एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण से नमूनों को द्विघात बाधाओं के अधीन करना

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मैं चाहते हैं कुशलतापूर्वक नमूने आकर्षित से बाधा है कि के अधीन । $x \in \mathbb{R}^d$ $\mathcal{N}(\mu, \Sigma)$ $||x||_2 = 1$

— SOBI
स्रोत

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इस समस्या के औपचारिक समाधान के लिए सबसे पहले एक उचित परिभाषा की आवश्यकता है

" $\mathcal{N}_d(μ,Σ)$ बाधा को वितरण के विषय है कि $||x||^2=1$ "

प्राकृतिक तरीका $X\sim\mathcal{N}_d(μ,Σ)$ स्थिति को $||X||=\varrho$ । और इस सशर्त को केस पर लागू करने के लिए $\varrho=1$ । यदि हम ध्रुवीय निर्देशांक ,

\begin{aligned} x_{1} & = ϱ \cos (θ_{1}) & θ_{1} \in [0, π] \\ x_{2} & = ϱ \sin (θ_{1}) \cos (θ_{2}) & θ_{2} \in [0, π] \\ ⋮ \\ x_{d - 1} & = ϱ (\prod_{i = 1}^{d - 2} \sin (θ_{i})) \cos (θ_{d - 1}) & θ_{d - 1} \in [0, 2 π] \\ x_{d} & = ϱ \prod_{i = 1}^{d - 1} \sin (θ_{i}) \end{aligned}

$\eqalign{ x_1&=\varrho\cos(\theta_1)\qquad&\theta_1\in[0,\pi]\\ x_2&=\varrho\sin(\theta_1)\cos(\theta_2)\qquad&\theta_2\in[0,\pi]\\ &\vdots\\ x_{d-1}&=\varrho \left( \prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i) \right) \cos(\theta_{d-1})\qquad&\theta_{d-1}\in[0,2\pi]\\ x_{d}&=\varrho\prod_{i=1}^{d-1}\sin(\theta_i) }$ परिवर्तन का

ϱ^{d - 1} \prod_{i = 1}^{d - 2} \sin (θ_{i})^{d - 1 - i}

$\varrho^{d-1}\prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i)^{d-1-i}$ इसलिए के वितरण की सशर्त घनत्व

θ = (θ_{1}, \dots, θ_{d - 1})

$\mathbf{\theta}=(\theta_1,\ldots,\theta_{d-1})$ दिया

ϱ

$\varrho$ है

f (θ | ϱ) \propto \exp \frac{- 1}{2} {(x (θ, ϱ) - μ)^{T} Σ^{- 1} (x (θ, ϱ) - μ)} \prod_{i = 1}^{d - 2} \sin (θ_{i})^{d - 1 - i}

$f(\mathbf{\theta}|\varrho) \propto \exp\frac{-1}{2}\left\{(x(\theta,\varrho)-\mu)^T\Sigma^{-1}(x(\theta,\varrho)-\mu) \right\} \prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i)^{d-1-i}$

निष्कर्ष: यह घनत्व सामान्य घनत्व को इकाई के एक बिंदु पर रखने से भिन्न होता है क्योंकि जैकबियन की वजह से यह इकाई क्षेत्र पर होता है।

दूसरा चरण लक्ष्य घनत्व और पैरामीटर स्थान पता लगाने के लिए एक मार्कोव चेन मोंटे कार्लो एल्गोरिदम डिज़ाइन करें । मेरा पहला प्रयास गिब्स नमूना पर होगा, जो इस बिंदु पर आरंभिक रूप से , यानी सबसे निकट होगा। , और महानगर के भीतर-गिब्स तरीके से एक समय में एक कोण आगे बढ़ना:

f (θ | ϱ = 1) \propto \exp \frac{- 1}{2} {(x (θ, 1) - μ)^{T} Σ^{- 1} (x (θ, 1) - μ)} \prod_{i = 1}^{d - 2} \sin (θ_{i})^{d - 1 - i}

$f(\mathbf{\theta}|\varrho=1) \propto \exp\frac{-1}{2}\left\{(x(\theta,1)-\mu)^T\Sigma^{-1}(x(\theta,1)-\mu) \right\} \prod_{i=1}^{d-2}\sin(\theta_i)^{d-1-i}$

[0, π]^{d - 2} \times [0, 2 π]

