विचरण का नमूना वितरण एक ची-वर्गीय वितरण क्यों है?

Question

बयान

नमूना विचरण का नमूना वितरण स्वतंत्रता के बराबर की डिग्री के साथ एक ची-वर्गीय वितरण है $n-1$, जहां $n$ नमूना आकार है (यह देखते हुए कि ब्याज का यादृच्छिक चर सामान्य रूप से वितरित किया जाता है)।

स्रोत

मेरा अंतर्ज्ञान

यह थोड़े मेरे लिए सहज ज्ञान युक्त बनाता है 1) क्योंकि ची-स्क्वायर परीक्षण वर्ग और 2 की राशि की तरह दिखता है) क्योंकि ची-स्क्वैयर वितरण सिर्फ सामान्य वर्ग वितरण का योग है। लेकिन फिर भी, मुझे इसकी अच्छी समझ नहीं है।

सवाल

क्या कथन सत्य है? क्यूं कर?

Comments

प्रारंभिक कथन सामान्य रूप से गलत है (यह दो अलग-अलग कारणों से गलत है)। आपका स्रोत क्या है (आपका लिंक गायब है), और यह वास्तव में क्या कहता है?

— Glen_b -Reinstate Monica

मेरा प्रश्न एक परिचयात्मक सांख्यिकी वर्ग में प्रश्न-उत्तर की प्रतिक्रिया के लिए भी आता है जिसके लिए अभिगम सुरक्षित है। सवाल है "मक्खियों में पंख की लंबाई में विचरण का नमूना वितरण क्या है?" और इसका उत्तर "ची-चुकता वितरण" है

— रेमी.बी

आपकी पहली टिप्पणी में उद्धृत बयान अभी भी सामान्य रूप से गलत है। स्रोत के अंत में टिप्पणी (आवश्यक मान्यताओं के साथ) सच है: " जब आकार के नमूने n विचरण के साथ एक सामान्य वितरण से लिया जाता है , के नमूने वितरण ( n - 1 ) रों 2 / σ 2 है स्वतंत्रता के एन -1 डिग्री के साथ ची-स्क्वायर वितरण।$\sigma^2$$(n-1)s^2/\sigma^2$ "... आपकी दूसरी टिप्पणी में प्रश्न का उत्तर भी गलत होगा - जब तक, मुझे लगता है, किसी ने दिखाया है कि विंग की लंबाई सामान्य रूप से वितरित की जाती है। (यह सच होने का दावा करने के लिए क्या आधार हो सकता है?)

— ग्लेन_ब -राइनेट मोनिका

तो चलो मान लेते हैं पंख सामान्य रूप से, वितरित कर रहे हैं की तो नमूना वितरण करते हैं ची-चुकता वितरित किया जाएगा। ऐसा क्यों है? $(n-1)s^2/\sigma^2$

— रेमी .b

आप जानते हैं कि के वर्गों की राशि कर रहे हैं आईआईडी N (0,1) यादृच्छिक चर के साथ ची-चुकता है कश्मीर df? या वह हिस्सा है जिसका आप प्रमाण चाहते हैं? $k$$k$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 1

[मैं आपके सवाल का आप कर रहे हैं तथ्य यह है कि अगर के रूप में स्वीकार करने के लिए खुशी है कि में हुई चर्चाओं से मान लेंगे स्वतंत्र हूबहू वितरित कर रहे हैं एन ( 0 , 1 ) यादृच्छिक परिवर्तनीय तो Σ k मैं = 1 Z 2 मैं ~ χ 2 कश्मीर ।]$Z_i, i=1,2,\ldots,k$$N(0,1)$$\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k$

औपचारिक रूप से, आपको कोचरन के प्रमेय के परिणाम की आवश्यकता है । (हालांकि इसे अन्य तरीकों से दिखाया जा सकता है)

औपचारिक रूप से कम, इस बात पर विचार करें कि यदि हम जनसंख्या का मतलब जानते हैं, और इसके बारे में विचरण का अनुमान लगाते हैं (नमूना माध्य के बारे में): , तोएस 2 0 /σ2=$s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ , (जेडमैं=(एक्समैं-μ)/σ) जो किया जाएगा$s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2$$Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$ बार एकχ 2 n यादृच्छिक चर।$\frac{1}{n}$$\chi^2_n$

तथ्य यह है कि नमूना मतलब प्रयोग किया जाता है, जनसंख्या माध्य के बजाय ( ) बनाता है विचलन छोटे के वर्गों का योग है, लेकिन अभी इस तरह से है कि Σ n मैं = 1 ( जेड ∗ i ) $Z_i^*=(X_i-\bar{X})/\sigma$ (जिसके बारे में, कोचरन के प्रमेय देखें)। इसलिए, बजाय एन एस 2 0 / σ 2 ~ χ 2 n हम अब है ( n - 1 ) रों 2 / σ 2 ~ χ 2 n - 1 ।$\sum_{i=1}^{n}(Z_i^*)^2\,\sim\chi^2_{n-1}$$ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$$(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$

Comments

क्या आप इस तथ्य पर अन्य प्रमाणों के लिए संदर्भ दे सकते हैं? मैं वास्तव में इसे जानना चाहता हूं।

— हेनरी.एल।

सबूत के बाद आप कौन से कई तथ्य हैं?

— Glen_b -Reinstate मोनिका

@ ग्लेन_ब इस तथ्य को साबित करने के लिए कोचरन-मैडो सिद्धांत के अलावा केवल दो तरीके हैं कि नमूना विचरण और नमूना माध्य सांख्यिकीय रूप से ची-वर्ग वितरण के साथ स्वतंत्र हैं: (1) शेफ़े के विहित विहित आधार (स्केफ़े, 1959) (2) कमुलेंट विधियाँ (या mgfs, जो इसके बराबर है)। यदि आप अधिक विधियां जानते हैं, तो मैं वास्तव में उन्हें जानना चाहता हूं।

— हेनरी.एल.

एक और टिप्पणी जो मैं जोड़ना चाहता हूं वह यह है कि पूरी तरह से नमूना माध्य का उपयोग किया जाता है, लेकिन कभी-कभी हम निश्चित विचरण से स्वतंत्र एक निश्चित शक्ति चाहते हैं, इस विधि को स्टीन के दो-चरण विधि (1949) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

— हेनरी.एल.एन.

इस उत्तर के बारे में मुझे जो नहीं मिलता, वह है $\bar X$ सभी से स्वतंत्र नहीं है $X_i's$, तो हम कोचरन की प्रमेय कैसे लागू कर सकते हैं? यह कहता है कि इन सभी को स्वतंत्र होने की आवश्यकता है।

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