दिखाने वाले उदाहरण का निर्माण

कैसे एक प्रायिकता वितरण का एक उदाहरण है, जिसके लिए निर्माण करने के लिए रखती है, यह सोचते हैं ? $\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)=\frac{1}{\mathbb{E}(X)}$ $\mathbb{P}(X\ne0)=1$

सकारात्मक-मूल्यवान आरवी लिए जेन्सेन की असमानता से जो असमानता होती है, वह (यदि के विपरीत असमानता )। इसका कारण यह है कि मैपिंग लिए उत्तल है और लिए अवतल है । जेनसन की असमानता में समानता की स्थिति के बाद, मुझे लगता है कि वितरण को धारण करने के लिए आवश्यक समानता के लिए पतित होना पड़ता है। एक तुच्छ मामला जहां समानता रखती है निश्चित रूप से अगर ae यहाँ एक उदाहरण है जो मुझे एक समस्या पुस्तक में मिला है: असतत यादृच्छिक चर पर विचार करें जैसे कि $X$ $\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)\ge\frac{1}{\mathbb{E}(X)}$ $X<0$ $x\mapsto\frac{1}{x}$ $x>0$ $x<0$ $X=1$ $X$ $\mathbb{P}(X=-1)=\frac{1}{9}, \mathbb{P}(X=\frac{1}{2})=\mathbb{P}(X=2)=\frac{4}{9}$ । तब यह आसानी से सत्यापित हो जाता है कि । $\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)=\frac{1}{\mathbb{E}(X)}=1$

यह उदाहरण दिखाता है कि शीर्षक में समानता के लिए धनात्मक (या ऋणात्मक) ae होने की आवश्यकता नहीं है। यहाँ वितरण भी पतित नहीं है। $X$

मैं एक उदाहरण का निर्माण कैसे करूं, संभवत: जैसा मैंने पुस्तक में पाया है? क्या कोई प्रेरणा है?

— StubbornAtom
स्रोत

आपका उदाहरण किसी भी यादृच्छिक चर के लिए पकड़ है जो एक गैर-शून्य स्थिर है। इसके अलावा आपका दूसरा उदाहरण पतित नहीं है।

— माइकल आर। चेरनिक

असमानता है नहीं आगे मान कि बिना जेन्सेन की असमानता से पालन लगभग निश्चित रूप से सकारात्मक है।

X

$X$

— whuber

@MichaelChernick मैंने यह कहने का अर्थ नहीं किया कि उदाहरण में एक विकृत वितरण था।

— स्टबबोर्नटॉम

मैं आपके कथन का उल्लेख कर रहा था "जेन्सेन की असमानता में समानता की स्थिति के बाद, मुझे लगता है कि वितरण को धारण करने के लिए आवश्यक समानता के लिए पतित होना पड़ता है।" फिर भी आपने एक अप्रतिम उदाहरण दिखाया।

— माइकल आर। चेरनिक

@ जब मैं केवल यह जानना चाहता हूं कि एक उदाहरण कैसे खोजना है जहां शीर्षक में समानता सत्य है।

— StubbornAtom

चलो यादृच्छिक चर सभी संभावित उदाहरणों का निर्माण करते हैं , जिसके लिए । फिर, उनमें से, हम सबसे सरल संभव उदाहरण प्राप्त करने के लिए कुछ अनुमानों का पालन कर सकते हैं । इन अनुमानों में उन सभी अभिव्यक्तियों को सरलतम संभव मान देना शामिल है जो प्रारंभिक विश्लेषण से बाहर हो जाते हैं। यह पाठ्यपुस्तक का उदाहरण है। $X$ $E[X]E[1/X]=1$

प्रारंभिक विश्लेषण

इसके लिए परिभाषाओं के आधार पर केवल थोड़े से विश्लेषण की आवश्यकता होती है। समाधान केवल माध्यमिक हित का है: मुख्य उद्देश्य अंतर्दृष्टि विकसित करना है ताकि हमें सहज रूप से परिणामों को समझने में मदद मिल सके।

