एक स्विच नेटवर्क समस्या की जटिलता

Question

एक स्विच नेटवर्क (नाम का आविष्कार किया गया है) तीन प्रकार के नोड्स के साथ बनाया गया है:

• एक प्रारंभ नोड
• एक अंत नोड
• एक या अधिक स्विच नोड्स

स्विच नोड में 3 निकास हैं: बाएं, ऊपर, दाएं; दो राज्यों एल और आर और एक लक्ष्य राज्य टीएल या टीआर है । प्रत्येक स्विच निम्नलिखित नियमों के साथ किया जा सकता है:

• हमेशा बाएं से ऊपर तक; स्विच की स्थिति L में बदल जाती है
• हमेशा राइट से अप तक; आर के लिए स्विच परिवर्तन के लिए राज्य
• ऊपर से लेफ्ट तक केवल अगर स्विच राज्य एल में है; राज्य नहीं बदलता है
• ऊपर से दाएं अगर स्विच राज्य में है आर; राज्य नहीं बदलता है
• कभी लेफ्ट से राइट या राइट से लेफ्ट

चित्रा 1. लक्ष्य राज्य टीआर के साथ राज्य एल में नोड स्विच करें

ये गुण भी धारण करते हैं:

• स्विच के निकास के 0, 1 या 2 को अलग किया जा सकता है (दूसरे स्विच से जुड़ा नहीं);
• एक पथ अपने राज्य को बदलने के लिए एक स्विच को "स्पर्श" कर सकता है : बाएं से प्रवेश करें और बाएं से बाहर निकलें या दाएं से प्रवेश करें और दाएं से बाहर निकलें;
• किसी स्विच के छीने जाने / स्पर्श किए जाने की संख्या पर कोई प्रतिबंध नहीं है।

निर्णय की समस्या है: "क्या प्रारंभ नोड से अंत नोड तक एक रास्ता मौजूद है कि स्विच के सभी अंतिम राज्य इसी लक्ष्य राज्य से मेल खाते हैं?"

जाहिर है, सभी स्विच जो शुरू में अपने लक्ष्य की स्थिति में नहीं हैं, उन्हें कम से कम एक बार ट्रेस किया जाना चाहिए (या छुआ हुआ);

यह एक तुच्छ नेटवर्क का त्वरित ड्रा है (एक्सेल के साथ बनाया गया है ... मैं एक बेहतर बनाऊंगा):

एक तुच्छ समाधान है:

S -> 1 -> 2 -> 3 -> 2 -> E -> 1 -> E

संपादित करें 2:

1. क्या यह समस्या ज्ञात है? --- - आपने मुझे हर्न की थीसिस (बाधा रेखांकन) का अच्छा संदर्भ दिया ;

समस्या ; मेरे प्रमाण का एक स्केच पोस्ट करने से पहले कि यह एनपी में है, मुझे एक त्रुटि मिली; इसलिए खुले प्रश्न फिर से हैं:$NPSPACE = PSPACE$

२। क्या यह ?$\mathsf{NP}$

३। क्या समस्या का कोई मौका है ?$\mathsf{NP\text{-}complete}$

Comments

मैंने सुझाए गए पेपर को एक त्वरित रूप दिया (अब मैं इसे और अधिक ध्यान से पढ़ूंगा), लेकिन मेरी समस्या अलग-अलग है: स्विच अपनी स्थिति को उस दिशा के अनुसार बदलते हैं जिसमें वे ट्रैवर्स किए जाते हैं। लेख में स्विच "निश्चित" हैं और (सरल) समस्याएं इस प्रकार की हैं: "क्या एक स्विच कॉन्फ़िगरेशन मौजूद है, जैसे कि ..."।

— मार्जियो डी बियासी

@ वीआर: यह डेमियन और हर्न के विवश तर्क-संबंधी खेलों से निकटता से लगता है (मुझे लगता है कि हर्न की थीसिस के समूह ।csail.mit.edu/mac/users/bob/hearn- thesis- final.pdf इस काम का बहुत अच्छा लेखन है )। मुझे आश्चर्य है कि अगर कोई अपनी तकनीकों का उपयोग करके आपकी समस्या की जटिलता को हल कर सकता है। ऐसा लगता है कि यह NEXP- पूर्ण हो सकता है ...

— यहोशू Grochow

मैं अभी Hearn / Demaine के काम को इंगित करने जा रहा था - ध्यान दें कि यह अब एक पुस्तक के रूप में भी उपलब्ध है, "गेम्स, पज़ल और कम्प्यूटेशन" (ISBN 978-1-56881-322-6), और यह निश्चित रूप से जर्मे को लगता है सवाल।

— स्टीवन स्टडनिक

@ केव: मेरी विशेषज्ञता के स्तर के लिए यह NPSPACE = PSPACE में तुच्छ है। यह "गिनती" करने में सक्षम नहीं लगता है ; लेकिन मुझे कोई आसान सबूत नहीं दिखाई देता है कि यदि कोई समाधान मौजूद है, तो एक और समाधान मौजूद है जिसमें हर स्विच का पता लगाया जाता है / केवल एक निरंतर संख्या को छुआ जाता है।

— Marzio De Biasi

बस एक साइड नोट: इस पहेली के एक सरल संस्करण को डिलनबर्ग और नेल्सन ने भी माना था और यह उनके रिसर्च नोट परिधि खोज

— कार्लोस लिनारेस लोपेज़

Answer 1

3-सैट से कमी से समस्या कम से कम एनपी-हार्ड है।

पहले प्रतिबंध से निम्नलिखित निर्देशित ग्राफ के प्रारंभ से बाहर निकलने का रास्ता खोजने की समस्या पर विचार करें कि कोई भी पथ एक खंड के सभी तीन (वर्ग) नोड्स पर नहीं जा सकता है:

