंतर B और A के बीच का अंतर-चौराहा है, जिसका अर्थ यह भी है कि B, A का प्रमाण है।

सावधानी का एक नोट: यद्यपि ऊपर दिया गया तर्क बहुत ही सममित प्रतीत होता है, यह मामला नहीं हो सकता है कि दोनों दिशाओं में साक्ष्य की ताकत बराबर है। उदाहरण के लिए, इस तीसरी छवि पर विचार करें। यहाँ एक ही बात हुई है: सादा लाल, पहले धारीदार लाल से संबंधित क्षेत्र खा गया है। वास्तव में, यह पूरी तरह से काम खत्म हो गया है!

ध्यान दें कि बिंदु लाल लाल होना स्पष्टता की गारंटी देता है क्योंकि कोई धारीदार लाल क्षेत्र नहीं बचा है। हालाँकि एक बिंदु सादा होने ने लालिमा की गारंटी नहीं दी है, क्योंकि अभी भी हरे क्षेत्र बाकी हैं। फिर भी, बॉक्स के एक बिंदु के सादे होने से यह संभावना बढ़ जाती है कि यह लाल है, और लाल होने के कारण एक मौका बढ़ जाता है कि यह सादा है। दोनों दिशाओं में अधिक संभावना है, बस एक ही राशि से नहीं।

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मुझे चित्र पसंद हैं :) हालाँकि ऐसा लगता है कि या तो चित्र या स्पष्टीकरण फ़्लिप किया गया है: In the second image, we have non-independent distributions. Specifically, we have moved some of the stripy red area into the plain area without changing the fact that it is red. Clearly then, being red makes being plain more likely. - आपकी दूसरी छवि को पहले की तुलना में सादा क्षेत्र प्राप्त हुआ है, इसलिए छवि 1 से 2 तक हम सादे क्षेत्र को धारीदार क्षेत्र में स्थानांतरित कर चुके हैं।

— पॉड

इसलिए, अगर मेरे पास कुछ सामान्य ए, बी चौराहे क्षेत्र के साथ वेन आरेख है और सभी मैं करता हूं तो उस चौराहे के क्षेत्र में वृद्धि होती है, मैं स्वचालित रूप से पूरे स्थान के लिए अधिक ए, बी जोड़ देता हूं (अंतरिक्ष को बड़ा किए बिना) और परिवर्तन / वृद्धि एन (ए) ) / एन (एस) और एन (बी) / एन (एस) एक परिणाम के रूप में। सही? अधिक टिप्पणियाँ?

— राहुल देवरा

लाल बनाम हरा रंग अंधे लोगों के लिए एक समस्याग्रस्त संयोजन है।

— रिचर्ड हार्डी

@ मुझे लगता है कि यह एक प्राकृतिक भाषा की अस्पष्टता है जिसका आप वर्णन कर रहे हैं। "हमने कुछ धारीदार लाल क्षेत्र को मैदानी क्षेत्र में स्थानांतरित किया है" के रूप में "हमने कुछ क्षेत्रों को पूर्व में धारीदार लाल के रूप में जाना है और इसे सादे क्षेत्र में बदल दिया है "। मुझे लगता है कि आप [अ-] इसे पढ़ने के रूप में "हम है विस्तारित क्षेत्र में stripy लाल क्षेत्र के कुछ पूर्व में सादे रूप में जाना जाता" ।

— पीटर - मोनिका

Answer 2

मुझे लगता है कि इसे लगाने का एक और गणितीय तरीका मदद कर सकता है। बेयस नियम के संदर्भ में दावे पर विचार करें:

दावा: यदि तो$P(B|A)>P(B)$$P(A|B) > P(A)$

बेयों का नियम:

$$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \, P(A)}{P(B)}$$

यह सोचते हैं $P(B)$अशून्य। इस प्रकार

$$\frac{P(A|B)}{P(A)} = \frac{P(B|A)}{P(B)}$$

अगर $P(B|A)>P(B)$, फिर $\frac{P(B|A)}{P(B)} > 1$।

फिर $\frac{P(A|B)}{P(A)} > 1$, इसलिए $P(A|B) > P(A)$।

यह दावा और एक और भी मजबूत निष्कर्ष साबित करता है - कि संभावना के संबंधित अनुपात बराबर होना चाहिए।