सबसे पहले निरीक्षण जेन्सेन की असमानता (या कॉची-Schwarz असमानता) का तात्पर्य है कि एक सकारात्मक यादृच्छिक चर के लिए है कि , , समानता होल्डिंग यदि और केवल यदि साथ "पतित" है: वह यह है कि , लगभग निश्चित रूप से स्थिर है। जब एक ऋणात्मक यादृच्छिक चर होता है, धनात्मक होता है और पूर्ववर्ती परिणाम असमानता संकेत के साथ उलट होता है। नतीजतन, कोई भी उदाहरण जहां $X$ $E[X]E[1/X] \ge 1$ $X$ $X$ $X$ $-X$ नकारात्मक होने की सकारात्मक संभावना होनी चाहिए और सकारात्मक होने की सकारात्मक संभावना। $E[1/X]=1/E[X]$

यहाँ अंतर्दृष्टि यह है कि साथ किसी भी को किसी भी तरह से उसके नकारात्मक भाग से असमानता के खिलाफ उसके सकारात्मक भाग से असमानता को "संतुलन" करना चाहिए। जैसे-जैसे हम साथ जाएंगे, यह स्पष्ट होता जाएगा। $X$ $E[X]E[1/X]=1$

किसी भी गैर-बेतरतीब चर पर विचार करें । अपेक्षा की परिभाषा तैयार करने में एक प्रारंभिक कदम (कम से कम जब यह पूरी तरह से माप सिद्धांत का उपयोग करके किया जाता है) को अपने सकारात्मक और नकारात्मक भागों में विघटित करना है , दोनों सकारात्मक यादृच्छिक चर हैं: $X$ $X$

\begin{aligned} Y & = Positive part (X) = max (0, X); \\ Z & = Negative part (X) = - min (0, X) . \end{aligned}

$\eqalign{ Y &= \operatorname{Positive part}(X) = \max(0, X);\\ Z &= \operatorname{Negative part}(X) = -\min(0, X). }$

के सोचते हैं एक के रूप में मिश्रण के वजन के साथ और वजन के साथ जहां स्पष्ट रूप से यह हमें और की अपेक्षाएं लिखने में सक्षम करेगा $X$ $Y$ $p$ $-Z$ $1-p$

p = Pr (X > 0), 1 - p = Pr (X < 0) .

$p=\Pr(X\gt 0),\ 1-p = \Pr(X \lt 0).$

0 < पी < 1।

$0 \lt p \lt 1.$ $X$ $1/X$ सकारात्मक चर और की अपेक्षाओं के संदर्भ में । $Y$ $Z$

आगामी बीजगणित एक छोटे से आसान बनाने के लिए, नोट समान रूप से rescaling कि एक संख्या से परिवर्तन नहीं करता है --but यह होता है गुणा और द्वारा प्रत्येक । सकारात्मक के लिए , इस बस की माप की इकाइयों के चयन के बराबर है । एक नकारात्मक की भूमिका स्विच और । का चिन्ह चुनना $X$ $\sigma$ $E[X]E[1/X]$ $E[Y]$ $E[Z]$ $\sigma$ $\sigma$ $X$ $\sigma$ $Y$ $Z$ $\sigma$ उचित रूप से हम इसलिए लगता है हो सकता है

\begin{matrix} (1) & इ [जेड] = 1 तथा इ [Y] \geq इ [जेड] । \end{matrix}

$E[Z]=1\text{ and }E[Y] \ge E[Z].\tag{1}$

नोटेशन

यह प्रारंभिक सरलीकरण के लिए है। एक अच्छा अंकन बनाने के लिए, इसलिए हमें लिखें

μ = इ [Y]; ν = इ [1 / Y]; λ = इ [1 / जेड]

$\mu = E[Y];\ \nu = E[1/Y];\ \lambda=E[1/Z]$

तीन अपेक्षाओं के लिए हम नियंत्रण नहीं कर सकते। तीनों मात्राएँ सकारात्मक हैं। जेन्सन की असमानता पर जोर देता है

\begin{matrix} (2) & μ ν \geq 1 तथा λ \geq 1। \end{matrix}

$\mu\nu \ge 1\text{ and }\lambda \ge 1.\tag{2}$

कुल संभावना का कानून हमारे द्वारा नामित मात्रा के संदर्भ में और की अपेक्षाओं को व्यक्त करता है : $X$ $1/X$

