बहुराष्ट्रीय वितरण के गुणांकों का योग

$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$ मैं एक निष्पक्ष मर रहा हूँ। जब भी मुझे 1, 2, या 3 मिलता है, मैं एक '1' लिखता हूं; जब भी मुझे कोई 4 मिलता है तो मैं एक '2' लिखता हूं; जब भी मुझे कोई 5 या 6 मिलता है, तो मैं '3.' लिखता हूं।

आज्ञा देना $N$ की कुल संख्या मैं सभी संख्याओं के उत्पाद के लिए आवश्यक हूं, जो मैंने लिखा था कि लिए होंगे $\geq 100000$ । मैं गणना करना चाहता हूं (या लगभग) $\P(N\geq 25)$ , और सामान्य वितरण के कार्य के रूप में एक सन्निकटन दिया जा सकता है।

सबसे पहले, मुझे पता है कि $\P(N\geq 11) = 1$ क्योंकि $\log_3 100.000 \approx 10.48$ । अब, $a$ , $b$ और $c$ क्रमशः 1, 2, और 3 के नीचे लिखे जाने की संख्या दें। फिर:

P (a, b, c ∣ n) = {\begin{cases} (\binom{n}{a, b, c}) {(\frac{1}{2})}^{a} {(\frac{1}{6})}^{b} {(\frac{1}{3})}^{c} & if a + b + c = n \\ 0 & otherwise \end{cases}

$\P(a,b,c\mid n) = \begin{cases}\displaystyle\binom {n}{a, b, c} \left(\frac 1 2\right) ^ a \left(\frac 1 6\right)^b\left(\frac 1 3\right)^c &\text{ if } a + b + c = n \\ 0 &\text{ otherwise}\end{cases}$

मैं क्या गणना करना चाहता हूं:

P (a + b + c \geq 25 ∣ 2^{b} 3^{c} \geq 100000)

$\P(a + b + c \geq 25 \mid 2^b3^c\geq 100000)$

मैं इसकी गणना कैसे करूं?

--EDIT:

तो यह सुझाव दिया गया कि मैं इस शर्त को बदल सकता हूं:

P (a + b + c \geq 25 ∣ α a + β b + γ c \geq δ)

$\P(a + b + c \geq 25 \mid \alpha a + \beta b + \gamma c \geq \delta)$

जहाँ , , , और । $\alpha = 0$ $\beta = \log 2$ $\gamma = \log 3$ $\delta = \log 100000$

यह अधिक सॉल्व दिखता है! मुझे दुर्भाग्य से अभी भी पता नहीं है कि इसे कैसे हल किया जाए।

— पेड्रो कार्वाल्हो
स्रोत

+1 यह समस्या थोड़ी अधिक जानी-पहचानी लग सकती है, और स्वयं को स्पष्ट रूप से अनुमानित समाधानों के लिए अधिक उधार दे सकते हैं, यदि आप फॉर्म में स्थिति लिखना चाहते थे, जहां और ।

α a + β b + γ c \geq δ

$\alpha a + \beta b + \gamma c \ge \delta$

α = 0, β = \log (2), γ = \log (3),

$\alpha=0, \beta=\log(2), \gamma=\log(3),$

δ = \log (100000)

$\delta=\log(100000)$

— whuber

मैंने इस शर्त को लिखने के लिए नया तरीका जोड़ा है, लेकिन दुर्भाग्यवश मेरे पास अभी भी इस बात का बेहूदा सुराग नहीं है कि इसे कैसे हल किया जाए!

