मैंने सुना है कि यादृच्छिक चर के अनुपात या व्युत्क्रम अक्सर समस्याग्रस्त होते हैं, अपेक्षाएं नहीं होती हैं। ऐसा क्यों है?

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शीर्षक सवाल है। मुझे बताया गया है कि अनुपात और यादृच्छिक चर के व्युत्क्रम अक्सर समस्याग्रस्त होते हैं। क्या मतलब है कि उम्मीद अक्सर मौजूद नहीं है। क्या इसका एक सरल, सामान्य अन्वेषण है?

— kjetil b halvorsen
स्रोत

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मैं एक बहुत ही सरल, सहज स्पष्टीकरण देना चाहूंगा। यह एक तस्वीर को देखने के लिए है: इस पोस्ट के बाकी चित्र बताते हैं और इससे निष्कर्ष निकालते हैं।

यह वही है जो नीचे आता है: जब पास "संभाव्यता द्रव्यमान" केंद्रित होता है , तो पास बहुत अधिक संभावना होगी , जिससे इसकी उम्मीद अपरिभाषित हो सकती है। $X=0$ $1/X\approx \pm \infty$

पूरी तरह से सामान्य होने के बजाय, चलो यादृच्छिक चर पर ध्यान केंद्रित करें जिसमें पड़ोस में निरंतर घनत्व है । मान लीजिए । विज़ुअली, इन स्थितियों का मतलब है कि का ग्राफ के अक्ष के ऊपर स्थित है : $X$ $f_X$ $0$ $f_X(0)\ne 0$ $f$ $0$

आसपास की निरंतरता का अर्थ है कि से कम किसी भी सकारात्मक ऊंचाई और पर्याप्त रूप से छोटे , हम इस ग्राफ के नीचे एक आयत को सकते हैं जो आसपास केंद्रित है , चौड़ाई , और ऊंचाई है , जैसा दिखाया गया है। यह एक समान वितरण के मिश्रण के रूप में मूल वितरण को व्यक्त करने से मेल खाती है (वजन साथ ) और जो कुछ भी रहता है। $f_X$ $0$ $p$ $f_X(0)$ $\epsilon$ $x=0$ $2\epsilon$ $p$ $p\times 2\epsilon=2p\epsilon$

दूसरे शब्दों में, हम निम्नलिखित तरीके से उत्पन्न होने वाले बारे में सोच सकते हैं : $X$

प्रायिकता , यूनिफ़ॉर्म वितरण से एक मान खींचें । $2p\epsilon$ $(-\epsilon,\epsilon)$
अन्यथा, वितरण से एक मान खींचें जिसका घनत्व समानुपाती है । (यह दाईं ओर पीले रंग में खींचा गया कार्य है।) $f_X - p I_{(-\epsilon,\epsilon)}$

( सूचक कार्य है।) $I$

चरण से पता चलता है किसी के लिए है कि , संभावना है कि के बीच है और से अधिक । समान रूप से, यह मौका है कि से अधिक हो । इसे दूसरे तरीके से रखने के लिए: के उत्तरजीवी फ़ंक्शन के लिए लिखना $(1)$ $0 \lt u \lt \epsilon$ $X$ $0$ $u$ $p u / 2$ $1/X$ $1/u$ $S$ $1/X$

S (x) = Pr (1 / X > x),

$S(x) = \Pr(1/X \gt x),$

चित्र सभी लिए दिखाता है । $S(x) \gt p / (2x)$ $x \gt 1/\epsilon$

अब हम कर रहे हैं, क्योंकि बारे में इस तथ्य से अभिप्राय अपरिभाषित है। $S$ , के सकारात्मक भाग की अपेक्षा की गणना में शामिल अभिन्नों की तुलना करें : $1/X$ $(1/X)_{+} = \max(0, 1/X)$

E [(1 / X)_{+}] = \int_{0}^{\infty} S (x) d x > \int_{1 / ϵ}^{x} S (x) d x > \int_{1 / ϵ}^{x} \frac{p}{2 x} d x = \frac{p}{2} \log (x ϵ) .

