ची-चुकता परीक्षण और ची-चुकता वितरण को समझना

Question

मैं ची-स्क्वेर्ड टेस्ट के पीछे के तर्क को समझने की कोशिश कर रहा हूं।

Chi-squared परीक्षण । के बाद n- परिकल्पना को अस्वीकार करने या न करने के लिए एक p.value का पता लगाने के लिए एक ची-चुकता वितरण की तुलना में है। : हम अपने अपेक्षित मूल्यों को बनाने के लिए उपयोग किए जाने वाले वितरण से प्राप्त टिप्पणियों का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, हम परीक्षण कर सकते हैं यदि प्राप्त करने की संभावना द्वारा दी गई है जैसा कि हम उम्मीद करते हैं। तो हम 100 बार फ्लिप करते हैं और और । हम अपनी खोज की तुलना अपेक्षा के अनुसार करना चाहते हैं ( )। हम एक द्विपद वितरण का उपयोग कर सकते हैं लेकिन यह प्रश्न का बिंदु नहीं है ... प्रश्न यह है:$\chi ^2 = \sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$$\chi ^2$$H_0$head$p$$n_H$ Heads$1-n_H$ tails$100 \cdot p$

क्या आप कृपया बता सकते हैं कि क्यों, अशक्त परिकल्पना के तहत, एक चि-वर्ग वितरण का अनुसरण करता है?$\sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$

सभी मैं ची-वर्ग वितरण के बारे में पता डिग्री के ची-वर्ग वितरण वह यह है कि का योग है मानक सामान्य बंटन चुकता।$k$$k$

Comments

यह नहीं है: यह एक सन्निकटन है। (बहुत) इसके बारे में और अधिक आँकड़े में दिखाई देता है ।stackexchange.com / questions / 16921/… ।

— whuber

यह कार्ल पियर्सन और ची-स्क्वेर्ड टेस्ट, (प्लैकेट, 1983) {pdf}

— अवराम

क्यों ची-वर्ग वितरण फिट परीक्षण की भलाई के लिए प्रयोग किया जाता है के बारे में एक संबंधित सवाल है, हालांकि नहीं काफी डुप्लिकेट: stats.stackexchange.com/questions/125312/...

— silverfish

Answer 1

हम एक द्विपद वितरण का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन यह प्रश्न का बिंदु नहीं है ...

फिर भी, यह आपके वास्तविक प्रश्न के लिए भी हमारा शुरुआती बिंदु है। मैं इसे अनौपचारिक रूप से कवर करूंगा।

आइए अधिक द्विपदीय मामले के साथ विचार करें:

$Y\sim \text{Bin}(n,p)$

मान लें और ऐसी है कि कर रहे हैं अच्छी तरह से एक ही मतलब और विचरण (कुछ विशिष्ट आवश्यकताओं की तुलना में कर रहे हैं के साथ एक सामान्य करके लगाया है छोटे नहीं है, या कि छोटा नह) ं है।$n$$p$$Y$$\min(np,n(1-p))$$np(1-p)$

तब लगभग । यहाँ सफलताओं की संख्या है।$(Y-E(Y))^2/\text{Var}(Y)$$\sim\chi^2_1$$Y$

हमारे पास और ।$E(Y) = np$$\text{Var}(Y)=np(1-p)$

(परीक्षण के मामले में, ज्ञात है और तहत निर्दिष्ट है । हम कोई अनुमान नहीं लगाते हैं।)$n$$p$$H_0$

तो लगभग ।$(Y-np)^2/np(1-p)$$\sim\chi^2_1$

ध्यान दें कि । यह भी ध्यान दें कि ।$(Y-np)^2 = [(n-Y)-n(1-p)]^2$$\frac{1}{p} + \frac{1}{1-p} = \frac{1}{p(1-p)}$

अत:$\frac{(Y-np)^2}{np(1-p)} = \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{(Y-np)^2}{n(1-p)}\\ \quad= \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{[(n-Y)-n(1-p)]^2}{n(1-p)} \\ \quad= \frac{(O_S-E_S)^2}{E_S}+\frac{(O_F-E_F)^2}{E_F}$

जो द्विपद मामले के लिए सिर्फ ची-स्क्वायर आँकड़ा है।

तो उस स्थिति में ची-स्क्वायर आँकड़ा एक (लगभग) मानक-सामान्य यादृच्छिक चर के वर्ग का वितरण होना चाहिए।