— पेड्रो कार्वाल्हो

एक और संकेत यह है कि अगर '2' की घटनाएं होती हैं तो आप रुक जाएंगे। तो आप इसे और पैरामीटर ( और ) के साथ एक नकारात्मक द्विपद के साथ अनुमानित कर सकते हैं । सटीक उत्तर भी प्रबंधनीय है क्योंकि बहुत सारे संयोजन नहीं हैं। इसके अलावा, स्थिति सटीक नहीं है - आपको यह शामिल करने की आवश्यकता है कि '2' या '3' वें रोल पर दर्ज किया गया था

17

$17$

17

$17$

0.5

$0.5$

11

$11$

1 / 3

$1/3$

N

$N$

— प्रायिकतालोगिक

जवाबों:

वर्तमान प्रश्न एक विशिष्ट मामला है जहां आप एक मात्रा के साथ काम कर रहे हैं जो एक बहुराष्ट्रीय यादृच्छिक चर का रैखिक कार्य है। आपकी असमानता को संतुष्ट करने वाले बहुराष्ट्रीय संयोजनों की गणना करके और उस सीमा पर वितरण को समेट कर, आपकी समस्या को ठीक से हल करना संभव है। ऐसे मामले में जहां बड़ा है, यह कम्प्यूटेशनल रूप से संभव हो सकता है। इस मामले में बहुसंख्या में सामान्य सन्निकटन का उपयोग करके एक अनुमानित वितरण प्राप्त करना संभव है। इस अनुमान का एक सामान्यीकृत संस्करण नीचे दिखाया गया है, और फिर इसे आपके विशिष्ट उदाहरण पर लागू किया जाता है। $N$

सामान्य सन्निकटन समस्या: मान लीजिए कि हमारे पास साथ विनिमेय यादृच्छिक चर का अनुक्रम है । किसी भी लिए हम सदिश , जो की संख्या गिनता है अनुक्रम के पहले मूल्यों में प्रत्येक परिणाम की घटनाएँ। चूंकि अंतर्निहित अनुक्रम विनिमेय है, इसलिए गिनती वेक्टर के रूप में वितरित किया जाता है: $1, 2, ..., m$ $n \in \mathbb{N}$ $\boldsymbol{X} \equiv \boldsymbol{X} (n) \equiv (X_1, X_2, ..., X_m)$ $n$

\begin{array}{ll} X ~ Mu (n, θ) & θ = lim_{n \to \infty} X (n) / n . \end{array}

$\begin{array} \boldsymbol{X} \text{ ~ Mu}(n, \boldsymbol{\theta}) & & \boldsymbol{\theta} = \lim_{n \rightarrow \infty} \boldsymbol{X}(n)/n. \end{array}$

अब, मान लें कि हमारे पास गैर-ऋणात्मक भार कुछ वेक्टर हैं और हम रैखिक कार्य को परिभाषित करने के लिए इन भारों का उपयोग करते हैं: $\boldsymbol{w} = (w_1, w_2, ..., w_m)$

A (n) \equiv \sum_{i = 1}^{m} w_{i} X_{i} .

$A(n) \equiv \sum_{i=1}^m w_i X_i.$

चूंकि वज़न गैर-ऋणात्मक है, इसलिए यह नई मात्रा में घट रही है । हम तब संख्या , जो हमारे रैखिक फ़ंक्शन के लिए एक न्यूनतम न्यूनतम मान प्राप्त करने के लिए आवश्यक टिप्पणियों की सबसे छोटी संख्या है। हम उस मामले में के वितरण को अनुमानित करना चाहते हैं जहां यह मूल्य (स्टोचस्टिक रूप से) बड़ा है। $n$ $N(a) \equiv \min \{ n \in \mathbb{N} | A(n) \geqslant a \}$ $N(a)$

सामान्य सन्निकटन समस्या का समाधान करना: सबसे पहले, हम ध्यान दें, चूंकि है गैर कम करने में (जो क्योंकि हम मान लिया है कि सभी वजन गैर नकारात्मक हैं रखती है), हमने: $A(n)$ $n$

P (N (a) ⩾ n) = P (N (a) > n - 1) = P (A (n - 1) < a) .

