क्या कोई स्वतंत्र और यादृच्छिक के बीच के अंतर को समझाने में मदद कर सकता है?

Question

आंकड़ों में, स्वतंत्र और यादृच्छिक समान विशेषताओं का वर्णन करता है? उनमें क्या अंतर है? हम अक्सर "दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर" या "यादृच्छिक नमूना" जैसे विवरण के पार आते हैं। मैं सोच रहा हूं कि उनके बीच सटीक अंतर क्या है। क्या कोई इसे समझा सकता है और कुछ उदाहरण दे सकता है? उदाहरण के लिए गैर-स्वतंत्र लेकिन यादृच्छिक प्रक्रिया?

Comments

यहां दो अलग-अलग (बहुत गहरे स्तर पर) अवधारणाएं विलय नहीं हुई हैं। "स्वतंत्र" इस ​​अर्थ में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न टिप्पणियों, और "स्वतंत्र चर" उनके वितरण को प्रभावित करते हैं।

— ttnphns

यह एक अजीब सवाल है, क्योंकि यदि आप "यादृच्छिक चर" और "स्वतंत्र" की औपचारिक परिभाषाओं से परामर्श करना चाहते थे - जो कि "आंकड़ों में" है तो यह प्रतीत होता है - आप पाएंगे कि उनके पास सामान्य रूप से कम है।

— whuber

@ttnphns, हां, मुझे लगता है कि मैं "बेतरतीब ढंग से उत्पन्न" के साथ "स्वतंत्र रूप से उत्पन्न टिप्पणियों" शब्द के बारे में अधिक भ्रमित था। नमूने में, हम अक्सर (सरल) यादृच्छिक नमूना सुनते हैं, जो मुझे स्वतंत्र नमूनों की तरह महसूस करता है। मुझे लगता है कि अगर हम वास्तव में एक नमूना विधि का वर्णन करने में दोनों विशेषताओं को जोड़ना चाहते हैं, तो यह होना चाहिए: टिप्पणियों का चयन एक-दूसरे पर निर्भर नहीं है (= स्वतंत्र रूप से) और चयन की संभावना एक अवलोकन (= यादृच्छिक रूप से) ज्ञात है?

— tiantianchen

यदि हम विकि से स्वतंत्रता की परिभाषा की जाँच करते हैं: "संभाव्यता सिद्धांत में, दो घटनाएँ स्वतंत्र हैं, सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र हैं, या स्टोकेस्टिक रूप से स्वतंत्र हैं अगर एक की घटना दूसरे की संभावना को प्रभावित नहीं करती है।", दो अवलोकनों की निर्भरता होनी चाहिए। डेटा में वे कैसे दिखते हैं, इसके बजाय वे कैसे उत्पन्न / चयनित होते हैं। फिर मेरे द्वारा बताए गए मामले में दो समान अवलोकन अभी भी स्वतंत्र होना चाहिए।

— tiantianchen

कृपया परिभाषा के साथ किसी भी विकिपीडिया प्रविष्टि की शुरुआत में अनुमानवादी स्पष्टीकरण को भ्रमित न करें। परिभाषा एक ही लेख में शीर्षक "परिभाषा" के तहत दी गई है । यह टिम के जवाब में यहां प्रस्तुत किया गया एक है।

— whuber

Answer 1

मैं इसे गैर-तकनीकी शब्दों में समझाने की कोशिश करूँगा: एक यादृच्छिक चर प्रयोग के परिणाम का वर्णन करता है; आप पहले से नहीं जान सकते कि सटीक परिणाम क्या होगा लेकिन आपके पास कुछ जानकारी है: आप जानते हैं कि कौन से परिणाम संभव हैं और आप जानते हैं, प्रत्येक परिणाम, इसकी संभावना के लिए।

उदाहरण के लिए, यदि आप एक उचित सिक्का टॉस करते हैं, तो आप पहले से नहीं जानते हैं कि क्या आपको सिर या पूंछ मिलेगी, लेकिन आप जानते हैं कि ये संभावित परिणाम हैं और आप जानते हैं कि प्रत्येक में घटना होने की 50% संभावना है।

स्वतंत्रता की व्याख्या करने के लिए आपको दो उचित सिक्के टॉस करने होंगे। पहला सिक्का उछालने के बाद आप जानते हैं कि दूसरे टॉस के लिए सिर की संभावनाएं अभी भी 50% हैं और पूंछ के लिए भी। यदि पहले टॉस का दूसरे की संभावनाओं पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, तो दोनों टॉस स्वतंत्र हैं। यदि पहले टॉस का दूसरे टॉस की संभावनाओं पर प्रभाव पड़ता है तो वे निर्भर हैं।

