क्या स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं जैसे कि गौसियन प्रक्रिया / डिरिक्लेट प्रक्रिया में घनत्व होते हैं? यदि नहीं, तो उन पर बेयस नियम कैसे लागू किया जा सकता है?

Question

Dirichlet Pocess और Gaussian Process को अक्सर "कार्य पर वितरण" या "वितरण पर वितरण" के रूप में जाना जाता है। उस मामले में, क्या मैं सार्थक रूप से एक जीपी के तहत एक फ़ंक्शन के घनत्व के बारे में बात कर सकता हूं? यही है, क्या गाऊसी प्रक्रिया या डिरिचलेट प्रक्रिया में संभावना घनत्व की कुछ धारणा है?

यदि यह नहीं है, तो हम बेयर्स के नियम का उपयोग कैसे कर सकते हैं पूर्व से पीछे जाने के लिए, अगर किसी फ़ंक्शन की पूर्व संभावना की धारणा अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है? क्या बाएपियन नॉनपैरेट्रिक दुनिया में एमएपी या ईएपी अनुमान जैसी चीजें मौजूद हैं? बहुत बहुत धन्यवाद।

Comments

यह देखते हुए कि (जैसे) गॉसियन प्रक्रिया की प्राप्ति केवल बिंदुओं के एक सीमित संग्रह पर देखी जाती है, लेब्सगेज उपायों के संबंधित उत्पाद का वर्चस्व उपाय है। जिसका अर्थ है कि बिंदुओं के सीमित संग्रह में यादृच्छिक फ़ंक्शन के अवलोकन के लिए , एक घनत्व मौजूद है। $f$

— शीआन

घनत्व के बारे में उत्तर हाँ है, और उपयुक्त गणितीय सूत्रीकरण को रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न कहा जाता है।

— whuber

Answer 1

एक "घनत्व" या "संभावना" माप सिद्धांत में राडोण-निकोडियम प्रमेय से संबंधित है। जैसा कि @ शीआन द्वारा नोट किया गया है, जब आप एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के तथाकथित आंशिक टिप्पणियों के एक सीमित सेट पर विचार करते हैं , तो संभावना लेविस माप को व्युत्पन्न wrt की सामान्य धारणा से मेल खाती है। उदाहरण के लिए, इंडिसेस के एक ज्ञात परिमित सेट पर एक गॉसियन प्रक्रिया के देखे जाने की संभावना एक गॉसियन रैंडम वेक्टर है, जिसका अर्थ है कि इस प्रक्रिया से उत्पन्न एक सहसंयोजक, जो दोनों को मानकीकृत रूप ले सकता है।

आदर्शित मामले में जहां एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया से अनंत संख्या में अवलोकन उपलब्ध हैं, संभावना माप अनंत-आयामी स्थान पर है, उदाहरण के लिए निरंतर कार्यों का एक स्थान अगर स्टोकेस्टिक प्रक्रिया में निरंतर पथ होते हैं। लेकिन अनंत-आयामी अंतरिक्ष पर एक लेब्स लीग उपाय की तरह कुछ भी मौजूद नहीं है, इसलिए संभावना की कोई सीधी परिभाषा नहीं है।

गॉसियन प्रक्रियाओं के लिए कुछ मामले हैं जहां हम गॉसियन उपायों की समानता की धारणा का उपयोग करके एक संभावना को परिभाषित कर सकते हैं। एक महत्वपूर्ण उदाहरण Girsanov के प्रमेय द्वारा प्रदान किया जाता है, जिसका व्यापक रूप से वित्तीय गणित में उपयोग किया जाता है। यह परिभाषित करता है एक इतो प्रसार की संभावना व्युत्पन्न wrt के रूप में एक मानक वीनर प्रक्रिया के प्रायिकता वितरण के लिए परिभाषित । बर्न्ट ऑक्सेंडल की पुस्तक में एक साफ-सुथरा गणित प्रदर्शनी पाया गया है । Särkkä और Solin द्वारा (आगामी) पुस्तक एक अधिक सहज प्रस्तुति प्रदान करती है जो चिकित्सकों को मदद करेगी। नैट एल्डरिज द्वारा अनंत-आयामी रिक्त स्थान पर विश्लेषण और संभाव्यता पर एक शानदार गणित प्रदर्शनी उपलब्ध है।$Y_t$$B_t$$t \geq 0$

ध्यान दें कि एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया की संभावना जो पूरी तरह से देखी जाएगी, उसे कभी-कभी सांख्यिकीविदों द्वारा infill संभावना कहा जाता है ।

Comments

बहुत उपयोगी व्याख्या! मुझे लगता है कि Bayesian Nonparametrics में इन जैसे विषयों के बारे में मेरे भ्रम का हिस्सा उपाय सिद्धांत और कार्यात्मक विश्लेषण के साथ मेरे परिचित की कमी के कारण है, इसलिए मुझे आपके संदर्भों की जांच करना सुनिश्चित होगा।

— snickerdoodles777