$E[(1/X)_{+}] = \int_0^\infty S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x \frac{p}{2x}dx = \frac{p}{2} \log(x\epsilon).$

(यह विशुद्ध रूप से ज्यामितीय तर्क है: प्रत्येक अभिन्न एक पहचानने योग्य द्वि-आयामी क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है और उन क्षेत्रों के भीतर सख्त निष्कर्षों से सभी असमानताएं उत्पन्न होती हैं। वास्तव में, हमें यह भी जानने की आवश्यकता नहीं है कि अंतिम अभिन्नता एक लघुगणक है। सरल ज्यामितीय हैं यह अभिन्न अंग दिखाते हुए तर्क।)

चूँकि दाईं ओर रूप में , गोताखोरों के रूप में भी परिवर्तित करता है। के नकारात्मक भाग के साथ स्थिति समान है (क्योंकि आयत आसपास केंद्रित है ), और वही तर्क डायवर्ज के नकारात्मक भाग की अपेक्षा को दर्शाता है । नतीजतन की उम्मीद ही अपरिभाषित है। $x\to\infty$ $E[(1/X)_{+}]$ $1/X$ $0$ $1/X$ $1/X$

संयोग से, एक ही तर्क से पता चलता है कि जब संभावना केंद्रित है एक तरफ का (कम से कम आकार पैरामीटर के साथ किसी भी तरह के घातीय या गामा वितरण के रूप में, ), तो अभी भी सकारात्मक उम्मीद diverges, लेकिन नकारात्मक उम्मीद शून्य है। इस मामले में उम्मीद है परिभाषित, लेकिन अनंत है। $X$ $0$ $1$

— व्हीबर
स्रोत

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क्या मुझे यह संदेह करने में सही है कि परिणाम के लिए धारणा महत्वपूर्ण है? मेरा मतलब है, हम ऐसे मामलों में जहां है शामिल कुछ पैरामीटर श्रृंखला के लिए कम से कम क्षणों है, और ऐसा लगता है कि यह उन मामलों में जहां में है , गामा / उलटा-गामा की तरह

f_{X} (0) \neq 0

$f_X(0)\neq 0$

1 / X

$1/X$

f_{X} (0) = 0

$f_X(0) = 0$

— Alecos पापाडोपौलोस

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@ एलेकोस नहीं, यह धारणा महत्वपूर्ण नहीं है। कि पर की निरंतरता तर्क को सरल बनाती है, लेकिन न तो आवश्यक है। एक पर विचार घनत्व के साथ आनुपातिक करने के लिए के लिए और । यह पर जारी है, लेकिन से कोई उम्मीद नहीं है।

f

$f$

0

$0$

X

$X$

f_{X}

$f_X$

- 1 / \log (x)

$-1/\log(x)$

0 < x < 1 / e

$0 \lt x \lt 1/e$

f_{X} (0) = 0

$f_X(0)=0$

0

$0$

1 / X

$1/X$

— whuber

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अनुपात और व्युत्क्रम ज्यादातर गैर-यादृच्छिक यादृच्छिक चर के साथ सार्थक हैं, इसलिए मैं लगभग निश्चित रूप से मानूंगा। फिर, यदि एक असतत चर है, जो सकारात्मक संभाव्यता के साथ मान शून्य पर ले जाता है, तो हम शून्य के साथ एक सकारात्मक संभावना के साथ विभाजित होंगे, जो बताता है कि की अपेक्षा मौजूद नहीं होगी। $X \ge 0$ $X$ $1/X$

