प्रायिकता रिक्त स्थान को परिभाषित करने के लिए हमें सिग्मा-अल्जेब्रा की आवश्यकता क्यों है?

Question

हम एक है यादृच्छिक प्रयोग विभिन्न साथ परिणामों के गठन नमूना अंतरिक्ष $\Omega,$ जिस पर हम निश्चित पैटर्न पर ब्याज के साथ देखने के लिए कहा जाता है, घटनाओं $\mathscr{F}.$ सिग्मा-अलजेब्रा (या सिग्मा-फील्ड) उन घटनाओं से बना होता है, जिनमें एक संभावना माप $\mathbb{P}$ को सौंपा जा सकता है। कुछ गुण अशक्त सेट के शामिल किए जाने सहित पूरा कर रहे हैं, $\varnothing$ और पूरे नमूना अंतरिक्ष, और एक बीजगणित कि वेन चित्र के साथ यूनियनों और चौराहों का वर्णन है।

संभावना के बीच एक समारोह के रूप में परिभाषित किया गया $\sigma$ -algebra और अंतराल $[0,1]$ । कुल मिलाकर, ट्रिपल $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ एक संभावना स्थान बनाता है ।

किसी सादे अंग्रेजी में समझा सकते हैं अगर हम एक नहीं था क्यों संभावना भवन पतन होगा $\sigma$ -algebra? वे बस बीच में उस असंभव सुलेख "एफ" के साथ wedged हैं। मुझे भरोसा है कि वे आवश्यक हैं; मुझे लगता है कि एक घटना एक परिणाम से अलग है, लेकिन क्या एक के बिना धराशायी हो जाना होगा $\sigma$ -algebras?

सवाल यह है: संभावना समस्याओं की में किस प्रकार एक सहित एक संभावना अंतरिक्ष की परिभाषा $\sigma$ -algebra एक जरूरत बन जाता?

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डार्टमाउथ विश्वविद्यालय की वेबसाइट पर यह ऑनलाइन दस्तावेज़ एक सादे अंग्रेजी सुलभ स्पष्टीकरण प्रदान करता है। विचार एक घूमने वाला सूचक है जो इकाई परिधि के एक चक्र पर वामावर्त घूमता है :

हम एक स्पिनर का निर्माण शुरू करते हैं, जिसमें यूनिट परिधि के एक वृत्त और एक संकेतक होते हैं जैसा कि [] चित्र में दिखाया गया है। हम सर्कल पर एक बिंदु चुनते हैं और इसे $0$ लेबल करते हैं , और फिर सर्कल के हर दूसरे बिंदु को दूरी के साथ लेबल करते हैं, $x$ कहते हैं , $0$ से उस बिंदु तक, वामावर्त को मापा जाता है। प्रयोग में पॉइंटर को स्पिन करना और पॉइंटर की नोक पर बिंदु का लेबल रिकॉर्ड करना शामिल है। हम यादृच्छिक चर $X$ को इस परिणाम के मूल्य को निरूपित करते हैं। नमूना स्थान स्पष्ट रूप से अंतराल है $[0,1)$। हम एक संभावना मॉडल का निर्माण करना चाहेंगे जिसमें प्रत्येक परिणाम समान रूप से होने की संभावना हो। अगर हम आगे बढ़ना के रूप में हमने किया [...] संभावित परिणामों की एक सीमित संख्या के साथ प्रयोग है, तो हम संभावना असाइन करना होगा के लिए $0$ प्रत्येक परिणाम के लिए, अन्यथा के बाद से, संभावनाओं का योग है, संभावित परिणामों की सब कुछ खत्म हो, नहीं होगा बराबर 1. (वास्तव में, वास्तविक संख्याओं की एक बेशुमार संख्या को समेटना एक मुश्किल व्यवसाय है; विशेष रूप से, इस तरह के योग के लिए किसी भी अर्थ के लिए, सबसे अधिक संक्षेप में, कई सारांश $0$ से भिन्न हो सकते हैं ।) हालांकि, यदि। सभी निर्दिष्ट संभावनाएं $0$ , फिर योग $0$ , $1$ नहीं , जैसा कि यह होना चाहिए।

इसलिए यदि हम प्रत्येक बिंदु को किसी भी संभावना को असाइन करते हैं, और यह देखते हुए कि अंकों की एक (बेशुमार) अनंत संख्या है, तो उनकी राशि $> 1$ तक बढ़ जाएगी ।

Comments

इसके बारे में जवाब के लिए पूछने के लिए स्वयं को हराने लगता है -fields कि उपाय सिद्धांत का उल्लेख नहीं है! $\sigma$