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मुझे यह पसंद आया क्योंकि यह मजबूत लिंक को दिखाता है "यदि ए बी एक्स प्रतिशत को अधिक संभावना बनाता है, तो बी ए एक्स प्रतिशत को अधिक संभावना बनाता है"

— संभाव्यता

@probabilityislogic इसे इस तरह से फ़ेसिंग करना अस्पष्टता का परिचय देता है। यदि पूर्व संभावना 10% है, और पीछे 15% है, तो क्या संभावना 5% (15% घटा 10%) या 50% (15% 10% से विभाजित) में वृद्धि हुई है?

— संचय

एक सरल प्रमाण: यदि $P(B|A) > P(B)$, तो उस और बेयस नियम का उपयोग करके, हमारे पास है $P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B) > P(B)P(A)/P(B) = P(A)$

— रे

Answer 3

खैर, मुझे सवाल में "मेक" शब्द पसंद नहीं है। तात्पर्य यह है कि किसी प्रकार की कार्य-कारणता और कार्य-कारण आमतौर पर विपरीत नहीं होते हैं।

लेकिन आपने अंतर्ज्ञान के लिए कहा। इसलिए, मैं कुछ उदाहरणों के बारे में सोचता हूं, क्योंकि यह स्पार्क अंतर्ज्ञान लगता है। आपको जो पसंद है उसे चुनें:

यदि एक व्यक्ति एक महिला है, तो यह अधिक संभावना है कि व्यक्ति ने एक डेमोक्रेट के लिए मतदान किया।
यदि कोई व्यक्ति डेमोक्रेट के लिए मतदान करता है, तो यह अधिक संभावना है कि वह व्यक्ति एक महिला है।

यदि कोई व्यक्ति एक पेशेवर बास्केटबॉल केंद्र है, तो यह अधिक संभावना है कि वह 2 मीटर से अधिक लंबा हो।
यदि कोई व्यक्ति 2 मीटर से अधिक लंबा है, तो यह अधिक संभावना है कि वह एक बास्केटबॉल केंद्र है।

यदि यह 40 डिग्री सेल्सियस से अधिक है, तो यह अधिक संभावना है कि एक ब्लैकआउट होगा।
यदि कोई ब्लैकआउट हुआ है, तो यह अधिक संभावना है कि यह 40 डिग्री से अधिक है।

और इसी तरह।

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यह संभावना के बारे में नहीं है। यह लगभग 1 से 1 संबंध है।

— पीटर Flom

@jww "अगर बारिश हो रही है, तो सड़क गीली है" कथन की कल्पना करें (और मान लें कि इस समय इसका वैध निहितार्थ है, जबकि इसका कायल नहीं है)। अब अलग-अलग समय और स्थानों में बड़ी संख्या में "नमूने" लें, जहां आप रिकॉर्ड करते हैं कि क्या बारिश हो रही है और क्या सड़क गीली है। सड़क नमूनों में से अधिक में गीली हो जाएगी जहां नमूनों की तुलना में बारिश हो रही है जहां यह नहीं है; लेकिन यह भी , यह उन नमूनों में से अधिक में बारिश होगी जहां सड़क नमूनों की तुलना में गीला है, जहां सड़क सूखी है। यही संभावना है।

— हॉब्स

दोनों घटनाएं एक ही निहितार्थ के कारण होती हैं ; निहितार्थ केवल एक ही तरह से काम करता है, लेकिन परिणाम का अवलोकन करने से यह अधिक संभावना बनती है कि आप एक नमूना देख रहे हैं जहां एंटीसेडेंट सच है।

— हॉब्स

@Barar क्षमा करें, लेकिन यह आंशिक रूप से मेरे तर्क की शुद्धता को दर्शाता है। क्योंकि कहते हैं कि 36 / 25,000 एक पूरे 1 / 150,000,000 से बहुत अधिक है।