$[0,\pi]^{d-2}\times[0,2\pi]$

μ

$\mu$

μ / | | μ | |

$\mu/||\mu||$

Generate (जहां रकम की गणना की जाती है modulo ) और प्रायिकता साथ इस नए मान को स्वीकार करें और $\theta_1^{(t+1)}\sim\mathcal{U}([\theta_1^{(t)}-\delta_1,\theta_1^{(t)}+\delta_1])$ $\pi$ $\frac{f (θ_{1}^{(t + 1)}, θ_{2}^{(t)}, . . . | ϱ = 1)}{f (θ_{1}^{(t)}, θ_{2}^{(t)}, . . . | ϱ = 1)} \land 1$ $\dfrac{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t)},...|\varrho=1)}{f(\theta_1^{(t)},\theta_2^{(t)},...|\varrho=1)}\wedge 1$ $\theta_1^{(t+1)}=\theta_1^{(t)}$
Generate (जहाँ रकम की गणना की जाती है modulo ) और इस नए मान को प्रायिकता और $\theta_2^{(t+1)}\sim\mathcal{U}([\theta_2^{(t)}-\delta_2,\theta_2^{(t)}+\delta_2])$ $\pi$ $\frac{f (θ_{1}^{(t + 1)}, θ_{2}^{(t + 1)}, θ_{3}^{(t)}, . . . | ϱ = 1)}{f (θ_{1}^{(t + 1)}, θ_{2}^{(t)}, θ_{3}^{(t)}, . . . | ϱ = 1)} \land 1$ $\dfrac{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t+1)},\theta_3^{(t)},...|\varrho=1)}{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t)},\theta_3^{(t)},...|\varrho=1)}\wedge 1$ $\theta_2^{(t+1)}=\theta_2^{(t)}$
$\ldots$
Generate (जहाँ रकम की गणना modulo ) और प्रायिकता ) के साथ इस नए मान को स्वीकार करें और $\theta_{d-1}^{(t+1)}\sim\mathcal{U}([\theta_{d-1}^{(t)}-\delta_{d-1},\theta_{d-1}^{(t)}+\delta_{d-1}])$ $2\pi$ $\frac{f (θ_{1}^{(t + 1)}, θ_{2}^{(t + 1)}, . . ., θ_{d - 1}^{(t + 1)} | ϱ = 1)}{f (θ_{1}^{(t + 1)}, θ_{2}^{(t + 1)}, . . ., θ_{d - 1}^{(t)} | ϱ = 1)} \land 1$ $\dfrac{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t+1)},...,\theta_{d-1}^{(t+1)}|\varrho=1)}{f(\theta_1^{(t+1)},\theta_2^{(t+1)},...,\theta_{d-1}^{(t)}| \varrho=1)}\wedge 1$ $\theta_{d-1}^{(t+1)}=\theta_{d-1}^{(t)}$

स्केल , , , को एक आदर्श लक्ष्य की ओर, चरणों की स्वीकृति दरों के विरुद्ध बढ़ाया जा सकता है । $\delta_1$ $\delta_2$ $\ldots$ $\delta_{d-1}$ $50\%$

यहाँ और लिए डिफ़ॉल्ट मान के साथ, ऊपर चित्रण करने के लिए एक आर कोड है : $\mu$ $\Sigma$

library(mvtnorm)
d=4
target=function(the,mu=1:d,sigma=diag(1/(1:d))){
 carte=cos(the[1])
 for (i in 2:(d-1))
  carte=c(carte,prod(sin(the[1:(i-1)]))*cos(the[i]))
 carte=c(carte,prod(sin(the[1:(d-1)])))
 prod(sin(the)^((d-2):0))*dmvnorm(carte,mean=mu,sigma=sigma)}
#Gibbs
T=1e4
#starting point
mu=(1:d)
mup=mu/sqrt(sum(mu^2))
mut=acos(mup[1])
for (i in 2:(d-1))
  mut=c(mut,acos(mup[i]/prod(sin(mut))))
thes=matrix(mut,nrow=T,ncol=d-1,byrow=TRUE)
delta=rep(pi/2,d-1)     #scale
past=target(thes[1,])   #current target
for (t in 2:T){
 thes[t,]=thes[t-1,]
 for (j in 1:(d-1)){
   prop=thes[t,]
   prop[j]=prop[j]+runif(1,-delta[j],delta[j])
   prop[j]=prop[j]%%(2*pi-(j<d-1)*pi)
   prof=target(prop)
   if (runif(1)<prof/past){
     past=prof;thes[t,]=prop}
   }
}

— शीआन
स्रोत

-3

$||x||_2^2=1$ कड़ाई से संभव नहीं है क्योंकि एक (निरंतर) यादृच्छिक चर है। यदि आप इसे 1, अर्थात (जहां टिल्ड का मतलब है कि हम विचरण का अनुमान लगाते हैं), तो आपको इसके विचरण की आवश्यकता होगी । हालाँकि, यह मांग साथ संघर्ष कर सकती है । अर्थात्, इस विचरण के साथ नमूने प्राप्त करने के लिए आपको बराबर होने के लिए के विकर्ण की आवश्यकता होती है । $x$ $E[(x-\mu)^2]\tilde{=} \frac{1}{n}\sum (x-\mu)^2=\frac{1}{n} ||x-n||_2^2=\frac{1}{n}$ $\frac{1}{n}$ $\Sigma$ $\Sigma$ $\frac{1}{n}$

सामान्य रूप से इस वितरण को नमूना करने के लिए, आप iid मानक मानदंड बना सकते हैं, और उसके बाद , वर्गमूल से गुणा कर सकते हैं , और उसके बाद साधन जोड़ सकते हैं । $\Sigma^{0.5}$ $\Sigma$ $\mu$

— Yoki
स्रोत

आपके प्रतिक्रिया के लिए धन्येवाद। एक तरह से मैं सोच सकता हूं कि मैं जो चाहता हूं वह पैदा करेगा (लेकिन कुशल नहीं है) अस्वीकृति का नमूना है । तो, यह करना असंभव नहीं है। लेकिन मैं इसे करने का एक कुशल तरीका ढूंढ रहा हूं।

— सोबी