$\mathbb{P} (N(a) \geqslant n) = \mathbb{P} (N(a) > n - 1) = \mathbb{P} (A(n-1) < a).$

इसलिए, का वितरण सीधे के वितरण से संबंधित है । यह मानते हुए कि पूर्व की मात्रा बड़ी है, हम मल्टीवेरेट सामान्य वितरण से निरंतर सन्निकटन के साथ असतत यादृच्छिक वेक्टर को बदलकर उत्तरार्द्ध के वितरण को अनुमानित कर सकते हैं । यह रैखिक क्वांटिटी लिए एक सामान्य सन्निकटन की ओर जाता है , और हम सीधे इस मात्रा के क्षणों की गणना कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि , और लिए । कुछ मूल बीजगणित के साथ, यह हमें देता है: $N$ $A$ $\boldsymbol{X}$ $A(n)$ $\mathbb{E}(X_i) = n \theta_i$ $\mathbb{V}(X_i) = n \theta_i (1 - \theta_i)$ $\mathbb{C}(X_i, X_j) = -n \theta_i \theta_j$ $i \neq j$

μ \equiv E (\frac{1}{n} A (n)) = \sum_{i = 1}^{m} w_{i} θ_{i},

$\mu \equiv \mathbb{E}\left(\frac{1}{n} A(n)\right) = \sum_{i=1}^m w_i \theta_i,$

σ^{2} \equiv V (\frac{1}{\sqrt{n}} A (n)) = \sum_{i = 1}^{m} w_{i} θ_{i} - {(\sum_{i = 1}^{m} w_{i} θ_{i})}^{2} = μ (1 - μ) .

$\sigma^2 \equiv \mathbb{V}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} A(n)\right) = \sum_{i=1}^m w_i \theta_i - \left(\sum_{i=1}^m w_i \theta_i\right)^2 = \mu (1 - \mu).$

बहुसंकेतन के लिए सामान्य सन्निकटन अब हमें अनुमानित वितरण । इस सन्निकटन पैदावार को लागू करना: $A(n) \text{ ~ N} (n \mu, n \mu (1 - \mu))$

P (N (a) ⩾ n) = P (A (n - 1) < a) \approx Φ (\frac{a - (n - 1) μ}{\sqrt{(n - 1) μ (1 - μ)}}) .

$\mathbb{P} (N(a) \geqslant n) = \mathbb{P} (A(n-1) < a) \approx \Phi \left(\frac{a - (n-1) \mu}{\sqrt{(n-1) \mu (1 - \mu)}}\right).$

(प्रतीक मानक सामान्य वितरण फ़ंक्शन के लिए मानक संकेतन है।) यह निर्दिष्ट करने के लिए मात्रा से संबंधित मान के लिए संभाव्यता खोजने के लिए इस अनुमान को लागू करना संभव । यह एक बुनियादी सन्निकटन है जिसने अंतर्निहित बहुराष्ट्रीय गणना मूल्यों के मूल्यों पर निरंतरता सुधार को शामिल करने का प्रयास नहीं किया है। यह सटीक रैखिक फ़ंक्शन के रूप में समान पहले दो केंद्रीय क्षणों का उपयोग करके एक सामान्य सन्निकटन ले रहा है। $\Phi$ $N(a)$ $a$

आपकी समस्या के लिए आवेदन: आपकी समस्या में आपके पास प्रायिकताएं , weights , और कट-ऑफ मूल्य । इसलिए आपके पास (छह दशमलव बिंदुओं पर) । हमारे पास उपरोक्त सन्निकटन को लागू करना (छह दशमलव बिंदुओं तक): $\boldsymbol{\theta} = (\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{3})$ $\boldsymbol{w} = (0, \ln 2, \ln 3)$ $a = \ln 100000$ $\mu = \tfrac{1}{6}\ln 2 + \tfrac{1}{3}\ln 3 = 0.481729$

P (N (a) ⩾ 25) \approx Φ (\frac{\ln 100000 - 24 \cdot 0.481729}{\sqrt{24} \cdot 0.499666}) = Φ (- 0.019838) = 0.492086.