— पीटर Flom

2 मीटर से कम लंबे व्यक्ति की तुलना में अधिक संभावना है।

— पीटर Flom

Answer 4

@Dasherman द्वारा उत्तर को जोड़ने के लिए: यह कहने का क्या मतलब हो सकता है कि दो घटनाएँ संबंधित हैं , या शायद संबंधित हैं या सहसंबद्ध हैं ? हो सकता है कि हम एक परिभाषा के लिए संयुक्त संभावना (मान लें) की तुलना कर सकते हैं$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \P(A)>0, \P(B)>0$):

$$\eta(A,B)=\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}$$ तो अगर $\eta$ एक से बड़ा है, $A$ तथा $B$स्वतंत्रता के तहत एक साथ अधिक बार होता है। तब हम कह सकते हैं कि$A$ तथा $B$ सकारात्मक रूप से संबंधित हैं।

लेकिन अब, सशर्त संभाव्यता की परिभाषा का उपयोग करते हुए, $\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}>1$ का एक आसान परिणाम है $\P(B \mid A) > \P(B)$। परंतु$\frac{\P(A \cap B)}{\P(A) \P(B)}$ पूरी तरह से सममित है $A$ तथा $B$ (प्रतीक की सभी घटनाओं को आपस में जोड़कर $A$ साथ में $B$ और इसके विपरीत) समान सूत्र छोड़ देता है, इसलिए समान भी है $\P(A \mid B) > \P(A)$। वह परिणाम देता है। इसलिए आप जो अंतर्ज्ञान पूछते हैं, वह यही है$\eta(A,B)$ में सममित है $A$ तथा $B$।

@Gunes के जवाब ने एक व्यावहारिक उदाहरण दिया, और दूसरों को उसी तरह बनाना आसान है।

Answer 5

यदि A, B को अधिक संभावित बनाता है, तो इसका मतलब है कि घटनाएँ किसी तरह से संबंधित हैं। यह रिश्ता दोनों तरह से काम करता है।

यदि A, B को अधिक संभावित बनाता है, तो इसका अर्थ है कि A और B एक साथ होते हैं। इसका मतलब है कि बी भी ए को अधिक संभावना बनाता है।

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यह शायद कुछ विस्तार का उपयोग कर सकता है? संबंधित की परिभाषा के बिना यह थोड़ा खाली है।

— mdewey

मैं कुछ भी कठोर से दूर रहने की कोशिश कर रहा था, क्योंकि ओपी ने सहज व्याख्या के लिए कहा था। आप सही कह रहे हैं कि यह अभी काफी खाली है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि इसे सहज तरीके से कैसे बढ़ाया जाए। मैंने एक प्रयास और जोड़ा है।

— दशमरन

Answer 6

यदि A B को अधिक संभावना बनाता है, A के पास महत्वपूर्ण जानकारी है जो B अपने बारे में अनुमान लगा सकता है। इस तथ्य के बावजूद कि यह उतनी ही राशि का योगदान नहीं दे सकता है, लेकिन यह जानकारी अन्य तरीके से नहीं खोई है। आखिरकार, हमारे पास दो घटनाएँ हैं जो उनकी घटना एक दूसरे का समर्थन करती हैं। मैं ऐसे परिदृश्य की कल्पना नहीं कर सकता जहाँ A की घटना B की संभावना को बढ़ाती है, और B की घटना घटने पर A. की संभावना कम हो जाती है। उदाहरण के लिए, यदि बारिश होती है, तो फर्श उच्च संभावना के साथ गीला हो जाएगा, और यदि फर्श गीला, इसका मतलब यह नहीं है कि बारिश हुई लेकिन इससे मौके कम नहीं हुए।

Answer 7

आप आकस्मिक तालिका की कल्पना करके गणित को अधिक सहज बना सकते हैं।

$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &a+b+c+d & a+c & b+d \\\hline B& a+b& a & b \\ \lnot B & c+d& c & d \\ \end{array} \end{array}$

