यादृच्छिक चर जिसके लिए मार्कोव, चेबीशेव असमानताएं तंग हैं

Question

मैं यादृच्छिक चर के निर्माण में रुचि रखता हूं, जिसके लिए मार्कोव या चेबीशेव असमानताएं तंग हैं।

एक तुच्छ उदाहरण निम्नलिखित यादृच्छिक चर है।

$P(X=1)=P(X=-1) = 0.5$। इसका मतलब शून्य है, विचरण 1 है और$P(|X| \ge 1) = 1$। इस यादृच्छिक चर chebyshev के लिए तंग है (समानता के साथ रखती है)।

$$P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1$$

क्या अधिक दिलचस्प (गैर-वर्दी) यादृच्छिक चर हैं जिनके लिए मार्कोव और चेबीशेव तंग हैं? कुछ उदाहरण बहुत अच्छे होंगे।

Answer 1

वितरणों का वह वर्ग जिसके लिए चेबिशेव बाध्य सीमा के सीमित मामले को अच्छी तरह से जाना जाता है (और यह अनुमान लगाने में मुश्किल नहीं है)। स्थान और पैमाने के लिए सामान्यीकृत है

$$Z=\begin{cases}-k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\\\:0,&{\text{with probability }}1-\frac {1}{k^2}\\\:k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\end{cases}$$

यह चेब्शेव असमानता के लिए विकिपीडिया पृष्ठ पर दिए गए समाधान है ।

[आप वितरण का अनुक्रम लिख सकते हैं (रखकर $\epsilon>0$ समान बिंदुओं से समान रूप से हटाए गए केंद्र के साथ अधिक संभावना) जो असमानता को पूरी तरह से संतुष्ट करता है और उस मामले को निकट से वांछित के रूप में सीमित करता है।]

इसका कोई अन्य समाधान स्थान और स्केल शिफ्ट द्वारा प्राप्त किया जा सकता है: लेट $X=\mu+\sigma Z$।

मार्कोव असमानता के लिए, चलो $Y=|Z|$ इसलिए आपके पास संभावना है $1-1/k^2$ 0 पर और $1/k^2$ पर $k$। (यहां एक स्केल पैरामीटर शुरू कर सकते हैं, लेकिन लोकेशन पैरामीटर नहीं)

क्षण असमानताएं - और वास्तव में इसी तरह की अन्य असमानताएं - उनके सीमित मामलों के रूप में असतत वितरण होते हैं।

Answer 2

मेरा मानना ​​है कि पूरी वास्तविक धुरी पर एक निरंतर वितरण प्राप्त करना जो चेबिशेव के बाध्य होने के बाद बिल्कुल असंभव है।

मान लें कि एक निरंतर वितरण का मतलब और मानक विचलन 0 और 1 है, या इसे rescaling के माध्यम से बनाते हैं। फिर आवश्यकता है$P(\mid X\mid >x)=1/x^2$। सादगी के लिए विचार करें$x>0$; नकारात्मक मूल्यों को सममित रूप से परिभाषित किया जाएगा। फिर वितरण का CDF है$1-1/x^2$। और इसलिए pdf, cdf का व्युत्पन्न है$2/x^3$। जाहिर है यह केवल के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए$x>0$असंगति के कारण। वास्तव में, यह भी हर जगह सच नहीं हो सकता है, या पीडीएफ का अभिन्न परिमित नहीं है। इसके बजाय, यदि डिसकंटीन्यूअल्स से बचना है (जैसे कि पीडीएफ कैट सिर्फ 0 के लिए होना चाहिए$\mid x \mid <\alpha$) पीडीएफ को टुकड़ा के बराबर होना चाहिए $\mid x \mid^3$ के लिये $\mid x\mid \geq \alpha$।

हालांकि, यह वितरण परिकल्पना को विफल करता है - इसमें परिमित संस्करण नहीं है। परिमित विचरण के साथ वास्तविक अक्ष पर निरंतर वितरण प्राप्त करने के लिए, अपेक्षित मान$x$ तथा $x^2$परिमित होना चाहिए। उलटे बहुपद की जांच करना, पूंछ जो पसंद आती है$x^{-3}$ एक परिमित करने के लिए नेतृत्व $E[x]$, लेकिन एक अपरिभाषित $E[x^2]$ क्योंकि इसमें asymptotically लघुगणक व्यवहार के साथ एक अभिन्न शामिल है।

तो, Chebychev की बाध्यता पूरी तरह से संतुष्ट नहीं हो सकती। आप की आवश्यकता कर सकते हैं$P(\mid X \mid > x ) = x^{-(2+\epsilon)}$ मनमाने ढंग से छोटे के लिए $\epsilon$, तथापि। पीडीएफ की पूंछ की तरह जाता है$x^{-(3+\epsilon)}$ और के क्रम पर एक परिभाषित विचरण है $1/\epsilon$।

यदि आप वितरण को वास्तविक रेखा के केवल एक हिस्से पर रहने देना चाहते हैं, लेकिन फिर भी निरंतर होना चाहिए, तो परिभाषित करना $pdf(x) = 2/\mid x \mid^3$ के लिये $\epsilon < \mid x \mid < \Lambda$ के लिए काम करता है

$$\epsilon = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) }$$ तथा $$\Lambda = \epsilon = \sqrt{2 \left( \sqrt{e} - 1 \right) }$$ या किसी भी रैखिक स्केलिंग - लेकिन यह मूल रूप से है $0.887 < |x| < 1.39$, जो एक सीमा से अधिक नहीं है। और इसका संदेह है कि क्या यह प्रतिबंध अभी भी मूल प्रेरणा के अनुरूप है।

Comments

मुझे नहीं लगता कि यह साबित करना मुश्किल है कि कोई असीम-समर्थन निरंतर चर कम सीमा को प्राप्त नहीं कर सकता है

— माइकलचिरिको

@MichaelChirico मुझे ऐसा नहीं लगता; मैं अभी प्रयास से नहीं जाना चाहता था।

— jwimberley