क्या यादृच्छिक चर

क्या हम एक यादृच्छिक चर की निर्भरता और एक यादृच्छिक चर के कार्य के बारे में कुछ कह सकते हैं? उदाहरण के लिए $X^2$ पर निर्भर है ? $X$

probability random-variable

— रोहित बंगा
स्रोत

यदि

X

$X$ और

f (X)

$f(X)$ स्वतंत्र हैं, तो

f (X)

$f(X)$ लगभग निश्चित रूप से स्थिर है। अर्थात्, ऐसा मौजूद

a

$a$ कि

P (f (X) = a) = 1

$\mathbb P(f(X) = a) = 1$ ।

— कार्डिनल

@ कार्डिनल-वह जवाब क्यों नहीं बना ?

— कार्ल

@कार्डिनल, मैं जॉन से उसकी टिप्पणी पर विस्तार से पूछना चाहता था। मैंने इसे मान लिया कि माना गया फ़ंक्शन एक दिया गया, नियतात्मक फ़ंक्शन है। इस प्रक्रिया में, मैंने आपके द्वारा बताए गए परिणाम के लिए एक तर्क लिखना समाप्त कर दिया। किसी भी टिप्पणी का स्वागत और सराहना की जाती है।

— NRH

हाँ,

X^{2}

$X^2$ पर निर्भर है

X

$X$ , के बाद से यदि आप जानते हैं

X

$X$ तो आप को पता

X^{2}

$X^2$ ।

X

$X$ और

Y

$Y$ केवल तभी स्वतंत्र होते हैं यदि मूल्य

X

$X$ ज्ञान

के वितरण के आपके ज्ञान को प्रभावित नहीं करता है

Y

$Y$ ।

— हेनरी

@iamrohitbanga: यदि

तो

लगभग निश्चित रूप से। तो,

इस विशेष मामले में

से स्वतंत्र है ।

X \in {- 1, 1}

$X \in \{-1,1\}$

X^{2} = 1

$X^2 = 1$

X

$X$

X^{2}

$X^2$

— कार्डिनल

जवाबों:

यहाँ एक छोटे से मोड़ के साथ @ कार्डिनल की टिप्पणी का प्रमाण दिया गया है। तो और कर रहे हैं स्वतंत्र तो $X$ $f(X)$ ले रहा हैपैदावार समीकरण जिसके दो हल हैं 0 और 1. इस प्रकार

\begin{array}{lcl} P (X \in A \cap f^{- 1} (B)) & = & P (X \in A, f (X) \in B) \\ = & P (X \in A) P (f (X) \in B) \\ = & P (X \in A) P (X \in f^{- 1} (B)) \end{array}

$\begin{array}{lcl} P(X \in A \cap f^{-1}(B)) & = & P(X \in A, f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(X \in f^{-1}(B)) \end{array}$

A = f^{- 1} (B)

$A = f^{-1}(B)$

P (f (X) \in B) = P (f (X) \in B)^{2},

$P(f(X) \in B) = P(f(X) \in B)^2,$

सभी के लिए

। संपूर्ण सामान्यता में, अधिक कहना संभव नहीं है। तो

और

स्वतंत्र हैं, तो

एक चर ऐसी है कि किसी के लिए है

उस में या तो है

या में

संभावना 1. के साथ और अधिक कहने के लिए, एक की जरूरत है और अधिक मान्यताओं, जैसे कि सिंगलटन सेट

मापने योग्य हैं।

P (f (X) \in B) \in {0, 1}

$P(f(X) \in B) \in \{0, 1\}$

B

$B$

X

$X$

f (X)

$f(X)$

f (X)

$f(X)$

B

$B$

B

$B$

B^{c}

$B^c$

{b}

$\{b\}$

हालांकि, माप सिद्धांत पर विवरण ओपी की मुख्य चिंता नहीं लगती है। यदि असली है और कोई वास्तविक समारोह है (और हम बोरेल का उपयोग -algebra, कहते हैं), तो लेने के $X$ $f$ $\sigma$ यह इस प्रकार के वितरण के लिए वितरण समारोह है कि केवल लेता है मान 0 और 1, इसलिए एक है जिस पर यह से तक कूदता हैऔर $B = (-\infty, b]$ $f(X)$ $b$ $0$ $1$ $P(f(X) = b) = 1$ ।

दिन के अंत में, ओपी प्रश्न का उत्तर है कि और $X$ $f(X)$ आम तौर पर बहुत ही विशेष परिस्थितियों में निर्भर और स्वतंत्र होते हैं। इसके अलावा, डिराक उपाय हमेशा की सशर्त वितरण के लिए उत्तीर्ण दिए गए , जो कह रही है की एक औपचारिक तरीका है कि जानते हुए भी तो आप यह भी जानते हैं कि वास्तव में क्या $\delta_{f(x)}$ $f(X)$ $X = x$ $X = x$ $f(X)$ है। पतित सशर्त वितरण के साथ निर्भरता का यह विशेष रूप यादृच्छिक चर के कार्यों के लिए विशेषता है।

— NRH
स्रोत

(+1) क्षमा करें। जैसा कि मैं अपना उत्तर लिख रहा था, मुझे ऐसा अपडेट नहीं मिला जिसे आपने एक के रूप में प्रस्तुत किया हो। :)

— कार्डिनल

लेम्मा : लेट एक रैंडम वेरिएबल है और (a (Borel औसत दर्जे का) फ़ंक्शन जैसे कि और स्वतंत्र है। तब $X$ $f$ $X$ $f(X)$ लगभग निश्चित रूप से स्थिर है। है, वहाँ कुछ है ऐसी है कि । $f(X)$ $a \in \mathbb R$ $\mathbb P(f(X) = a) = 1$