• कब $A$ तथा $B$ स्वतंत्र हैं तो संयुक्त संभावनाएं सीमांत संभावनाओं के उत्पाद हैं

  $$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &1 & x & 1-x \\\hline B& y& a=xy & b=(1-x)y \\ \lnot B & 1-y& c=x (1-y) & d=(1-x)(1-y)\\ \end{array} \end{array}$$ ऐसे मामले में आपके पास समान सीमांत और सशर्त संभावनाएं होंगी, जैसे $P (A) = P (A|B)$ तथा $P (B)=P (B|A)$।

• जब कोई स्वतंत्रता नहीं होती है तो आप इसे मापदंडों को छोड़ते हुए देख सकते हैं $a,b,c,d$ एक ही (मार्जिन के उत्पादों के रूप में) लेकिन सिर्फ एक समायोजन के साथ $\pm z$

  $$\begin{array}{cc} \begin{array}{cc|cc} && A & \lnot A & \\ &1 & x & 1-x \\\hline B& y& a+z & b-z \\ \lnot B & 1-y& c-z & d+z\\ \end{array} \end{array}$$

  आप इसे देख सकते हैं $z$ सीमांत और सशर्त संभावनाओं की समानता को तोड़ने या सीमांत संभावनाओं के उत्पाद होने की संयुक्त संभावनाओं के लिए संबंध को तोड़ने के रूप में।

  अब, इस दृष्टिकोण से (इन समानता को तोड़ने का) आप देख सकते हैं कि यह ब्रेकिंग दो तरह से होती है $P(A|B) \neq P(A)$ तथा $P(B|A) \neq P(B)$। और असमानता दोनों मामलों के लिए होगी$>$ कब $z$ सकारात्मक है और $<$ कब $z$ नकारात्मक है।

तो आप कनेक्शन देख सकते हैं $P(A|B) > P(A)$ फिर $P(B|A) > P(B)$ संयुक्त संभावना के माध्यम से $P(B,A) > P (A) P (B)$।

यदि ए और बी अक्सर एक साथ होते हैं (संयुक्त संभावना अधिक है तो सीमांत संभावनाओं के उत्पाद) तो एक का अवलोकन करने से (सशर्त) दूसरे की संभावना अधिक हो जाएगी।

Answer 8

मान लें कि हम किसी घटना के पूर्व-से-पूर्व संभाव्यता अनुपात को निरूपित करते हैं:

$$\Delta(A|B) \equiv \frac{\mathbb{P}(A|B)}{\mathbb{P}(A)}$$

फिर बेयस की प्रमेय की एक वैकल्पिक अभिव्यक्ति (इस संबंधित पोस्ट देखें ) है:

$$\Delta(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A|B)}{\mathbb{P}(A)} = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B)} = \frac{\mathbb{P}(B|A)}{\mathbb{P}(B)} = \Delta(B|A).$$

पूर्व-से-पूर्व संभावना अनुपात हमें बताता है कि क्या तर्क घटना को कंडीशनिंग घटना की घटना (और कितना अधिक या कम होने की संभावना) से अधिक या कम संभावना है। बेयस के प्रमेय के उपरोक्त रूप से पता चलता है कि चर से पूर्व-से-पूर्व संभाव्यता अनुपात सममित है।$^\dagger$ उदाहरण के लिए, यदि अवलोकन हो $B$ बनाता है $A$इससे अधिक संभावना एक प्राथमिकता थी , फिर अवलोकन करना$A$ बनाता है $B$इससे अधिक संभावना एक प्राथमिकता थी ।

---

$^\dagger$ध्यान दें कि यह एक प्रायिकता नियम है, और इसलिए इसे यथोचित रूप से व्याख्यायित नहीं किया जाना चाहिए । यह समरूपता निष्क्रिय अवलोकन के लिए एक संभाव्य अर्थ में सच है --- हालांकि, यह सच नहीं है अगर आप सिस्टम में बदलाव के लिए हस्तक्षेप करते हैं$A$ या $B$। उस बाद के मामले में आपको कारण संचालन (जैसे,) का उपयोग करने की आवश्यकता होगी$\text{do}$ ऑपरेटर) कंडीशनिंग चर में परिवर्तन के प्रभाव को खोजने के लिए।

Answer 9

आपको बताया जाता है कि सैम एक महिला है और किम एक पुरुष है, और दो में से एक मेकअप करता है और दूसरा नहीं करता है। उनमें से कौन आपको अनुमान लगाएगा कि आप मेकअप पहनते हैं?

