दो iid लॉगानॉर्मल यादृच्छिक चर का अंतर

Question

चलो और होना 2 iidrv की जहां । मैं लिए वितरण जानना चाहता ।एक्स 2 लॉग ( एक्स 1 ) , लॉग ( एक्स 2 ) ~ एन ( μ , σ ) एक्स 1 - एक्स $X_1$$X_2$$\log(X_1),\log(X_2) \sim N(\mu,\sigma)$$X_1 - X_2$

मैं जो सबसे अच्छा कर सकता हूं, वह दोनों की टेलर श्रृंखला को लेना है और यह प्राप्त करना है कि अंतर दो सामान्य आरवी और दो ची-स्क्वेयर आरवी के बाकी हिस्सों के बीच के अंतर के बीच अंतर का योग है। क्या 2 आईआईडी लॉग-सामान्य आरवी के बीच अंतर के वितरण को प्राप्त करने के लिए एक और अधिक सीधा-सीधा तरीका है?

Comments

यहाँ एक प्रासंगिक कागज है। आपको गोग्लिंग द्वारा अधिक कागजात मिलेंगे! कागजात .ssrn.com

— kjetil b halvorsen

मैंने उस कागज पर एक सरसरी निगाह डाली है, और यह मेरे सवाल का संतोषजनक जवाब नहीं देता है। वे सहसंबद्ध सन्निकटन से संबंधित प्रतीत होते हैं कि सहसंबद्ध lognormal rv के बीच योग / अंतर के वितरण की कठिन समस्या के लिए । मैं उम्मीद कर रहा था कि स्वतंत्र मामले के लिए एक सरल जवाब होगा।

— frayedchef

यह स्वतंत्र मामले में एक सरल जवाब हो सकता है, लेकिन सरल नहीं! लॉगनॉर्मल केस एक प्रसिद्ध ज्ञात हार्ड केस है --- लॉगऑनर्ल डिस्ट्रीब्यूशन का क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य मौजूद नहीं है --- अर्थात, यह शून्य से युक्त एक खुले अंतराल पर परिवर्तित नहीं होता है। तो, आपको एक आसान समाधान नहीं मिलेगा।

— kjetil b halvorsen

मैं देख रहा हूँ ... तो क्या मैं ऊपर उल्लिखित दृष्टिकोण उचित होगा? (अर्थात, यदि , क्या हम उच्चतर शर्तों के बारे में कुछ जानते हैं? या उन्हें कैसे एक्स 1 - एक्स 2 ≈ ( Y 1 - वाई 2 ) + ( वाई 2 1 - वाई 2 2 ) / 2 $Y_i = \log(X_i)$$X_1 - X_2 \approx (Y_1 - Y_2) + (Y_1^2 - Y_2^2)/2 + {} ...$

— बांधें

कठिनाई को स्पष्ट करने के लिए --- लॉगानॉर्मल mgf को केवल पर परिभाषित किया गया है । काठी के तरीकों से अंतर वितरण को अनुमानित करने के लिए, हमें (K = सहूलियत gf) , और वह राशि केवल एक बिंदु, शून्य में परिभाषित की गई है। इसलिए, काम करने के लिए प्रतीत नहीं होता है। योग या औसत सरल होगा!कश्मीर ( रों ) + कश्मीर ( - रों $(-\infty,0]$$K(s)+K(-s)$

— kjetil b halvorsen

Answer 1

यह एक कठिन समस्या है। मैंने सबसे पहले सोचा (कुछ सन्निकटन) उपयोग करने के बारे में सोचा कि इस कार्य का वितरण सामान्य कार्य है। यह काम नहीं करता है, जैसा कि मैं समझाऊंगा। लेकिन पहले कुछ संकेतन:

आज्ञा दें मानक सामान्य घनत्व हो और इसी संचयी वितरण फ़ंक्शन। हम केवल केस डिस्ट्रीब्यूशन का विश्लेषण करेंगे , जिसमें घनत्व फ़ंक्शन और संचयी वितरण फ़ंक्शन मान लीजिए कि और उपरोक्त लॉगनॉर्मल वितरण के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं। हम के वितरण में रुचि रखते हैं , जो औसत शून्य के साथ एक सममित वितरण है। चलो के क्षण पैदा समारोह होΦ एल एन एन ( 0 , 1 ) च ( एक्स ) = $\phi$$\Phi$$lnN(0,1)$F(x)=l(lnx)XYD=X-YM(t)=EetXXt∈(-∞,0]DMD(t)=Eet(X-Y)=Eet

$$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}x} e^{-\frac12 (\ln x)^2}$$ $$F(x) =\Phi(\ln x)$$ $X$$Y$$D=X-Y$$M(t) = \DeclareMathOperator{\E}{E} \E e^{tX}$$X$। यह केवल के लिए परिभाषित किया गया है ।, तो एक खुला अंतराल शून्य युक्त में परिभाषित नहीं के लिए पल पैदा समारोह है । इसलिए, लिए क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य केवल लिए परिभाषित किया गया , इसलिए बहुत उपयोगी नहीं है।$t\in (-\infty,0]$$D$डी टी = $M_D(t)=\E e^{t(X-Y)}= \E e^{tX} \E e^{-tY}= M(t)M(-t)$$D$$t=0$

