Wishart-Wishart के पैरामीटर क्या हैं?

D- डायमेंशनल वैक्टर उत्पन्न करने के लिए उपयोग किए जाने वाले एक सामान्य वितरण के सटीक मैट्रिक्स $\boldsymbol{\Lambda}$ को हम आमतौर पर Wishart को पहले से अधिक से पहले रखते हैं क्योंकि Wishart वितरण के लिए पूर्ववर्ती संयुग्म है। ज्ञात माध्य और अज्ञात विचरण के साथ एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण की : जहां स्वतंत्रता की डिग्री और हैं $N$ $\mathbf{x_1},..,\mathbf{x_N}$

\begin{aligned} x_{i} & \sim N (μ, Λ^{- 1}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{x_i} &\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu, \Lambda^{-1}}) \\ \end{align}$

Λ

$\boldsymbol{\Lambda}$

\begin{aligned} Λ & \sim W (υ, Λ_{0}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{\Lambda} &\sim \mathcal{W}(\upsilon, \boldsymbol{\Lambda_0}) \\ \end{align}$

υ

$\upsilon$

Λ_{0}

$\boldsymbol{\Lambda_0}$ स्केल मैट्रिक्स । मॉडल में मजबूती और लचीलापन जोड़ने के लिए हमने Wishart के मापदंडों पर हाइपरपायर लगा दिया। उदाहरण के लिए, गोर और रासमुसेन सुझाव देते हैं:

start

\begin{aligned} Λ_{0} & \sim W (D, \frac{1}{D} Λ_{x}) \\ \frac{1}{υ - D + 1} & \sim G (1, \frac{1}{D}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{\Lambda_0} &\sim \mathcal{W}(D, \frac{1}{D}\boldsymbol{\Lambda_x}) \\ \frac{1}{\upsilon-D + 1} &\sim \mathcal{G}(1, \frac{1}{D}) \\ \end{align}$ जहां

G

$\mathcal{G}$ tha गामा वितरण है।

सवाल:

आदेश में $\boldsymbol{\Lambda_0}$

\begin{aligned} p (Λ_{0} | X, Λ, υ, D, Λ_{x}) \propto W (Λ | υ, Λ_{0}) W (Λ_{0} | D, \frac{1}{D} Λ_{x}) \end{aligned}

$\begin{align} p(\boldsymbol{\Lambda_0 | X, \Lambda}, \upsilon, D, \boldsymbol{\Lambda_x}) \propto \mathcal{W}(\boldsymbol{\Lambda} | \upsilon, \boldsymbol{\Lambda_0}) \mathcal{W}(\boldsymbol{\Lambda_0} |D, \frac{1}{D}\boldsymbol{\Lambda_x}) \\ \end{align}$

इस पद के परिवार और मापदंडों क्या है?

पुनश्च:

उन सभी कारकों को छोड़ना, जो पर निर्भर नहीं हैं $\boldsymbol{\Lambda_0}$ और एक Wihsart के मापदंडों के साथ मापदंडों की पहचान करते हुए मुझे मापदंडों के साथ एक Wishart मिलता है: start

\begin{aligned} υ^{'} & = υ + D \\ Λ^{'} & = Λ + Λ_{x} \end{aligned}

$\begin{align} \upsilon' &= \upsilon + D\\ \boldsymbol{\Lambda'} &= \boldsymbol{\Lambda} + \boldsymbol{\Lambda_x} \end{align}$

जो काफी अच्छा लग रहा है, लेकिन मुझे बिल्कुल भी भरोसा नहीं है क्योंकि मुझे न तो किताबों पर और न ही इंटरनेट पर कोई उदाहरण मिलता है।

इरेटम :

गोएर और रासमुसेन उन हाइपरप्रिसेस को विसारट मापदंडों पर सुझाव देते हैं, लेकिन यह समीकरण: start

\begin{aligned} Λ & \sim W (υ, Λ_{0}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{\Lambda} &\sim \mathcal{W}(\upsilon, \boldsymbol{\Lambda_0}) \\ \end{align}$