आपको बताया जाता है कि सैम मेकअप करता है और किम नहीं करता है, और दोनों में से एक पुरुष है और एक महिला है। आपको कौन लगता है कि महिला है?

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इसे मूल समस्या से जोड़ना इतना सीधा नहीं है। ईवेंट ए क्या है और ईवेंट बी क्या है? यहाँ यह संभावनाओं की कुछ तुलना की तरह लगता है। ईवेंट A 'x एक महिला है' (नहीं A ईवेंट है 'x एक पुरुष है')। और इवेंट बी 'एक्स वियर मेकअप' है। लेकिन अब हमारे पास अचानक एक सैम और किम है, जो कहाँ से आता है और क्या हमें उनके नाम के व्यक्तिपरक पुरुषत्व या स्त्रीत्व के बारे में कुछ भी जानकारी का उपयोग करना चाहिए?

— सेक्स्टस एम्पिरिकस

Answer 10

ऐसा लगता है कि कार्य और सहसंबंध के बीच कुछ भ्रम है। वास्तव में, प्रश्न कथन कार्य के लिए गलत है, जैसा कि एक उदाहरण द्वारा देखा जा सकता है:

• अगर कोई कुत्ता दुपट्टा पहने है, तो यह एक पालतू जानवर है।

निम्नलिखित सत्य नहीं है:

• एक पालतू जानवर को दुपट्टा पहने हुए देखकर लगता है कि यह एक कुत्ता है।
• एक पालतू कुत्ते को देखकर लगता है कि उसने दुपट्टा पहन रखा है।

हालाँकि, यदि आप संभावनाओं (सहसंबंध) के बारे में सोच रहे हैं तो यह सच है:

• स्कार्फ पहनने वाले कुत्तों में पालतू जानवरों की तुलना में पालतू जानवरों की तुलना में पालतू जानवर होने की संभावना बहुत अधिक होती है (या उस मामले के लिए सामान्य रूप से जानवर)

निम्नलिखित सत्य है:

• दुपट्टा पहनने वाला पालतू जानवर दूसरे जानवर की तुलना में कुत्ता होने की अधिक संभावना है।
• एक पालतू कुत्ते को गैर-पालतू कुत्ते की तुलना में दुपट्टा पहनने की अधिक संभावना है।

यदि यह सहज नहीं है, तो चींटियों, कुत्तों और बिल्लियों सहित जानवरों के एक पूल के बारे में सोचें। कुत्ते और बिल्ली दोनों को पालतू बनाया जा सकता है और दुपट्टा पहन सकते हैं, चींटियाँ भी नहीं मार सकतीं।

1. यदि आप अपने पूल में पालतू जानवरों की संभावना बढ़ाते हैं, तो इसका मतलब यह भी होगा कि आप दुपट्टा पहने किसी जानवर को देखने की संभावना बढ़ा देंगे।
2. यदि आप या तो बिल्लियों या कुत्तों की संभावना बढ़ाते हैं, तो आप दुपट्टा पहने किसी जानवर को देखने की संभावना भी बढ़ा सकते हैं।

पालतू होना जानवर के बीच "गुप्त" कड़ी है और दुपट्टा पहनना है, और यह "गुप्त" लिंक दोनों तरीकों से अपने प्रभाव को बढ़ाएगा।

संपादित करें: टिप्पणियों में अपने प्रश्न के लिए एक उदाहरण देते हुए:

एक ऐसी दुनिया की कल्पना करें जहां जानवर या तो बिल्ली या कुत्ते हों। वे या तो पालतू हो सकते हैं या नहीं। वे दुपट्टा पहन सकती हैं या नहीं। कल्पना कीजिए कि कुल 100 पशु, 50 कुत्ते और 50 बिल्लियाँ मौजूद हैं।