— शीआन

मैंने किया, हालांकि ... मुझे यकीन नहीं है कि मैं आपकी टिप्पणी को समझता हूं।

— एंटोनी परेला

निश्चित रूप से सिग्मा फील्ड की जरूरत सिर्फ राय की बात नहीं है ... मुझे लगता है कि इस विषय पर यहां (मेरी राय में) विचार किया जा सकता है।

— गंग

यदि आपकी संभावना सिद्धांत की आवश्यकता "सिर" और "पूंछ" तक सीमित है, तो स्पष्ट रूप से फील्ड्स की कोई आवश्यकता नहीं है ! $\sigma$

— शीआन

मुझे लगता है कि यह एक अच्छा सवाल है। तो अक्सर आप पाठ्यपुस्तकों में संभावना ट्रिपल करने के लिए पूरी तरह से ज़रूरत से ज़्यादा संदर्भ देखें जो लेखक तो पर चला जाता है पूरी तरह से उसके बाद की अनदेखी करने के। $(\Omega, \mathcal{F}, P)$

— dsaxton

Answer 1

शीआन का पहला बिंदु करने के लिए: जब आप के बारे में बात कर रहे हैं -algebras, आप औसत दर्जे का सेट के बारे में पूछ रहे हैं, इसलिए दुर्भाग्यवश किसी भी सवाल का जवाब उपाय सिद्धांत पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए। मैं उस को धीरे से बनाने की कोशिश करूँगा, यद्यपि।$\sigma$

बेशुमार सेट के सभी सबसेट को स्वीकार करने की संभावना का एक सिद्धांत गणित को तोड़ देगा

$\mathbb{R}^2$

लेकिन क्या होगा अगर ब्याज के सेट का क्षेत्र अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है?

$P(A)=1$$P(A)=0$$0=1$$5<0$

$\sigma$

$\sigma$$\mathscr{F}$$\sigma$

$\sigma$$\sigma$

1. गणनीय यूनियनों के तहत बंद।
2. गिनने योग्य चौराहों के नीचे बंद।
3. पूरक के तहत बंद।

$P(A)=2/3$$P(A^c)$$1/3$$P(A^c)$$P(A\cup A^c)=P(A)+1-P(A)=1$

$\Omega$$\Omega\in\mathscr{F}$

$\sigma$

$\sigma$$\mathscr{F}=2^\Omega$$\Omega$$\Omega$$2^\Omega$

$\mathbb{R}^n$$\sigma$$\mathcal{L}^n$$\mathcal{L}^n$$n=1,2,3$कुछ अन्य प्रमाण के आधार पर एक ही घटना घटना।

$\sigma$

$$\mathscr{F}=\text{All subsets of the unit square with defined $\mathcal{L}^2$ measure}.$$ $B$$s$$s \in (0,1)$$(0,0)$$\mathscr{F}$$B$

एक व्यावहारिक मामले के रूप में, बस उस अवलोकन को बनाना अक्सर यह अवलोकन करने के लिए पर्याप्त होता है कि आप केवल ब्याज की समस्या के खिलाफ बढ़त हासिल करने के लिए लेब्सगेग-मापने योग्य सेटों पर विचार करते हैं।

लेकिन रुकिए, एक गैर-मापने योग्य सेट क्या है?

मुझे डर है कि मैं केवल इस पर थोड़ा प्रकाश डाल सकता हूं। लेकिन Banach-Tarski विरोधाभास (कभी - कभी "सूरज और मटर" विरोधाभास) हमारी कुछ मदद कर सकते हैं:

3 space डायमेंशनल स्पेस में एक सॉलिड बॉल को देखते हुए, बॉल की एक अपघटनी में एक असमान उपसमुच्चय की संख्या होती है, जिसे मूल बॉल की दो समान प्रतियों को प्राप्त करने के लिए अलग-अलग तरीके से वापस रखा जा सकता है। वास्तव में, reassembly प्रक्रिया में केवल उनके आकार को बदले बिना, टुकड़ों को इधर-उधर घुमाना और उन्हें घुमाना शामिल है। हालांकि, टुकड़े स्वयं सामान्य अर्थों में "ठोस" नहीं हैं, लेकिन अंकों के अनंत बिखराव हैं। पुनर्निर्माण पांच टुकड़ों के रूप में कुछ के साथ काम कर सकता है।

प्रमेय का एक मजबूत रूप तात्पर्य है कि किसी भी दो "उचित" ठोस वस्तुओं (जैसे कि एक छोटी गेंद और एक विशाल गेंद) को दिया जाता है, या तो एक को दूसरे में फिर से जोड़ा जा सकता है। यह अक्सर अनौपचारिक रूप से कहा जाता है "मटर को कटा हुआ और सूर्य में पुनः पाया जा सकता है" और इसे "मटर और सन विरोधाभास" कहा जाता है। 1

