की उम्मीद

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चलो , , , और स्वतंत्र हो। की अपेक्षा क्या है ? $X_1$ $X_2$ $\cdots$ $X_d \sim \mathcal{N}(0, 1)$ $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$

यह पता लगाने के लिए आसान है समरूपता द्वारा। लेकिन मुझे नहीं पता कि मैं कैसे । क्या आप कुछ संकेत प्रदान कर सकते हैं? $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right) = \frac{1}{d}$ $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$

मैंने अब तक क्या हासिल किया है

मैं समरूपता द्वारा $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ को । लेकिन यह मामला इससे अलग है कि $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right)$ क्योंकि $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ हो सकता है कि बराबर नहीं हो सकता है $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ । इसलिए मुझे अपेक्षा को खोजने के लिए कुछ अन्य विचारों की आवश्यकता है।

यह सवाल कहां से आता है

एक प्रश्न गणित ढेर विदेशी मुद्रा में की विचरण के लिए पूछता है $\|Ax\|_2^2$ के लिए एक इकाई वर्दी यादृच्छिक वेक्टर $x$ पर $S^{d-1}$ । मेरे व्युत्पत्ति से पता चलता है कि इसका जवाब के मूल्यों पर निर्भर करता है अत्यंत कष्ट $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ और $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ के लिए $i \neq j$ । चूँकि

\sum_{i \neq j} E (\frac{X_{i}^{2} X_{j}^{2}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}}) + \sum_{i} E (\frac{X_{i}^{4}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}}) = 1

$\sum_{i \neq j}\mathbb{E} \left( \frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) + \sum_i \mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) = 1$ और समरूपता से, हमें केवल इसका मूल्य जानना होगा

E (\frac{X_{1}^{4}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}})

$\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ अन्य अपेक्षाएँ प्राप्त करने के लिए

।

— माइकल हार्डी
स्रोत

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$X_i^2$ का वितरण ची-वर्ग है (और गामा का एक विशेष मामला भी)।

के वितरण जिससे है बीटा। $\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}$

एक बीटा के वर्ग की उम्मीद मुश्किल नहीं है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका
स्रोत

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यह उत्तर @ Glen_b के उत्तर का विस्तार करता है।

तथ्य 1: अगर , , , स्वतंत्र मानक सामान्य वितरण यादृच्छिक चर हैं, तो उनके वर्गों का योग के साथ ची-वर्ग वितरण है स्वतंत्रता की डिग्री। दूसरे शब्दों में, $X_1$ $X_2$ $\cdots$ $X_n$ $n$
$X_{1}^{2} + \dots + X_{n}^{2} \sim χ^{2} (n)$ $X_1^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)$

इसलिए, और । $X_1^2 \sim \chi^2(1)$ $X_2^2 + \cdots + X_d^2 \sim \chi^2(d-1)$

तथ्य 2: यदि और , तो $X \sim \chi^2(\lambda_1)$ $Y \sim \chi^2(\lambda_2)$
$\frac{X}{X + Y} \sim beta (\frac{λ_{1}}{2}, \frac{λ_{2}}{2})$ $\frac{X}{X + Y} \sim \texttt{beta}(\frac{\lambda_1}{2}, \frac{\lambda_2}{2})$

इसलिए, । $Y = \frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2} \sim \texttt{beta}(\frac{1}{2}, \frac{d-1}{2})$

तथ्य 3: यदि , तो और $X \sim \texttt{beta}(\alpha, \beta)$
$E (X) = \frac{α}{α + β}$ $\mathbb{E}(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$ $V a r (X) = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}$ $\mathbb{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}$

इसलिए, और

E (Y) = \frac{1}{d}

$\mathbb{E}(Y) = \frac{1}{d}$

V a r (Y) = \frac{2 (d - 1)}{d^{2} (d + 2)}

$\mathbb{Var}(Y) = \frac{2(d-1)}{d^2(d+2)}$

अंत में,

E (Y^{2}) = V a r (Y) + E (Y)^{2} = \frac{3 d}{d^{2} (d + 2)} .

$\mathbb{E}(Y^2) = \mathbb{Var}(Y) + \mathbb{E}(Y)^2 = \frac{3d}{d^2(d+2)}.$

— user603
स्रोत

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@ एनपी-हार्ड: ऐसा लगता है कि आपने वास्तव में इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कहा है ? सिर्फ उसी का जिक्र क्यों नहीं?

— जोर्की

@joriki धन्यवाद। मैं प्रश्न का लिंक जोड़ूंगा।