अब ए के कथन पर विचार करें: " दुपट्टा पहनने वाले कुत्ते तीन बार पालतू जानवर होने की संभावना है, क्योंकि कुत्ते दुपट्टे नहीं पहनते हैं "।

यदि ए सत्य नहीं है, तो आप कल्पना कर सकते हैं कि दुनिया 50 कुत्तों से बन सकती है, उनमें से 25 पालतू (जिनमें से 10 स्कार्फ), उनमें से 25 जंगली (जिनमें से 10 स्कार्फ पहनते हैं)। बिल्लियों के लिए एक ही आँकड़े।

फिर, यदि आपने इस दुनिया में एक पालतू जानवर देखा, तो उसके पास कुत्ते होने का 50% मौका होगा (25/50, 50 पालतू जानवरों में से 25 कुत्ते) और 40% दुपट्टा होने का मौका (20/50, 10 कुत्ते) और 50 पालतू जानवरों में से 10 बिल्लियाँ)।

हालाँकि, यदि A सत्य है, तो आपके पास एक ऐसी दुनिया है जहाँ 50 कुत्ते हैं, उनमें से 25 पालतू हैं (जिनमें से 15 स्कार्फ पहनते हैं ), उनमें से 25 जंगली (जिनमें से 5 स्कार्फ पहनते हैं) )। बिल्लियाँ पुराने आँकड़े बनाए रखती हैं: 50 बिल्लियाँ, उनमें से 25 पालतू (जिनमें से 10 स्कार्फ पहनते हैं), उनमें से 25 जंगली (जिनमें से 10 स्कार्फ पहनते हैं)।

फिर, अगर आपने इस दुनिया में एक पालतू जानवर को देखा, तो उसके पास कुत्ते होने का 50% मौका (25/50, 50 पालतू जानवरों में से 25 कुत्ते) होगा, लेकिन 50% होगा (25/50, 15 कुत्ते और) होंगे 50 पालतू जानवरों में से 10 बिल्लियाँ)।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आप कहते हैं कि A सत्य है, तो अगर आपने किसी पालतू जानवर को दुनिया में दुपट्टा पहने देखा, तो यह किसी अन्य जानवर की तुलना में डॉग (60% या 15/25) की संभावना होगी (इस मामले में) बिल्ली, 40% या 10/25)।

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यह वह रेखा है जिसके साथ मुझे एक समस्या है "दुपट्टा पहने एक पालतू जानवर दूसरे कुत्ते की तुलना में कुत्ता होने की अधिक संभावना है।" जब हमने अपना प्रारंभिक बयान दिया तो हमने दूसरे जानवरों पर कोई दावा नहीं किया जो दुपट्टा पहन सकते थे। 100s हो सकते हैं। हमने केवल कुत्तों के बारे में एक बयान दिया।

— राहुल देवरा

देखें कि क्या मेरा संपादन आपके विशेष मुद्दे के साथ मदद करता है।

— H4uZ

Answer 11

कार्य-कारण और सह-संबंध के बीच यहां एक भ्रम है। तो मैं आपको एक उदाहरण दूंगा जहां सटीक विपरीत होता है।

कुछ लोग अमीर हैं, कुछ गरीब हैं। कुछ गरीब लोगों को लाभ दिया जाता है, जो उन्हें कम गरीब बनाता है। लेकिन जिन लोगों को लाभ मिलता है, वे अभी भी लाभ के साथ, गरीब होने की अधिक संभावना है।

यदि आपको लाभ दिया जाता है, तो यह अधिक संभावना है कि आप सिनेमा टिकट खरीद सकते हैं। ("इसे अधिक संभावना बनाता है" जिसका अर्थ कार्य-कारण है)। लेकिन अगर आप सिनेमा टिकट खरीद सकते हैं, तो यह कम संभावना है कि आप उन लोगों में से हैं जो लाभ पाने के लिए पर्याप्त गरीब हैं, इसलिए यदि आप सिनेमा टिकट खरीद सकते हैं, तो आपको लाभ मिलने की संभावना कम है।