E [X] = E [X ∣ X > 0] Pr (X > 0) + E [X ∣ X < 0] Pr (X < 0) = μ p - (1 - p) = (μ + 1) p - 1

$E[X] = E[X\mid X\gt 0]\Pr(X \gt 0) + E[X\mid X \lt 0]\Pr(X \lt 0) = \mu p - (1-p) = (\mu + 1)p - 1$

और, के बाद से के रूप में एक ही हस्ताक्षर है , $1/X$ $X$

E [\frac{1}{X}] = E [\frac{1}{X} ∣ X > 0] Pr (X > 0) + E [\frac{1}{X} ∣ X < 0] Pr (X < 0) = ν p - λ (1 - p) = (ν + λ) p - λ .

$E\left[\frac{1}{X}\right] = E\left[\frac{1}{X}\mid X\gt 0\right]\Pr(X \gt 0) + E\left[\frac{1}{X}\mid X \lt 0\right]\Pr(X \lt 0) = \nu p - \lambda(1-p) = (\nu + \lambda)p - \lambda.$

साथ इन दो भावों के उत्पाद की समानता से चर के बीच एक आवश्यक संबंध प्रदान होता है: $1$

\begin{matrix} (*) & 1 = E [X] E [\frac{1}{X}] = ((μ + 1) p - 1) ((ν + λ) p - λ) . \end{matrix}

$1 = E[X]E\left[\frac{1}{X}\right] = ((\mu +1)p - 1)((\nu + \lambda)p - \lambda).\tag{*}$

समस्या का सुधार

मान लीजिए कि - और हिस्से किसी भी सकारात्मक यादृच्छिक चर (पतित या नहीं) हैं। यही कारण है कि निर्धारित करता है और । जब हम पा सकते हैं के साथ, , जिसके लिए रखती है? $X$ $Y$ $Z$ $\mu, \nu,$ $\lambda$ $p$ $0 \lt p \lt 1$ $(*)$

यह स्पष्ट रूप से "संतुलन" अंतर्दृष्टि को पहले से ही अस्पष्ट रूप से स्पष्ट करता है: हम और को धारण करने वाले हैं और मूल्य को खोजने की उम्मीद करते हैं जो उचित रूप से सापेक्ष योगदान को संतुलित करता है । हालांकि यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि इस तरह की आवश्यकता मौजूद है, जो स्पष्ट है कि यह केवल क्षणों पर निर्भर करता है , , और $Y$ $Z$ $p$ $X$ $p$ $E[Y]$ $E[1/Y]$ $E[Z]$ $E[1/Z]$ । इस समस्या के कारण अपेक्षाकृत सरल बीजगणित में कमी आई है - यादृच्छिक चर का सभी विश्लेषण पूरा हो गया है।

उपाय

इस बीजीय समस्या है क्योंकि, बहुत हल करने के लिए कठिन नहीं है ज्यादा से ज्यादा के लिए एक द्विघात समीकरण है और शासी असमानताओं और अपेक्षाकृत आसान है। दरअसल, हमें अपनी जड़ों की उत्पाद बताता और है $(*)$ $p$ $(1)$ $(2)$ $(*)$ $p_1$ $p_2$

p_{1} p_{2} = (λ - 1) \frac{1}{(μ + 1) (ν + λ)} \geq 0

$p_1p_2 = (\lambda - 1)\frac{1}{(\mu+1)(\nu+\lambda)} \ge 0$

और योग है

p_{1} + p_{2} = (2 λ + λ μ + ν) \frac{1}{(μ + 1) (ν + λ)} > 0.

$p_1 + p_2 = (2\lambda + \lambda \mu + \nu)\frac{1}{(\mu+1)(\nu+\lambda)} \gt 0.$

इसलिए दोनों जड़ें सकारात्मक होनी चाहिए। इसके अलावा, उनका औसत से कम है , क्योंकि $1$

1 - \frac{(p_{1} + p_{2})}{2} = \frac{λ μ + ν + 2 μ ν}{2 (μ + 1) (ν + λ)} > 0.