इसके बजाय होना चाहिए:

\begin{aligned} Λ & \sim W (υ, Λ_{0}^{- 1}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{\Lambda} &\sim \mathcal{W}(\upsilon, \boldsymbol{\Lambda_0}^{-1}) \\ \end{align}$

इसलिए संयुग्मता की कमी को हल करना। यदि हम को रखना चाहते हैं, तो हमें पूर्ववर्ती के रूप में व्युत्क्रम Wishart का उपयोग करना चाहिए (देखें @ शीआन का उत्तर) $\boldsymbol{\Lambda_0}$

— अल्बर्टो
स्रोत

जवाबों:

में दो घनत्व के उत्पाद सुराग के लिए

p (Λ_{0} | X, Λ, υ, D, Λ_{x}) \propto W (Λ | υ, Λ_{0}) W (Λ_{0} | D, \frac{1}{D} Λ_{x})

$p(\boldsymbol{\Lambda_0 | X, \Lambda}, \upsilon, D, \boldsymbol{\Lambda_x}) \propto \mathcal{W}(\boldsymbol{\Lambda} | \upsilon, \boldsymbol{\Lambda_0}) \mathcal{W}(\boldsymbol{\Lambda_0} |D, \frac{1}{D}\boldsymbol{\Lambda_x}) \\$

\begin{aligned} p (Λ_{0} | X, Λ, υ, D, Λ_{x}) & \propto | Λ_{0} |^{- υ / 2} \exp {- tr (Λ_{0}^{- 1} Λ) / 2} \\ \times | Λ_{0} |^{(D - p - 1) / 2} \exp {- D tr (Λ_{x}^{- 1} Λ_{0}) / 2} \\ \propto | Λ_{0} |^{(D - υ - p - 1) / 2} \exp {- t r (Λ_{0}^{- 1} Λ + D Λ_{x}^{- 1} Λ_{0}) / 2}, \end{aligned}

$\begin{align*} p(\boldsymbol{\Lambda_0 | X, \Lambda}, \upsilon, D, \boldsymbol{\Lambda_x}) &\propto |\boldsymbol{\Lambda_0}|^{-\upsilon/2}\,\exp\{-\text{tr}(\boldsymbol{\Lambda_0}^{-1}\boldsymbol{\Lambda})/2\}\\ &\times |\boldsymbol{\Lambda_0}|^{(D-p-1)/2}\,\exp\{-D\,\text{tr}(\boldsymbol{\Lambda_x}^{-1}\boldsymbol{\Lambda_0})/2\}\\ &\propto|\boldsymbol{\Lambda_0}|^{(D-\upsilon-p-1)/2}\,\exp\{-tr(\boldsymbol{\Lambda_0}^{-1}\boldsymbol{\Lambda}+D\,\boldsymbol{\Lambda_x}^{-1}\boldsymbol{\Lambda_0})/2\}\,, \end{align*}$
जो एक मानक घनत्व प्रतीत नहीं होता है। तरह-तरह के संयुग्म को बनाए रखने के लिए, पर पहले का सही पदानुक्रम कुछ होना चाहिए जैसे

Λ_{0}

$\boldsymbol{\Lambda_0}$

Λ_{0} \sim I W (Λ_{0} | D, \frac{1}{D} Λ_{x}) .