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यह सवाल का जवाब नहीं है। दिलचस्प है, लेकिन जवाब नहीं। वास्तव में, यह एक अलग परिदृश्य के बारे में बात कर रहा है; विपरीत होने का कारण यह है कि यह दो अलग-अलग मैट्रिक्स का उपयोग कर रहा है, जिनका नाम समान रूप से रखा गया है (लाभ के बिना गरीब बनाम लाभ के साथ गरीब) और जैसा कि पूरी तरह से अलग परिदृश्य है।

— wizzwizz4

Answer 12

यदि आप मजबूत कथन को देखते हैं तो अंतर्ज्ञान स्पष्ट हो जाता है:

यदि A का अर्थ B है, तो B, A की अधिक संभावना बनाता है।

Implication:
  A true  -> B true
  A false -> B true or false
Reverse implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false

स्पष्ट रूप से A के सत्य होने की संभावना अधिक है यदि B को सत्य के रूप में भी जाना जाता है, क्योंकि यदि B गलत था तो ऐसा होगा। A. वही तर्क कमजोर कथन पर लागू होता है:

यदि A, B को अधिक संभावना बनाता है, तो B, A को अधिक संभावना बनाता है।

Weak implication:
  A true  -> B true or (unlikely) false
  A false -> B true or false
Reverse weak implication:
  B true  -> A true or false
  B false -> A false or (unlikely) true

Comments

मुझे लगता है कि आप पहले बयान में जो कह रहे हैं वह यह है कि एक व्योम आरेख में यदि A, B में समाहित है, तो यदि B सत्य n (A) / n (B) n (A) / n (S) से अधिक होना चाहिए जैसा कि बी, एस की तुलना में एक छोटा स्थान है। दूसरे में भी, आप इसी तरह कहते हैं?

— राहुल देवरा

@RahulDeora - हाँ, यह है कि यह कैसे काम करता है। कमजोर संस्करण बहुत कम स्पष्ट है, लेकिन आपने पहले ही गणित को वैसे भी किया था। आपने जो पूछा, वह परिणाम के पीछे का अंतर्ज्ञान है, जिसे मजबूत कथन में सर्वोत्तम रूप से देखा जा सकता है।

— रेनर पी।

कुछ और अंतर्ज्ञान हासिल करने के लिए इस कथन का उपयोग करने के साथ एक छोटी समस्या यह है कि यह पूरी तरह से सच नहीं है। 'जब बी तब A अधिक होता है' के लिए 'A implying B' पर्याप्त स्थिति नहीं है। महत्वपूर्ण अंतर यह है कि 'A implying B' के साथ B को अधिक संभावना बनाने की आवश्यकता नहीं है। सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण हैं जब बी हमेशा सच होता है।

— सेकसियस एम्पिरिकस

Answer 13

मान लीजिए कि ऐलिस में औसत से अधिक मुक्त थ्रो दर है। फिर एक शॉट के सफल होने की संभावना, यह देखते हुए कि यह ऐलिस द्वारा प्रयास किया गया है, सामान्य रूप से एक शॉट के सफल होने की संभावना से अधिक है$P(successful|Alice)>P(successful)$। हम यह भी निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एलिस का सफल शॉट्स का हिस्सा सामान्य तौर पर उसके शॉट्स के हिस्से से अधिक है:$P(Alice|successful)>P(Alice)$।

या मान लीजिए कि एक ऐसा स्कूल है जिसके स्कूल जिले में 10% छात्र हैं, लेकिन सीधे-ए के छात्रों का 15%। फिर स्पष्ट रूप से उस स्कूल में छात्रों का प्रतिशत जो सीधे-ए छात्र हैं, जिला-व्यापी प्रतिशत से अधिक है।

इसे देखने का एक और तरीका: ए अधिक संभावना है, बी, अगर दिया गया $P(A\&B)>P(A)P(B)$, और वह पूरी तरह सममित है जिसके संबंध में है $A$ तथा $B$।