$1 - \frac{(p_1+p_2)}{2} = \frac{\lambda \mu + \nu + 2 \mu \nu}{2(\mu+1)(\nu+\lambda)} \gt 0.$

(थोड़ा बीजगणित करके, यह दिखाना मुश्किल नहीं है कि दो जड़ों का बड़ा से अधिक नहीं है , या तो)। $1$

एक प्रमेय

यहाँ हमने पाया है:

किसी भी दो पॉजिटिव रैंडम वैरिएबल और (जिनमें से कम से कम एक nondegenerate है) को देखते हुए जिसके लिए , , और मौजूद हैं और परिमित हैं। तब साथ एक या दो मान मौजूद होते हैं , जो लिए भार साथ एक मिश्रण चर निर्धारित करते हैं $Y$ $Z$ $E[Y]$ $E[1/Y]$ $E[Z]$ $E[1/Z]$ $p$ $0 \lt p \lt 1$ $X$ $p$ $Y$ और वजन लिए और जिसके लिए । साथ एक यादृच्छिक चर का प्रत्येक उदाहरण इस रूप का है। $1-p$ $-Z$ $E[X]E[1/X]=1$ $X$ $E[X]E[1/X]=1$

यह वास्तव में हमें उदाहरणों का एक समृद्ध सेट देता है!

सरलतम संभव उदाहरण का निर्माण

सभी उदाहरणों की विशेषता रखते हुए , आइए एक निर्माण करें जो यथासंभव सरल है।

नकारात्मक भाग , आइए एक पतले चर का चयन करें $Z$ - बहुत ही सरल प्रकार का यादृच्छिक चर। इसका मान , जहां , बनाने के लिए इसे बढ़ाया जाएगा । समाधान में , इसे आसानी से हल किए गए रेखीय समीकरण को कम करना: एकमात्र सकारात्मक जड़ है $1$ $\lambda=1$ $(*)$ $p_1=0$

$\begin{matrix} (3) & p = \frac{1}{1 + μ} + \frac{1}{1 + ν} . \end{matrix}$ $p = \frac{1}{1+\mu} + \frac{1}{1+\nu}.\tag{3}$
सकारात्मक भाग के लिए , हम उपयोगी कुछ भी नहीं प्राप्त करता है, तो पतित है, तो चलो यह सिर्फ दो अलग सकारात्मक मूल्यों पर कुछ संभावना दे का कहना है कि । $Y$ $Y$ $a \lt b$ $\Pr(X=b)=q$ इस मामले में अपेक्षा की परिभाषा देती है

$μ = E [Y] = (1 - q) a + q b; ν = E [1 / Y] = (1 - q) / a + q / b .$ $\mu = E[Y] = (1-q)a + qb;\ \nu = E[1/Y] = (1-q)/a + q/b.$
और भी आसान इस बनाने के लिए, चलो और समान: $Y$ $1/Y$ इस बलों और । अभी $q=1-q=1/2$ $a=1/b$

$μ = ν = \frac{b + 1 / b}{2} .$ $\mu = \nu = \frac{b + 1/b}{2}.$
समाधान सरल करता है $(3)$

$p = \frac{2}{1 + μ} = \frac{4}{2 + b + 1 / b} .$ $p = \frac{2}{1+\mu} = \frac{4}{2 + b + 1/b}.$
हम इसे सरल संख्या कैसे शामिल कर सकते हैं? के बाद से और , जरूरी । आइए लिए से अधिक सरल संख्या चुनें ; अर्थात्, । पूर्वगामी सूत्र पैदावार और सरल संभव उदाहरण के लिए हमारे उम्मीदवार इसलिए है $a\lt b$ $ab=1$ $b\gt 1$ $1$ $b$ $b=2$ $p = 4/(2+2+1/2) = 8/9$

$\begin{aligned} Pr (X = 2) = Pr (X = b) = Pr (Y = b) p = q p = \frac{1}{2} \frac{8}{9} = \frac{4}{9}; \\ Pr (X = 1 / 2) = Pr (X = a) = Pr (Y = a) p = q p = \dots = \frac{4}{9}; \\ Pr (X = - 1) = Pr (Z = 1) (1 - p) = 1 - p = \frac{1}{9} . \end{aligned}$ $\eqalign{ \Pr(X=2) = \Pr(X=b) = \Pr(Y=b)p = qp = \frac{1}{2}\frac{8}{9} = \frac{4}{9};\\ \Pr(X=1/2) = \Pr(X=a) = \Pr(Y=a)p = qp = \cdots = \frac{4}{9};\\ \Pr(X=-1) = \Pr(Z=1)(1-p) = 1-p = \frac{1}{9}. }$