$\boldsymbol{\Lambda_0}\sim\mathcal{IW}(\boldsymbol{\Lambda_0} |D, \frac{1}{D}\boldsymbol{\Lambda_x})\,.$

— शीआन
स्रोत

संकेत @ शीआन! के लिए धन्यवाद, वास्तव में संभावना में पैरामीटर होना चाहिए (मेरी गलती, देखें संपादित करें)। मैं सिर्फ इस का उपयोग कर और Wishart * Wishart रखते हुए एक उत्तर पोस्ट किया।

Λ_{0}^{- 1}

$\mathbf{\Lambda_0^{-1}}$

— अल्बर्टो

ठीक है, @ शीआन जवाब के लिए धन्यवाद मैं पूरी व्युत्पत्ति कर सकता हूं। मैं इसे एक सामान्य मामले के लिए लिखूंगा: जहां संयुग्मन की कुंजी है। यदि हम का उपयोग करना चाहते हैं, तो यह होना चाहिए:

\begin{aligned} W (W | υ, S^{- 1}) \times W (S | υ_{0}, S_{0}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{W}(\mathbf{W} | \upsilon, \mathbf{S^{-1}} ) \times \mathcal{W}(\mathbf{S} | \upsilon_0, \mathbf{S_0}) \end{align}$

S^{- 1}

$\mathbf{S^{-1}}$

S

$\mathbf{S}$

\begin{aligned} W (W | υ, S) \times I W (S | υ_{0}, S_{0}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{W}(\mathbf{W} | \upsilon, \mathbf{S} ) \times \mathcal{IW}(\mathbf{S} | \upsilon_0, \mathbf{S_0}) \end{align}$

मैं पहला मामला कर रहा हूं (कृपया मुझे गलत होने पर सही करें):

\begin{aligned} W (W | υ, S^{- 1}) \times W (S | υ_{0}, S_{0}) & \propto | S |^{υ / 2} \exp {- \frac{1}{2} t r (S W)} \\ \times | S |^{\frac{υ_{0} - D - 1}{2}} \exp {- \frac{1}{2} t r (S_{0}^{- 1} S)} \\ \propto | S |^{\frac{υ + υ_{0} - D - 1}{2}} \exp {- \frac{1}{2} t r ((W + S_{0}^{- 1}) S)} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{W}(\mathbf{W} | \upsilon, \mathbf{S^{-1}} ) \times \mathcal{W}(\mathbf{S} | \upsilon_0, \mathbf{S_0}) &\propto |\mathbf{S}|^{\upsilon/2} \exp\{-\frac{1}{2} tr(\mathbf{SW}) \}\\ &\times |\mathbf{S}|^{\frac{\upsilon_0 - D -1 }{2}} \exp\{-\frac{1}{2} tr (\mathbf{S_0^{-1} S})\}\\ &\propto |\mathbf{S}|^{\frac{\upsilon + \upsilon_0 - D -1 }{2}} \exp\{-\frac{1}{2} tr ( (\mathbf{W} + \mathbf{S_0^{-1}) S})\} \end{align}$

जहाँ हमने इस तथ्य का उपयोग किया है कि । निरीक्षण के द्वारा, हम देखते हैं कि यह एक Wishart वितरण है: start $tr({\mathbf{SW}}) = tr({\mathbf{WS}})$

\begin{aligned} p (S | \cdot) = W (υ + υ_{0}, (W + S_{0}^{- 1})^{- 1}) \end{aligned}

$\begin{align} p(\mathbf{S} | \cdot) = \mathcal{W}(\upsilon+ \upsilon_0, \mathbf{(W+S_0^{-1})^{-1}}) \end{align}$

ड्रॉ के लिए एक्सटेंशन $N$ $\mathbf{W_1...W_N}$ :

इस मामले के लिए जब हमारे पास सटीक मेट्रिसेस होते हैं, तो संभावना संभावना का एक उत्पाद बन जाती है और हम प्राप्त करते हैं: $N$ $N$

\begin{aligned} p (S | \cdot) = W (N υ + υ_{0}, (\sum_{i = 1}^{N} W_{i} + S_{0}^{- 1})^{- 1}) \end{aligned}

$\begin{align} p(\mathbf{S} | \cdot) = \mathcal{W}(N \upsilon+ \upsilon_0, (\sum_{i=1}^N \mathbf{W_i+S_0^{-1})^{-1}}) \end{align}$

— अल्बर्टो
स्रोत