आश्रित टॉस का एक उदाहरण है जब आप एक साथ दो सिक्कों को गोंद करते हैं।

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आश्रित चर की एक और जोड़ी "चाहे आपको सिर मिले" और "क्या आपको पूंछ मिली"। दोनों यादृच्छिक हैं लेकिन वे एक दूसरे से स्वतंत्र नहीं हैं।

— user253751

@ मिनीबिस या एक उचित पासा रोल, मूल्य नीचे लिखें। फिर इसे एक बार फिर से रोल करें और नीचे लिखे मान के साथ मान को गुणा करें। यह मान यादृच्छिक है, लेकिन पहले रोल पर निर्भर है।

— क्रॉले

Answer 2

यादृच्छिक यादृच्छिक चर से संबंधित है , और स्वतंत्र संभाव्य स्वतंत्रता से संबंधित है। द्वारा स्वतंत्रता का अर्थ है कि एक चर को देख हमें एक और के बारे में कुछ नहीं बताता है, या और अधिक औपचारिक मामले में, अगर और वाई दो यादृच्छिक चर हैं, तो हम कहते हैं कि वे अगर स्वतंत्र हैं$X$$Y$

$$p_{X,Y}(x, y) = p_X(x)\,p_Y(y)$$

अतिरिक्त

$$E(XY) = E(X)E(Y)$$

और उनका सहवास शून्य है। रैंडम वेरिएबल , X पर निर्भर है अगर इसे X के फंक्शन के रूप में लिखा जा सकता है$Y$$X$$X$

$$Y = f(X)$$

इसलिए इस मामले में है यादृच्छिक और निर्भर पर एक्स ।$Y$$X$

"गैर-स्वतंत्र" कॉलिंग प्रक्रिया बहुत भ्रामक है - स्वतंत्र क्या है? मुझे लगता है कि आपका मतलब है कि कुछ स्वतंत्र और अनौपचारिक रूप से वितरित यादृच्छिक चर ( यहां देखें , या यहां ) हैं जो कुछ प्रक्रिया से आते हैं। स्वतंत्र होने से हमारा मतलब यहाँ होगा कि वे एक दूसरे से स्वतंत्र हैं। आश्रित यादृच्छिक चर बनाने वाली प्रक्रियाएँ हैं, जैसे$X_1,\dots,X_k$

$$X_i = X_{i-1} + \varepsilon$$

जहां कुछ यादृच्छिक शोर है। इस तरह के मामले में स्पष्ट रूप से एक्स मैं पर निर्भर है एक्स मैं - 1 , लेकिन यह भी यादृच्छिक है।$\varepsilon$$X_i$$X_{i-1}$

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यदि X एक यादृच्छिक चर है, तो क्या अर्थ है? मुझे लगता है कि आप RVs और घटनाओं भ्रमित कर रहे हैं: दो RVs एक्स और वाई स्वतंत्र हैं यदि घटनाओं पी ( एक्स ≤ आर ) और पी ( Y ≤ रों ) स्वतंत्र सब आर के लिए, एस कर रहे हैं$P(X)$ $P(X\leq r)$$P(Y\leq s)$

— मैथ्यू टावर्स

फिर कोई भी दो सतत यादृच्छिक चर स्वतंत्र होते हैं।

— मैथ्यू टावर्स

@m_t_ मैं सच में नहीं लगता है कि अंकन होता है पर चर्चा कहीं भी करते हैं (उदाहरण के लिए देख en.wikipedia.org/wiki/... )

— टिम

@m_t_ यह बालों को विभाजित कर रहा है, देखिए आंकड़े ।stackexchange.com

— टिम

@tiantianchen दूसरे तरीके से: यदि आपके पास रैंडम वैरिएबल हैं, तो आप इंडिविजुअल pdf को मल्टीप्ले करके फंक्शन का निर्माण कर सकते हैं क्योंकि वे स्वतंत्र हैं।

— टिम

Answer 3

गणित के सभी क्षेत्रों में चर का उपयोग किया जाता है। स्वतंत्रता और एक चर की यादृच्छिकता के लिए परिभाषाएं केवल आंकड़ों के लिए नहीं, बल्कि गणित के सभी रूपों में एकतरफा लागू होती हैं।