$(X1 \lor X2 \lor X3)\land(X1\lor\neg X2\lor X4)$

हम इन ग्राफ्स को एक स्विच नेटवर्क में बदलते हैं। इसके लिए हम तीन गैजेट्स का उपयोग करते हैं:

1. प्रत्येक सर्कल नोड और द्विदिश किनारे स्विच के बीच कनेक्शन बनाते हुए, एक वायर बन जाता है ।
2. हर निर्देशित किनारे एक हो जाता है एक-तरफ़ा एक भी स्विच से मिलकर गैजेट (नीचे देखें)।
3. प्रत्येक वर्ग नोड उन तीन स्विचों में से एक का प्रतिनिधित्व करता है जो क्लॉज़ गैजेट का हिस्सा हैं (नीचे देखें)।

निम्नलिखित दृष्टांतों में, स्विच को दो आने वाले तीरों के रूप में तैयार किया जाता है, जिनमें से एक धराशायी (अक्षम) है। लक्ष्य दिशा एक काले घेरे के साथ खींची गई है (जैसे कि ठोस तीर को अंततः चक्र के किनारे होना चाहिए)।

टिप्पणी: हम गैजेट के बाहर निकलने से ग्राफ के निकास को अलग करने के लिए बोल्डफेस का उपयोग करेंगे ।

के लिए एक-तरफ़ा गैजेट, प्रवेश द्वार निकास से नहीं पहुँचा जा सकता बी जब तक बी से पहुँच गया है एक । के लिए खण्ड$A$$B$$B$$A$$X1$$X2$$X3$$X1'$$X2'$$X3'$

याद रखें कि मूल ग्राफ़ के लिए, एक ऐसा रास्ता ढूंढना है जो बाहर निकले और किसी भी खंड के सभी तीन वर्ग नोड्स का दौरा न करें-एनपी-पूर्ण था। अब स्विच के लक्ष्य पदों की चिंता किए बिना रूपांतरित ग्राफ़ के बाहर निकलने की समस्या पर विचार करें ।

ध्यान रखें कि कोई भी पथ जो मूल ग्राफ़ समस्या का हल है, वह भी रूपांतरित ग्राफ़ के लिए एक समाधान है। इसलिए मान लें कि रूपांतरित ग्राफ़ के लिए एक पथ मूल ग्राफ़ के लिए कोई समाधान नहीं है। यह दो मामलों में हो सकता है:

1. $B$$A$
2. एक पथ कुछ खंड गैजेट के सभी तीन रास्तों का पता लगाता है ।

पहले मामले में, एक-तरफ़ा गैजेट को पहले इच्छित दिशा में ट्रेस किया गया होगा, जिस स्थिति में पथ के साथ-साथ पहली बार में इसे ट्रेस करने से बचा जा सकता है।

तो दूसरे मामले पर विचार करें, जहां पथ कुछ खंड गैजेट के सभी तीन स्विच का पता लगाता है । फिर उस गैजेट में उसके सभी तीन स्विच फ़्लिप होंगे (नीचे देखें)। यह वह जगह है जहाँ हम लक्ष्य की स्थिति का उपयोग करते हैं। ध्यान दें कि क्लॉज़ गैजेट की ग्रे बैकबोन को अब नहीं पहुँचा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि स्विच को अब उनके लक्ष्य स्थान पर निर्देशित नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, हम कहते हैं कि यह क्लॉज़ गैजेट अप्राप्य है।

यह दर्शाता है कि मूल ग्राफ़ समस्या के किसी भी समाधान के लिए, रूपांतरित ग्राफ़ के स्विच को अपने लक्ष्य स्थान पर रखा जा सकता है। इसके लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि एक्ज़िट तार केवल तभी पहुंच सकता है जब कोई समाधान होता है, या कुछ क्लॉज़ गैजेट अप्राप्य हो जाता है।

स्विच को उनके लक्ष्य स्थान पर रखने के लिए, हम अब एक्ज़िट तार से हर मौजूदा वन-वे गैजेट के प्रवेश द्वार के साथ-साथ सभी क्लॉज़ गैजेट्स के तीन निकास तारों से अतिरिक्त वन-वे गैजेट जोड़ सकते हैं । फिर, एक बार जब टोकन बाहर निकलता है , तो सभी अतिरिक्त वन-वे गैजेट्स का पता लगाया जा सकता है (और इस तरह उन्हें अपनी लक्षित स्थिति में रखा जाता है), और शेष स्विच को भी अपने लक्ष्य स्थान पर रखें (जब तक कि कोई अप्राप्य खंड न हो)। अंत में, टोकन एक्ज़िट में वापस आ सकता है और पहेली हल हो जाती है।

हमें टिप्पणी करनी चाहिए कि खंड गैजेट्स को केवल तब ही पुनर्प्राप्त किया जा सकता है जब एक अनट्रैक्ड निकास से प्रवेश किया जाता है; और क्लाज गैजेट्स और अगले वैरिएबल के बीच रखे गए वन-वे गैजेट्स के कारण , एग्जिट वायर के पहुंचने तक ऐसा नहीं हो सकता ।

इसलिए, स्विच नेटवर्क समस्या NP- हार्ड है।

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यह अभी भी स्पष्ट नहीं है कि क्या समस्या एनपी या पीएसपीएसी-हार्ड में है। प्लानर स्विच नेटवर्क का निर्माण करने वाली एनपी-कठोरता में कमी से सोकोबन के प्रतिबंधित वेरिएंट के लिए महान प्रभाव होंगे, अर्थात् सभी स्विच नीचे सोकोबन गैजेट के बराबर हैं।