यह पाठ्यपुस्तक में प्रस्तुत किया गया बहुत ही उदाहरण है।

— व्हीबर
स्रोत

अच्छा जवाब। मेरे प्रारंभिक संदेह के बावजूद, अलग-अलग समाधान

साथ एक उदाहरण खोजना आसान है ।

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— P.Windridge

जैसा कि आपने उल्लेख किया है, यदि धनात्मक है तो तभी होता है जब लगभग निश्चित रूप से स्थिर होता है। अन्यथा आपको नकारात्मक और सकारात्मक दोनों मान लेने के लिए आवश्यकता है । $X$ $E(1/X)=1/E(X)$ $X$ $X$

इस तरह के एक उदाहरण का निर्माण करने के लिए, पहले जितना संभव हो उतना सरल जाएं। मान लें कि क्रमशः संभावनाओं और साथ दो मान लेता है, और । फिर और $X$ $a$ $b$ $p$ $1-p$

E (X) = a p + b (1 - p)

$E(X)=ap+b(1-p)$

करवाने के लिए

हम यह अपेक्षा

E (1 / X) = \frac{1}{a} p + \frac{1}{b} (1 - p) .

$E(1/X)=\frac1ap+\frac1b(1-p).$

1 / E (X) = E (1 / X)

$1/E(X)=E(1/X)$

जो आवश्यकता के पुनर्व्यवस्थित

यह साधन ही संभव समाधान होना आवश्यक है या तो

, या

। सभी मामलों में हम पतित मामले में लौटते हैं:

स्थिर है।

a p + b (1 - p) = \frac{1}{\frac{1}{a} p + \frac{1}{b} (1 - p)}

$ap+b(1-p)=\frac1{\frac1ap+\frac1b(1-p)}$

(a - b)^{2} p (1 - p) = 0.

$(a-b)^2p(1-p)=0.$

a = b

$a=b$

p = 0

$p=0$

p = 1

$p=1$

X

$X$

$X$ $1/X$ $X$ $1$ $-1$ $a$ $1/a$ $a$ $P(X=a)=P(X=1/a)=p$ , और । फिर $P(X=-1)=1-2p$

\begin{matrix} (1) & इ (1 / एक्स) = इ (एक्स) = (ए + \frac{1}{ए}) पी - (1 - 2 पी) = (2 + ए + \frac{1}{ए}) पी - 1। \end{matrix}

$E(1/X)=E(X)=(a+\frac1a)p-(1-2p)=(2+a+\frac1a)p-1.\tag1$

1 / E (X) = E (1 / X)

$1/E(X)=E(1/X)$

E (X) = 1

$E(X)=1$

E (X) = - 1

$E(X)=-1$

- 1

$-1$

p = 0

$p=0$

E (X) = 1

$E(X)=1$

अभिव्यक्ति (2) समाधान का एक पूरा परिवार देता है जो आवश्यकता को पूरा करता है। केवल बाधा यह है कि

सकारात्मक होना चाहिए। आपके द्वारा उद्धृत उदाहरण

लेता

। केवल मामला

पतित है।

\begin{matrix} (2) & (2 + a + \frac{1}{a}) p = 2 \Leftrightarrow p = \frac{2}{2 + a + \frac{1}{a}} = \frac{2 a}{(a + 1)^{2}} . \end{matrix}

$(2+a+\frac1a)p=2\quad\Leftrightarrow\quad p=\frac2{2+a+\frac1a}=\frac{2a}{(a+1)^2}.\tag2$

a

$a$

a = 2

$a=2$

a = 1

$a=1$

— grand_chat
स्रोत

X

$X$

E [1 / X] = 1 / E [X]

$\mathbb{E}[1/X]=1/\mathbb{E}[X]$

X

$X$

h (x) = 1 / x

$h(x) = 1/x$

@ P.Windridge आप सही हैं! फिक्स्ड।

— ग्रैंड_चैट