उदाहरण के लिए, 2-आयामी यूक्लिडियन ज्यामिति में एक्स और वाई अक्ष स्वतंत्र चर का प्रतिनिधित्व करते हैं, हालांकि, उनके मूल्य (आमतौर पर) यादृच्छिक पर असाइन नहीं किए जाते हैं।

दिए गए दो चर यादृच्छिक, या स्वतंत्र (एक दूसरे के), या दोनों, या दोनों नहीं हो सकते हैं। सांख्यिकी यादृच्छिकता पर ध्यान केंद्रित करती है (अधिक सही ढंग से, संभाव्यता पर), और दो चर स्वतंत्र हैं या नहीं, दिए गए परिणामों की संभावनाओं के कई निहितार्थ हो सकते हैं।

आप आंकड़ों का अध्ययन करते समय वर्णित इन दो गुणों (स्वतंत्रता और यादृच्छिकता) को एक साथ देखते हैं, क्योंकि दोनों को जानना महत्वपूर्ण है, और प्रश्न के उत्तर को प्रभावित कर सकते हैं। हालाँकि, ये गुण पर्यायवाची नहीं हैं, और गणित के अन्य क्षेत्रों में वे आवश्यक रूप से एक साथ नहीं होते हैं।

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धन्यवाद। क्या आप इस बारे में अधिक बता सकते हैं कि "क्या दो चर स्वतंत्र हैं, दिए गए परिणामों की संभावनाओं के कई निहितार्थ हो सकते हैं।"

— tiantianchen

यह एक गैर-सांख्यिकीय उत्तर है जो प्रश्न में उपयोग किए जाने वाले की तुलना में "स्वतंत्र" की एक अलग भावना को संबोधित करता है। यह "चर" की दो इंद्रियों को भी भ्रमित करता है: एक गणितीय है और दूसरा यादृच्छिक चर की सांख्यिकीय परिभाषा है (जो निश्चित रूप से ज्यामितीय अक्षों पर चर के समान नहीं है)।

— whuber

Answer 4

स्वतंत्रता की धारणा सापेक्ष है, जबकि आप अपने आप से यादृच्छिक हो सकते हैं। आपके उदाहरण में, आपके पास "दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर" हैं, और कई "यादृच्छिक नमूने" के बारे में बात करने की आवश्यकता नहीं है।

मान लीजिए कि आपने कई बार परफेक्ट डाई डाली। परिणाम एक प्राथमिक यादृच्छिक है। अतीत को जानने के बाद, आप निम्नलिखित संख्या की भविष्यवाणी नहीं कर सकते। मान लीजिए कि मैं मरने के दूसरी तरफ से एक अनुक्रम उत्पन्न करता हूं: 6 → 1 , 3 → 4 । मैं 1 , 2 , 4 , 2 , 3 ... । यह पहले वाले की तरह रैंडम है। आप अनुमान नहीं लगा सकते कि 3 के बाद क्या आता है । लेकिन दो क्रम पूरी तरह से निर्भर हैं।$6,5,3,5, 4\ldots$$6\to1$$3\to4$$1,2,4,2, 3\ldots$$3$

यदि कोई दो पासे समानांतर (उनके बीच बातचीत के बिना) रखता है, तो उनके संबंधित क्रम यादृच्छिक और स्वतंत्र होंगे।

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यह ओपी के स्तर को देखते हुए थोड़ा तकनीकी हो सकता है, लेकिन आपके कथन के बारे में "आप स्वतंत्र नहीं हो सकते हैं (कुछ की) अकेले (एक प्रक्रिया के रूप में, एक अनुक्रम)" निम्नलिखित पर विचार करें: कोई भी यादृच्छिक चर एक्स, जो एक निरंतर सी के बराबर होता है संभावना के साथ, "सब कुछ" से स्वतंत्र है, जिसमें स्वयं भी शामिल है। यानी, ऐसे X के लिए, X, X से स्वतंत्र है। आप स्वतंत्रता की परिभाषा के अनुसार आसानी से देख सकते हैं।

— मार्क एल। स्टोन

@ मर्क एल। स्टोन मैं इस गलत बयान को सही करूंगा। अकेले से मेरा मतलब "अपने आप में" था। आपकी परिभाषा में, क्या आपको यह कहने की अनुमति है: स्वतंत्र है, या X और X स्वतंत्र हैं? $X$$X$$X$