अब निरंतर वितरण मामले को देखें, साथ घनत्व फ़ंक्शन साथ एक यादृच्छिक चर । हम मानेंगे कि और वह निरंतर (कम से कम शून्य) है। फिर एक ऐसा है जो लिए । का अपेक्षित मूल्य द्वारा दिया गया है अब हम एकीकरण के चर को बदलते हैं , हमारे पास , प्राप्त करना $X \ge 0$ $f(x)$ $f(0)>0$ $f$ $\epsilon > 0$ $f(x) > \epsilon$ $0 \le x < \epsilon$ $1/X$

E \frac{1}{X} = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} f (x) d x

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E \frac1{X} = \int_0^\infty \frac1{x} f(x)\; dx$

u = 1 / x

$u=1/x$

d u = - \frac{1}{x^{2}} d x

$du = -\frac1{x^2} \; dx$

E \frac{1}{X} = - \int_{\infty}^{0} u f (\frac{1}{u}) (\frac{1}{u})^{2} d u = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u} f (\frac{1}{u}) d u

$\E \frac1{X} = -\int_{\infty}^0 u f(\frac1{u}) (\frac1{u})^2 \; du = \\ \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}) \; du$ अब, पर तो पर , इसका उपयोग करके हमने दिखा रहा है कि अपेक्षा मौजूद नहीं है। इस धारणा को पूरा करने वाला एक उदाहरण है 1 के साथ घातांक वितरण।

f (u) > ϵ

$f(u) > \epsilon$

[0, ϵ)

$[0,\epsilon)$

f (\frac{1}{u}) > 1 / ϵ

$f(\frac1{u}) > 1/\epsilon$

(1 / ϵ, \infty)

$(1/\epsilon, \infty)$

E \frac{1}{X} > ϵ \int_{1 / ϵ}^{\infty} \frac{1}{u} d u = \infty

$\E \frac1{X} > \epsilon \int_{1/\epsilon}^\infty \frac1{u}\; du =\infty$

हमने आक्रमणकारियों के लिए एक जवाब दिया है, अनुपात के बारे में क्या? बता दें कि दो नॉनजेगेटिव रैंडम वैरिएबल का अनुपात है। यदि वे स्वतंत्र हैं, तो हम लिख सकते हैं, इसलिए यह बहुत पहले मामले को कम करता है और कहने के लिए बहुत नया नहीं है । क्या होगा यदि वे संयुक्त घनत्व फैक्टरिंग के रूप में साथ निर्भर हैं, तो हम प्राप्त करते हैं (ऊपर के रूप में एक ही प्रतिस्थापन का उपयोग करके) और हम आंतरिक अभिन्न पर ऊपर के रूप में कारण कर सकते हैं। इसका परिणाम यह होगा कि यदि सशर्त घनत्व ( दिया जाता है $Z=Y/X$

E Z = E \frac{Y}{X} = E Y \cdot E \frac{1}{x}

$\E Z = \E\frac{Y}{X}=\E Y \cdot \E\frac1{x}$

f (x, y) = f (x ∣ y) g (y)

$f(x,y) = f(x \mid y) g(y)$

E \frac{Y}{X} = \int_{0}^{\infty} y \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} f (x ∣ y) d x g (y) d y = \int_{0}^{\infty} y \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u} f (\frac{1}{u} ∣ y) d u g (y) d y

$\E \frac{Y}{X} = \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{x} f(x\mid y) \; dx \;g(y)\; dy = \\ \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}\mid y) \; du \; g(y) \; dy$

y

$y$ ) सकारात्मक है और शून्य पर निरंतर है, सकारात्मक सी संभावना के साथ एक सेट के लिए , उम्मीद अनंत होगी। मुझे लगता है कि ऐसे उदाहरणों को खोजना आसान नहीं होगा जहां की सीमांत अपेक्षा अनंत है, लेकिन अनुपात की उम्मीद तब तक सीमित है, जब तक कि एक पूर्ण सहसंबंध नहीं है। ऐसे कुछ उदाहरण देखकर अच्छा लगेगा!

y

$y$

1 / X

$1/X$

Y / X

$Y/X$

— kjetil b halvorsen
स्रोत