क्षण उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन और प्रायिकता उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन के बीच क्या अंतर है?

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मैं दो शब्दों के बीच उलझन में हूँ "संभावना पैदा करने वाले कार्य" और "पल उत्पन्न करने वाले कार्य"। वे शर्तें अलग कैसे हैं?

— manashi
स्रोत

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प्रायिकता जनरेटिंग फ़ंक्शन का उपयोग आमतौर पर (नॉनजेगेटिव) पूर्णांक मूल्यवान रैंडम वैरिएबल के लिए किया जाता है, लेकिन यह वास्तव में केवल क्षण उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन का एक प्रकार है। तो दोनों में एक ही जानकारी है।

मान लें कि एक गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर है। तब (देखें https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function ) संभावना पैदा समारोह के रूप में परिभाषित किया गया है और पल पैदा समारोह है अब को परिभाषित करें ताकि । तब $X$

G (z) = E z^{X}

$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X$

M_{X} (t) = E e^{t X}

$M_X(t) = \E e^{t X}$

\log z = t

$\log z=t$

e^{t} = z

$e^t=z$

तो, समाप्त करने के लिए, रिश्ते सरल है:

G (z) = E z^{X} = E (e^{t})^{X} = E e^{t X} = M_{X} (t) = M_{X} (\log z)

$G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z)$

G (z) = M_{X} (\log z)

$G(z) = M_X(\log z)$

EDIT

$G(z) = M_X(\log z)$ $z$ दिए जाने की आवश्यकता है। मुझे लगा कि पोस्ट उस औपचारिकता के बिना पर्याप्त स्पष्ट थी, लेकिन हां, कभी-कभी मैं भी अनौपचारिक हूं। लेकिन एक और बिंदु है: हां, संभावना पैदा करने वाला कार्य। ज्यादातर (nonnegative बहस) संभावना जन कार्यों के लिए उपयोग किया जाता है, जिसमें से नाम आता है। लेकिन परिभाषा में ऐसा कुछ भी नहीं है जो इसे मानता है, यह किसी भी nonngative यादृच्छिक चर के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है! उदाहरण के लिए, दर 1 के साथ घातीय वितरण लें , हम गणना कर सकते हैं

G (z) = E z^{X} = \int_{0}^{\infty} z^{x} e^{- x} d x = \dots = \frac{1}{1 - \log z}

$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z}$

— kjetil b halvorsen
स्रोत

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(+1) भले ही मेरे पास एक प्रतिस्पर्धी जवाब है।

— कार्ल

(+1) फिर से। अजीब बात है, मुझे लगता है कि अगर मैं संपादित करता हूं, तो मैं फिर से वोट कर सकता हूं।

— कार्ल

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पहले हम दोनों को परिभाषित करते हैं और फिर अंतर निर्दिष्ट करते हैं।

1) संभाव्यता सिद्धांत और आँकड़ों में, वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर का पल-जनरेटिंग फ़ंक्शन (mgf) इसकी संभाव्यता वितरण का एक वैकल्पिक विनिर्देश है।

2) प्रायिकता सिद्धांत में, असतत रैंडम वैरिएबल का प्रायिकता जनरेटिंग फंक्शन (pgf) रैंडम वैरिएबल के प्रायवेट मास फंक्शन की पॉवर सीरीज़ (जनरेटिंग फंक्शन) है।

$e^{\lambda(z - 1)}$

Edit

जैसा कि @kjetilbhalvorsen बताते हैं, pgf केवल असतत यादृच्छिक चर की बजाय गैर-ऋणात्मक पर लागू होता है। इस प्रकार, प्रायिकता जनरेटिंग फ़ंक्शन में वर्तमान विकिपीडिया प्रविष्टि में चूक की गलती है, और इसे सुधारना चाहिए।

— कार्ल
स्रोत

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Poisson वितरण का pgf और mgf, यद्यपि निकट से संबंधित (जैसा कि Kjetil Halvorsen द्वारा पोस्ट किए गए उत्तर में बताया गया है), निश्चित रूप से "बराबर नहीं हैं।"

— whuber

G (z) = M_{X} (\log z)

$G(z) = M_X(\log z)$

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इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए @whuber मेरे उत्तर को मेरे उत्तर में देखें (कुछ ही मिनटों में पोस्ट हो जाएगा)।

— kjetil b halvorsen