$\mathbb{R}^3$$S\in\Omega$$S$$V(S)>V(\Omega)$$P(S)>1$

इस विरोधाभास को हल करने के लिए, व्यक्ति चार रियायतों में से एक बना सकता है:

1. जब घुमाया जाए तो सेट का आयतन बदल सकता है।
2. दो भिन्न सेटों के मिलन का आयतन उनकी मात्रा के योग से भिन्न हो सकता है।
3. चार्म (ZFC) के स्वयंसिद्ध के साथ Zermelo – Fraenkel सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्धों को बदलना पड़ सकता है।
4. कुछ सेटों को "गैर-मापने योग्य" टैग किया जा सकता है, और किसी को इसकी मात्रा के बारे में बात करने से पहले यह जांचने की आवश्यकता होगी कि क्या कोई सेट "औसत दर्जे का" है।

$\sigma$

Comments

$\mathcal{L}$

$\sigma$

@ शीआन तरह के शब्दों के लिए धन्यवाद! यह वास्तव में बहुत मायने रखता है, आप से आ रहा है। मैं इस लेखन के रूप में बोरेल-कोलमोगोरोव विरोधाभास से परिचित नहीं था, लेकिन मैं कुछ पढ़ूंगा और देखूंगा कि क्या मैं अपने निष्कर्षों का एक उपयोगी जोड़ बनाने के लिए प्रबंधन कर सकता हूं।

— साइकोरैक्स

@ Student001: मुझे लगता है कि हम यहां बाल बांट रहे हैं। आप सही कह रहे हैं कि "उपाय" (कोई भी उपाय) की सामान्य परिभाषा सिग्मा-अल्जेब्रा की अवधारणा का उपयोग करके दी गई है। हालाँकि, मेरी बात यह है कि मेरे पहले लिंक में दिए गए लेब्स्ग्रे माप की परिभाषा में कोई शब्द या अवधारणा "सिग्मा-बीजगणित" नहीं है। दूसरे शब्दों में, कोई भी मेरी पहली कड़ी के अनुसार लेब्सेग माप को परिभाषित कर सकता है, लेकिन फिर यह दिखाने की जरूरत है कि यह एक माप है और यह कठिन हिस्सा है। मैं सहमत हूं कि हमें इस चर्चा को रोकना चाहिए।

— अमीबा

मुझे वास्तव में आपके उत्तर को पढ़ने में बहुत मज़ा आया। मुझे नहीं पता कि आपको कैसे धन्यवाद देना है, लेकिन आपने चीजों को बहुत स्पष्ट कर दिया है! मैंने कभी वास्तविक विश्लेषण का अध्ययन नहीं किया है और न ही गणित का सही परिचय दिया है। एक इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग पृष्ठभूमि से आया जिसने व्यावहारिक कार्यान्वयन पर बहुत ध्यान केंद्रित किया। आपने लिखा है कि इतने सरल शब्दों में कि मेरी तरह एक प्रहसन इसे समझ सकता था। मैं वास्तव में आपके उत्तर और आपके द्वारा प्रदान की गई सादगी की सराहना करता हूं। साथ ही @ शिआन को उसकी भरी हुई टिप्पणियों के लिए धन्यवाद!

— ज़ुशूके

Answer 2

$[0,18), [18, 25), [25,34), \dots$$(\Omega,F)$$F$$[18,25)$$[20,30)$$[20,30)$$F$

$(\Omega', F')$$f:$$f^{-1}(1)$$F$$f$

$F$$F$$A$$B$$A \cap B$$A \cup B$। अब, गिनने योग्य चौराहों और यूनियनों के लिए निकटता की आवश्यकता होती है, जो हमें गणनीय संयोजनों या विघटनों को पूछने की अनुमति देता है। और, एक प्रश्न को नकारना पूरक सेट द्वारा दर्शाया गया है। यह हमें एक सिग्मा-बीजगणित देता है।

मैंने इस तरह का परिचय सबसे पहले पीटर व्हिटल द्वारा "उम्मीद के माध्यम से संभावना" (स्प्रिंगर) द्वारा बहुत अच्छी पुस्तक में देखा।

संपादित करें

$i$$i$$\sigma$$\sigma$$n$$\sigma$$n$$\sigma$

लेकिन क्या हमें वास्तव में बड़ी संख्या के मजबूत कानून की आवश्यकता है? यहां एक उत्तर के अनुसार , शायद नहीं।

$n$$n$

$\sigma$

Comments

$\sigma$$P(A)\in[20,30)$$P(A)\in[20,30)\le P(A)\in[18,34)$अच्छी तरह से परिभाषित है, इसलिए यह भी स्पष्ट नहीं है कि यह उदाहरण दिखाता है कि आप इसे क्या चाहते हैं।