इसका मतलब है कि के वितरण के लिए अनुमान लगाने के लिए हमें कुछ और प्रत्यक्ष दृष्टिकोण की आवश्यकता होगी । मान लीजिए कि , गणना (और मामला सममिति द्वारा हल किया जाता है, हमें ) मिलता है। टी ≥ 0 पी ( डी ≤ टी $D$$t\ge 0$

$$\begin{align} P(D \le t) &= P(X-Y\le t) \\ &= \int_0^\infty P(X-y\le t | Y=y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty P(X\le t+y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty F(t+y) f(y) \; dy \end{align}$$ $t<0$$P(D\le t)=1-P(D\le |t|)$

इस अभिव्यक्ति का उपयोग संख्यात्मक एकीकरण के लिए या अनुकरण के लिए आधार के रूप में किया जा सकता है। पहले एक परीक्षण:

 integrate(function(y) plnorm(y)*dlnorm(y), lower=0,  upper=+Inf)
  0.5 with absolute error < 2.3e-06

जो स्पष्ट रूप से सही है। आइए इसे एक फंक्शन के अंदर लपेटें:

pDIFF  <-  function(t) {
    d  <-  t
    for (tt in seq(along=t)) {
        if (t[tt] >= 0.0) d[tt] <- integrate(function(y) plnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                         lower=0.0,  upper=+Inf)$value else
                          d[tt] <- 1-integrate(function(y) plnorm(y+abs(t[tt]))*dlnorm(y),
                                         lower=0.0, upper=+Inf)$value
    }
    return(d)
}

> plot(pDIFF,  from=-5,  to=5)

जो देता है:

फिर हम अभिन्न संकेत के तहत विभेदन करके घनत्व फ़ंक्शन को प्राप्त कर सकते हैं, प्राप्त कर सकते हैं

dDIFF  <-  function(t) {
       d  <- t; t<- abs(t)
       for (tt in seq(along=t)) {
           d[tt]  <-  integrate(function(y) dlnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                lower=0.0,  upper=+Inf)$value
       }
       return(d)
}

जो हम परीक्षण कर सकते हैं:

> integrate(dDIFF,  lower=-Inf,  upper=+Inf)
0.9999999 with absolute error < 1.3e-05

और हमें मिलने वाले घनत्व की साजिश रचते हुए:

plot(dDIFF,  from=-5,  to=5)

मैंने कुछ विश्लेषणात्मक अनुमान लगाने की भी कोशिश की, लेकिन अभी तक यह सफल नहीं हुआ, यह एक आसान समस्या नहीं है। लेकिन ऊपर के रूप में संख्यात्मक एकीकरण, आधुनिक हार्डवेयर पर आर में क्रमादेशित बहुत तेजी से है, इसलिए एक अच्छा विकल्प है जिसे संभवतः बहुत अधिक उपयोग किया जाना चाहिए।

Answer 2

यह आपके प्रश्न का कड़ाई से जवाब नहीं देता है, लेकिन और के अनुपात को देखना आसान नहीं होगा ? आप तो बस पहुंचते हैं$X$$Y$

$$\begin{align} \Pr\left(\frac{X}{Y} \leq t\right) &= \Pr\left(\log\left(\frac{X}{Y}\right) \leq \log(t) \right) \\ &= \Pr(\log(X) - \log(Y) \leq \log(t)) \\ &\sim \mathcal{N}(0, 2 \sigma^2) \end{align}$$

आपके आवेदन के आधार पर, यह आपकी आवश्यकताओं की पूर्ति कर सकता है।

Comments

लेकिन क्या हम लॉग (X) - log (Y) के बजाय XY को नहीं देख रहे हैं?

— सेक्स्टस एम्पिरिकस

हां बिल्कुल। यह सिर्फ इस मामले में है कि किसी को यह जानने में रुचि होगी कि दो तार्किक चर एक दूसरे से भिन्न कैसे होते हैं, इसके बिना जरूरी अंतर होना जरूरी है। इसलिए मैं यह भी कहता हूं कि यह सवाल का जवाब नहीं देता है।

— विंसेंट ट्रेग