प्रमाण नीचे है; लेकिन, पहले, कुछ टिप्पणी। बोरेल माप्यता केवल यह सुनिश्चित करने के लिए एक तकनीकी स्थिति है कि हम उचित और सुसंगत तरीके से संभाव्यता को निर्दिष्ट कर सकते हैं। "लगभग निश्चित रूप से" बयान भी सिर्फ एक तकनीकीता है।

लेम्मा का सार यह है कि यदि हम और को स्वतंत्र करना चाहते हैं , तो हमारे केवल उम्मीदवार फॉर्म । $X$ $f(X)$ $f(x) = a$

कार्यों के मामले के साथ इस कंट्रास्ट ऐसी है कि और कर रहे हैं असहसंबद्ध । यह एक बहुत, बहुत कमजोर स्थिति है। वास्तव में, शून्य के साथ किसी भी यादृच्छिक चर पर विचार करें , पूर्ण तीसरे क्षण को परिमित करें और यह शून्य के बारे में सममित है। उदाहरण में प्रश्न के रूप में लें । फिर $f$ $X$ $f(X)$ $X$ $f(x) = x^2$ , इसलिए और असंबद्ध हैं। $\mathrm{Cov}(X,f(X)) = \mathbb E Xf(X) = \mathbb E X^3 = 0$ $X$ $f(X) = X^2$

नीचे, मैं सबसे सरल प्रमाण देता हूं मैं लेम्मा के लिए आ सकता हूं। मैंने इसे अत्यधिक क्रिया कर दिया है ताकि सभी विवरण यथासंभव स्पष्ट हों। अगर कोई इसे सुधारने या इसे सरल बनाने के तरीके देखता है, तो मुझे यह जानकर अच्छा लगेगा।

प्रमाण का विचार : सहज रूप से, यदि हम जानते हैं , तो हम जानते हैं । तो, हम में किसी घटना को खोजने की जरूरत , सिग्मा द्वारा उत्पन्न बीजगणित , कि के हमारे ज्ञान से संबंधित है की है कि । फिर, हम उस जानकारी का उपयोग और की अनुमानित स्वतंत्रता के साथ मिलकर यह दिखाने के लिए करते हैं कि लिए हमारे उपलब्ध विकल्प गंभीर रूप से विवश हैं। $X$ $f(X)$ $\sigma(X)$ $X$ $X$ $f(X)$ $X$ $f(X)$ $f$

की लेम्मा सबूत : याद रखें कि और स्वतंत्र हैं तभी सभी के लिए है, तो और , । चलो कुछ बोरेल औसत दर्जे का कार्य के लिए $X$ $Y$ $A \in \sigma(X)$ $B \in \sigma(Y)$ $\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\Pr(X \in A, Y \in B) = \Pr(X \in A) \Pr(Y \in B)$ $Y = f(X)$ $f$ such that $X$ and $Y$ are independent. Define $\newcommand{\o}{\omega}A(y) = \{\o: f(X(\o)) \leq y\}$ . Then,

A (y) = {ω : X (ω) \in f^{- 1} ((- \infty, y])}

$A(y) = \{\o: X(\o) \in f^{-1}((-\infty,y])\}$ and since

(- \infty, y]

$(-\infty,y]$ is a Borel set and

f

$f$ is Borel-measurable, then

f^{- 1} ((- \infty, y])

$f^{-1}((-\infty,y])$ is also a Borel set. This implies that

A (y) \in σ (X)

$A(y) \in \sigma(X)$ (by definition(!) of

σ (X)

$\sigma(X)$ ).

Since $X$ and $Y$ are assumed independent and $A(y) \in \sigma(X)$ , then

P (X \in A (y), Y \leq y) = P (X \in A (y)) P (Y \leq y) = P (f (X) \leq y) P (f (X) \leq y),

$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(X \in A(y)) \Pr(Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$ and this holds for all

y \in R

$y \in \mathbb R$ . But, by definition of

A (y)

$A(y)$

P (X \in A (y), Y \leq y) = P (f (X) \leq y, Y \leq y) = P (f (X) \leq y) .

$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y, Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \> .$ Combining these last two, we get that for every

y \in R

$y \in \mathbb R$ ,

P (f (X) \leq y) = P (f (X) \leq y) P (f (X) \leq y),

$\Pr(f(X) \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$ so

P (f (X) \leq y) = 0

$\Pr(f(X) \leq y) = 0$ or

P (f (X) \leq y) = 1

$\Pr(f(X) \leq y) = 1$ . This means there must be some constant

a \in R

$a \in \mathbb R$ such that the distribution function of

f (X)

$f(X)$ jumps from zero to one at

a

$a$ . In other words,

f (X) = a

$f(X) = a$ almost surely.

NB: Note that the converse is also true by an even simpler argument. That is, if $f(X) = a$ almost surely, then $X$ and $f(X)$ are independent.

— cardinal
स्रोत

+1, I should be sorry - to steal your argument is not very polite. It's great that you spelled out the difference between independence and being uncorrelated in this context.

— NRH

No "stealing" involved, nor impoliteness. :) Though many of the ideas and comments are similar (as you'd expect for a question like this!), I think the two posts are nicely complementary. In particular, I like how at the beginning of your post you didn't constrain yourself to real-valued random variables.

— cardinal

@NRH accepting your answer as the initial part of your proof seems easier to grasp for a novice like me. Nevertheless +1 cardinal for your answer.

— Rohit Banga