$\mathbb{P}(N(a) \geqslant 25) \approx \Phi \left(\frac{\ln 100000 - 24 \cdot 0.481729}{\sqrt{24} \cdot 0.499666}\right) =\Phi (-0.019838) = 0.492086.$

सटीक बहुसंयोजी वितरण के अनुप्रयोग द्वारा, आवश्यकता संतुष्ट करने वाले सभी संयोजनों पर योग करें , यह दिखाया जा सकता है कि सटीक परिणाम । इसलिए, हम देख सकते हैं कि वर्तमान मामले में सटीक उत्तर के करीब सन्निकटन काफी करीब है। $\mathbb{P}(A(24) < a)$ $\mathbb{P}(N(a) \geqslant 25) = 0.483500$

उम्मीद है कि यह उत्तर आपको अपने विशिष्ट प्रश्न का उत्तर देता है, जबकि इसे संभाव्य परिणामों के अधिक सामान्य ढांचे के भीतर रखता है जो बहुराष्ट्रीय यादृच्छिक वैक्टर के रैखिक कार्यों पर लागू होता है। वर्तमान विधि से आपको अपने उदाहरण में विशिष्ट संख्याओं में भिन्नता की अनुमति देते हुए, सामान्य प्रकार की समस्याओं का लगभग समाधान प्राप्त करने की अनुमति मिल सकती है।

— बेन - बहाल मोनिका
स्रोत

एक सामान्य सन्निकटन करते हैं।

सबसे पहले, लॉग में अपनी समस्या को पूरी तरह से दोहराएं। आप समय 0 पर शुरू करते हैं t = 0। फिर, प्रत्येक समय कदम पर, आप जोड़ते हैं:

0 संभावना के साथ 1/2
$\log(2)$ प्रायिकता 1/6 के साथ
$\log(3)$ प्रायिकता 1/3 के साथ

जब आपकी राशि से अधिक हो जाती है तो आप इस प्रक्रिया को रोक देते हैं , जिस बिंदु पर आप देखते हैं कि आपने कितने थ्रो किए हैं। उस बिंदु पर पहुंचने के लिए आपके द्वारा फेंके गए थ्रो की संख्या ^ है $\log(10^5)$ $N$

मेरा कैलकुलेटर मुझे बताता है कि आपके वेतन वृद्धि का मतलब है: और यह विचरण । संदर्भ के लिए, समाप्ति बिंदु इसलिए हम उसे लगभग 24 चरणों में पहुंचा देंगे $\approx 0.48$ $\approx 0.25$ $\approx 11.51$

इस तथ्य पर सशर्त कि हमने 25 चरण किए हैं, राशि का वितरण मोटे तौर पर एक गाऊसी है जो 12.0 पर केंद्रित है और विचरण 6.25 के साथ है। यह हमें एक गाऊसी अनुमान देता है $p(N\geq25)\approx 0.5$

आपको यह जानने के लिए N = 25 पर योग के सहकर्मियों को देखना होगा कि क्या गॉसियन सन्निकटन ठीक है या नहीं। यह देखते हुए कि वेतन वृद्धि सममित नहीं है, लगभग सबसे अच्छा नहीं हो सकता है

— गिलौम देहेने
स्रोत

क्या आप मेरे लिए व्युत्पत्ति पूरी कर सकते हैं? मुझे इसे देखने में मुश्किल हो रही है। इसके अलावा, क्या इसकी गणना करने का कोई सटीक तरीका नहीं है?

— पेड्रो कार्वाल्हो

क्या आपका मतलब "लॉग (2)" और "लॉग (3)" नहीं है जहां आपके पास लॉग (1) और लॉग (2) है?

— Glen_b -Reinstate मोनिका

@GuillaumeDehaene ने लिखा: .... मेरी गणना से, दो अलग-अलग तरीकों से, जो 0.5 से बहुत अलग है

p (N \geq 25) \approx 0.5

$p(N\geq25)\approx 0.5$

P (N \geq 25) = 1 - P (N \leq 24) = 1 - \frac{1127291856633071}{6499837226778624} \approx 0.8266

$P(N\geq25) = 1 - P(N\leq 24) = 1 - \frac{1127291856633071}{6499837226778624} \approx 0.8266$

— wolfies

आपको P (n \ leq24) \ लगभग 0.18 कैसे मिलेगा?

— गिलियूम देहेने