— लॉरेंट डुवल

X अपने आप से स्वतंत्र है। यानी, X, X से स्वतंत्र है।

— मार्क एल। स्टोन

Answer 5

जब आपके पास मूल्यों की एक जोड़ी होती है जब पहली बेतरतीब ढंग से उत्पन्न होती है और दूसरे की पहली पर कोई निर्भरता होती है। उदाहरण के लिए एक आदमी की ऊंचाई और वजन। उनके बीच परस्पर संबंध है। लेकिन वे दोनों यादृच्छिक हैं।

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यद्यपि यह पोस्ट "यादृच्छिक" और "निर्भर" शब्दों का उपयोग करता है, लेकिन यह उन्हें परिभाषित नहीं करता है या स्पष्ट रूप से उन्हें अलग करता है। वास्तव में, यह सुझाव देता है कि "यादृच्छिक = निर्भर"!

— whuber

Answer 6

सिक्का उदाहरण एक यादृच्छिक और स्वतंत्र चर का एक बड़ा उदाहरण है, एक यादृच्छिक लेकिन आश्रित चर के बारे में सोचने का एक अच्छा तरीका है ताश के पत्तों के सात डेक के जूते से तैयार किया गया अगला कार्ड, किसी विशिष्ट संख्यात्मक परिणाम का -likelihood- पहले से निपटाए गए कार्ड के आधार पर परिवर्तन, लेकिन जब तक कार्ड का केवल एक मूल्य जूता में रहता है, तब तक कार्ड का मूल्य अगले आने तक यादृच्छिक रहेगा।

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संभवतः "संभावना" शब्द को "संभावना" द्वारा यहां प्रतिस्थापित करने के लायक है, क्योंकि संभावना की आंकड़ों में एक अलग तकनीकी परिभाषा है

— सिल्वरफिश

एक संभावना जो अन्य घटनाओं (अक्सर पिछली घटनाओं पर निर्भर करती है, लेकिन कभी-कभी भविष्य या एक साथ होने वाली घटनाओं के ज्ञान पर आधारित होती है - वास्तव में इसके लिए कोई अस्थायी दिशा नहीं होती है) को सशर्त संभाव्यता कहा जाता है । संभावना शब्द का उपयोग एक तरह के "रिवर्स में प्रायिकता" (या निरंतर मामले में, एक संभावना घनत्व) को संदर्भित करने के लिए किया जाता है - अर्थात, एक आपके मॉडल पैरामीटर (एस पर) एक परिणाम की संभावना (जैसे आपका डेटा) सशर्त की गणना करता है ), लेकिन अगर हम इसे दूसरे तरीके से सोचते हैं, तो यह आपके डेटा को देखते हुए, उस पैरामीटर की संभावना है ।

— सिल्वरफिश सेप

जब तक आप किसी पैरामीटर की संभावना की गणना नहीं कर रहे हैं, तब तक आंकड़ों में "संभावना" शब्द से बचना सबसे अच्छा है, यहां तक ​​कि जहां सामान्य अंग्रेजी में एक घटना की संभावना के लिए एक पर्याय के रूप में "संभावना" का उपयोग किया जाएगा (उदाहरण के लिए "रोलिंग टेन लेस" पासा के खेल में एक पंक्ति की संभावना बहुत कम है "बोलचाल की अंग्रेजी के लिए ठीक है, लेकिन एक सांख्यिकीय अर्थ में शब्द का सही उपयोग नहीं कर रहा है)। "चलो एक पैरामीटर संभावना को संकेतित करते हो कि एक पक्षपाती मरने रोल एक छह; संभावना की गणना कि π = 1 / 6 यह देखते हुए कि मरने के दस रोल किए गए सभी छक्के" सांख्यिकीय सही लेकिन jargony है$π$$π=1/6$

— silverfish

Answer 7

डेविड बोहम ने अपने काम में कॉज़ेलिटी एंड चांस इन मॉडर्न फ़िज़िक्स (लंदन: रूटलेज, 1957/1984) कार्य-कारण, संभावना, यादृच्छिकता और स्वतंत्रता का वर्णन किया है:

"प्रकृति में कुछ भी स्थिर नहीं रहता है। सब कुछ परिवर्तन, गति और परिवर्तन की एक स्थायी स्थिति में है। हालांकि, हमें पता चलता है कि कुछ भी नहीं है, जो पहले से मौजूद एंटीसेडेंट्स के बिना कुछ भी नहीं बढ़ाता है। इसी तरह, कुछ भी कभी भी एक ट्रेस के बिना गायब नहीं होता है। वह भावना जो बाद के समय में मौजूद कुछ भी नहीं को निरपेक्षता प्रदान करती है। .... सब कुछ अन्य चीजों से आता है और अन्य चीजों को जन्म देता है। यह सिद्धांत अभी तक प्रकृति में करणीय के अस्तित्व का बयान नहीं है। अगला कदम यह है कि जब हम परिस्थितियों की एक विस्तृत श्रृंखला के तहत होने वाली प्रक्रियाओं का अध्ययन करते हैं, तो हमें पता चलता है कि परिवर्तन और परिवर्तन की जटिलता के अंदर सभी रिश्ते हैंयह प्रभावी रूप से स्थिर रहता है। .... इस बिंदु पर, हालांकि, हम एक नई समस्या से मिलते हैं। एक कारण कानून की आवश्यकता के लिए कभी नहीं निरपेक्ष है। इस प्रकार, हम देखते हैं कि किसी को प्रकृति के नियम की कल्पना करनी चाहिए, यदि केवल आकस्मिकताओं से एक सार , अनिवार्य रूप से स्वतंत्र कारकों का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि उन चीजों के दायरे से बाहर हो सकता है, जिन्हें विचाराधीन कानूनों द्वारा इलाज किया जा सकता है, और जो आवश्यक रूप से पालन नहीं करते हैं। इन कानूनों के संदर्भ में निर्दिष्ट किसी भी चीज़ से। इस तरह की आकस्मिकताएँ मौका देती हैं । "(पीपी। १-२)

"उस संदर्भ के अंदर होने वाली घटनाओं से स्वतंत्र रूप से उतार-चढ़ाव करने के लिए दिए गए संदर्भ के बाहर झूठ बोलने की प्रवृत्ति ने खुद को इतने व्यापक रूप से प्रदर्शित किया है कि कोई इसे सिद्धांत के रूप में स्वीकार कर सकता है; अर्थात् यादृच्छिकता का सिद्धांत। यादृच्छिकता से हम सिर्फ इतना कहते हैं कि यह स्वतंत्रता की ओर जाता है। कब्जे की एक विस्तृत श्रृंखला पर बहुत जटिल तरीके से इन आकस्मिकताओं के उतार-चढ़ाव, लेकिन इस तरह से कि सांख्यिकीय औसत एक नियमित और लगभग अनुमानित व्यवहार है। " (P.22)

Comments

$0$$1$$1/3$$4/7$

आप चर्चा करने लगते हैं यादृच्छिकता और यादृच्छिक चर के बजाय स्टोचस्टिक प्रक्रियाओं (समय में) पर ।

— whuber

मेरा मानना ​​है कि संचार में हमें जो कठिनाई हो रही है, वह यह है कि आप प्रतिगमन में एक स्वतंत्र चर के अर्थ में "स्वतंत्र" के बारे में सोचते हैं । यद्यपि प्रश्न के कुछ तत्व सुझाव दे सकते हैं कि, वाक्यांश "दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर" और "यादृच्छिक नमूना" अन्यथा इंगित करते हैं।

— whuber

मैं यह भी नहीं बता सकता कि आपकी समझ क्या है, क्योंकि आपका जवाब कोई परिभाषा नहीं देता है। मुझे लगता है कि आप उन उदाहरणों और विवरणों से कहने की कोशिश कर रहे हैं जो आप देते हैं। पिछली टिप्पणियों में वर्णित तरीकों से वे "यादृच्छिक" और "स्वतंत्र" की इंद्रियों से भिन्न दिखाई देते हैं।

— whuber

मैं @whuber टिप्पणियों में जोड़ूंगा कि आपकी परिभाषा एक दूसरे को प्रभावित करने वाले यादृच्छिक चर का उल्लेख करते हुए भ्रामक हो सकती है। "प्रभाव" एक बहुत मजबूत शब्द है जो किसी प्रकार की कार्य-कारण आदि को दर्शाता है, जबकि स्वतंत्रता की औपचारिक परिभाषा में किसी भी कारण या प्रभाव की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह संयुक्त बनाम व्यक्तिगत संभावनाओं के संबंधों के बारे में है।

— टिम