— सिसोरैक्स

$\sigma$$\sigma$

$\sigma$

मुझे लगता है कि आपका तर्क ध्वनि है। मैं अंत में थोड़ा अचंभित था, हालांकि, जब मुझे इस आश्वासन का सामना करना पड़ा: "गिनने योग्य चौराहों और यूनियनों के लिए निकटता की आवश्यकता होती है, जिससे हम गिनती योग्य संयोजनों या असंगतियों को पूछ सकते हैं।" ऐसा लगता है कि इस मुद्दे पर दिल आ गया है: कोई भी इस तरह के एक जटिल घटना का निर्माण क्यों करना चाहेगा? इसका एक अच्छा जवाब आपके बाकी पोस्ट को और अधिक प्रेरक बना देगा।

— whuber

व्यावहारिक उपयोग: वित्त के गणित में उपयोग की जाने वाली संभावना और माप सिद्धांत (स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन, इतो इंटीग्रल, अलजेब्रा के फिल्ट्रेशन सहित), ऐसा लगता है कि सिग्मा अलजेब्रा के बिना यह असंभव होगा। (मैं आपके उत्तर पर पहले से ही मतदान नहीं कर सकता क्योंकि मैंने संपादन नहीं किया है!)

— ४:४१

Answer 3

$\sigma$

$\sigma$$A \cup B$$(A\cup B)\cap C$

पहला स्वयंसिद्ध है कि is, is। वैसे आप हमेशा कुछ नहीं होने की संभावना जानते हैं (0) या कुछ हो रहा है (1)।

दूसरा स्वयंसिद्ध बस्तियों के तहत बंद है। मुझे एक मूर्खतापूर्ण उदाहरण पेश करते हैं। फिर से,, = {𝑇,।} के साथ एक सिक्का फ्लिप पर विचार करें। मैं आपको बताता हूं कि इस फ्लिप के लिए {बीजगणित {𝑋, I, {𝐻}} है। यही है, मैं कुछ भी नहीं होने की संभावना जानता हूं, जो हो रहा है, और एक सिर की है, लेकिन मैं एक पूंछ की संभावना नहीं जानता। आप मुझे ठीक से मोरन कहेंगे। क्योंकि यदि आप एक सिर की संभावना जानते हैं, तो आप स्वचालित रूप से एक पूंछ की संभावना को जानते हैं! अगर आपको कुछ होने की संभावना पता है, तो आपको पता है कि ऐसा नहीं होने की संभावना है (पूरक)!

अंतिम स्वयंसिद्ध गणनीय यूनियनों के तहत बंद है। मैं आपको एक और मूर्खतापूर्ण उदाहरण देता हूं। एक मर के रोल पर विचार करें, या {= {1,2,3,4,5,6}। क्या होगा अगर मैं आपको इसके लिए I बीजगणित बताने जा रहा हूं, तो {𝑋, tell, {1}, {2}}। यही है, मैं 1 रोल करने की संभावना जानता हूं या 2 रोल कर रहा हूं, लेकिन मुझे 1 या 2 रोल करने की संभावना नहीं पता है। फिर, आप उचित रूप से मुझे एक बेवकूफ कहेंगे (मुझे उम्मीद है कि कारण स्पष्ट है)। क्या होता है जब सेट असंतुष्ट नहीं होते हैं, और बेशुमार यूनियनों के साथ क्या होता है, थोड़ा गड़बड़ है, लेकिन मुझे आशा है कि आप कुछ उदाहरणों के बारे में सोचने की कोशिश कर सकते हैं।

$\sigma$

खैर, यह पूरी तरह से साफ-सुथरा मामला नहीं है, लेकिन कुछ ठोस कारण हैं ।

संभावित लोगों को उपायों की आवश्यकता क्यों है?

$\sigma$$\sigma$$P$

लोग विटाली के सेट और बनच-टार्स्की को यह समझाने के लिए लाते हैं कि आपको माप सिद्धांत की आवश्यकता क्यों है, लेकिन मुझे लगता है कि यह भ्रामक है । विटाली का सेट केवल अनुवाद (गैर-तुच्छ) उपायों के लिए चला जाता है, जो अनुवाद-अपरिवर्तनीय हैं, जिन्हें संभाव्यता रिक्त स्थान की आवश्यकता नहीं होती है। और बानाच-टार्स्की को रोटेशन-इनवेरियन की आवश्यकता होती है। विश्लेषण लोग उनके बारे में परवाह करते हैं, लेकिन संभाव्यता वास्तव में नहीं है ।

संभावना सिद्धांत में माप सिद्धांत का राइसन डी ' असतत और निरंतर RVs के उपचार को एकीकृत करने के लिए है, और इसके अलावा, RVs कि मिश्रित हैं और RVs कि न तो बस के लिए अनुमति देते हैं।

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$\sigma$$\sigma$