अधिकतम स्वतंत्र सेट पर एक वादा किया ऊपरी सीमा के साथ अनुमानित ग्राफ़ रंग

Question

मेरी नौकरी में निम्न समस्या उत्पन्न होती है:

क्या एक ज्ञात एल्गोरिथ्म है, जो क्रम 65 के एक स्वतंत्र सेट के बिना एक ग्राफ के रंगीन संख्या का अनुमान लगाता है? (इसलिए अल्फा (G) <= 64 ज्ञात है! V | / 64 एक तुच्छ निचला है; V | एक तुच्छ ऊपरी बाध्य है। लेकिन क्या इस विशेष स्थिति के तहत बेहतर सिद्ध अनुमान हैं?)

क्या होगा अगर हम भिन्नात्मक क्रोमेटिक संख्या में आराम करते हैं? और औसत मामलों में "अच्छा" चलने का समय?

Comments

मुझे लगता है कि यह इस साइट के लिए एक उत्कृष्ट सवाल है; चलो आशा करते हैं कि किसी के पास एक अच्छा जवाब है।

— जुका सूमेला

@ टायसनविल्स: मुझे लगता है कि सवाल पूरी तरह से स्पष्ट है। टिप्पणी को भूल जाइए, प्रश्न को पुनः पढ़िए। :)

— जुका सूमेला

मजेदार बात यह है, यह स्थिति गारंटी देती है कि इष्टतम के लिए तुच्छ सन्निकटन 64-सन्निकटन है। मुझे आश्चर्य है कि क्या सिर्फ एक छोटी स्वतंत्रता संख्या का वादा एक बेहतर एल्गोरिदम दे सकता है।

— साशो निकोलोव

क्या समस्या व्यावहारिक अनुप्रयोग से प्रेरित है? यदि ऐसा है, तो किसी को दिलचस्प उत्तराधिकार पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए जो अच्छा करने जा रहे हैं - तुच्छ 64 सन्निकटन में सुधार करना उतना दिलचस्प नहीं है।

— चन्द्र चकुरी

वैसे, यदि आप जल्दी से भिन्नात्मक गुणांक की अच्छी संख्याओं का पता लगाना चाहते हैं, तो यह जल्दी से अधिकतम वजन के स्वतंत्र सेटों के अच्छे अनुमानों को खोजने के लिए पर्याप्त है। इसलिए इस एक नया सवाल का सुझाव: अगर हम जानते हैं कि सबसे बड़ी स्वतंत्र समूह का आकार और 64 है, वहाँ एक एल्गोरिथ्म है कि पाता है अच्छा अधिकतम वजन स्वतंत्र सेट का अनुमान बहुत तुच्छ की तुलना में तेजी टाइम एल्गोरिथ्म? $O(n^{64})$

— जुल्का सुमेला

Answer 1

इनपुट ग्राफ के पूरक में अधिकतम मिलान की गणना करें। हर बेजोड़ नोड किसी भी रंग में एक अलग रंग वर्ग में होना चाहिए। तो: यदि आपको कम से कम cn मिलान किए गए किनारे मिलते हैं, तो मिलान स्वयं आपको ऊपरी (1-c) n के ऊपरी हिस्से और 64 (1-c) के एक सन्निकटन अनुपात के साथ एक रंग देता है। यदि आपको कम से कम cn किनारों नहीं मिलते हैं, तो आपको निम्न रंग (1 - 2c) n रंग और 1 / 1-2 (1-2c) का अनुमानित अनुपात मिलता है। समीकरण को हल करने में 64 (1-c) = 1 / (1-2c) एक सन्निकटन अनुपात 32 से थोड़ा बड़ा होता है; सटीक मूल्य के लिए सैशो निकोलोव की टिप्पणी देखें।

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छोटा correcion: पहले मामले में ऊपरी बाउंड (1-c) n है और निचला बाउंड n / 64 है, इसलिए लगभग अनुपात (1-c) 64 है। जब से हल करेंगे (1-ग) 64 = 1 / (1-2c), तो आपको मिल और सन्निकटन अनुपात≈32। Α(G) केलिएkका ऊपरी बाउंड दिया गया लगता है, यह विधि एक सन्निकटन अनुपात देती है जो k पर जाता है$c = 3/16 (4-\sqrt{2}) \approx 0.5$$\approx 32$$k$$\alpha(G)$ रूप मेंkअनंत तक जाता है। $\frac{k}{2}$$k$

— साशो निकोलोव

Answer 2

$H$$H$

http://en.wikipedia.org/wiki/Colouring_number#Algorithms

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मामूली सुधार: यह सच नहीं है कि रंग संख्या एक लालची रंग में कम से कम रंगों के बराबर होती है। यदि आप एक इष्टतम रंग में उनके रंगों के अनुसार कोने का आदेश देते हैं (अतिरिक्त संपत्ति के साथ कि पहला रंग वर्ग अधिकतम है, और दूसरा शेष ग्राफ़ आदि में अधिकतम है) तो लालची एल्गोरिथ्म में वही इष्टतम रंग मिलेगा।

— डेविड एपपस्टीन