प्रकार सिद्धांत में आगमनात्मक परिभाषाओं में भविष्यवाणी की भूमिका क्या है?

Question

हम अक्सर एक वस्तु _ को परिभाषित करना चाहते हैं कुछ अनुमान नियमों के अनुसार। वे नियम उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन F को दर्शाते हैं, जो कि एकरस होने पर, एक न्यूनतम निश्चित बिंदु μ F उत्पन्न करता है। हम ले एक : = μ एफ की "आगमनात्मक परिभाषा" होने के लिए एक । इसके अलावा, एफ की एकरसताहमें यह निर्धारित करने के लिए "इंडक्शन के सिद्धांत" के साथ तर्क करने की अनुमति देती है जब एक सेट में ए (यानी जब एक संपत्ति सार्वभौमिक रूप से ए पर होती है )।$A \in U$$F$$\mu F$$A := \mu F$$A$$F$$A$$A$

Coq में एक लिखने के लिए इस मेल खाती है की परिभाषा एक स्पष्ट परिचय शर्तों से। हालांकि यह परिभाषा किसी विशेष फ़ंक्शन F को दर्शाती है , लेकिन यह फ़ंक्शन आवश्यक रूप से मोनोटोनिक नहीं है। Coq इसलिए परिभाषा की "अच्छी तरह से गठन" की गारंटी के लिए कुछ वाक्यविन्यास चेक नियुक्त करता है। कुछ सन्निकटन के लिए, यह परिचय पदों के प्रकारों में नकारात्मक स्थितियों में ए की घटनाओं को अस्वीकार करता है ।$\mathtt{Inductive}$$A$$F$$A$

(यदि इस बिंदु तक मेरी समझ त्रुटिपूर्ण है, तो कृपया मुझे सुधारें!)

सबसे पहले, कोक के संदर्भ में कुछ प्रश्न:

1) Coq में वाक्यात्मक जांच केवल यह सुनिश्चित करें कि की परिभाषा की सेवा करता है है प्रेडीकेटिव ? (यदि ऐसा है, तो क्या अप्रतिस्पर्धीता एकमात्र तरीका है जिसमें परिभाषा को बीमार परिभाषित किया जाएगा?) या यह अखंडता के लिए जाँच कर रहा है? (इसके विपरीत, क्या गैर-अखंडता इसे मार सकती है?)$A$

2) क्या की ऐसी नकारात्मक घटना का अर्थ है कि A की परिभाषा अनुत्पादक / गैर-मोनोटोनिक है? या Coq बस यह सत्यापित करने में असमर्थ है कि यह उस मामले में अच्छी तरह से परिभाषित है?$A$$A$

और आम तौर पर:

3) उस परिभाषा के प्रेरक कार्य की एक प्रेरक परिभाषा और एकरसता की भविष्यवाणी के बीच क्या संबंध है? क्या वे एक ही सिक्के के दो पहलू हैं? क्या वे असंबंधित हैं? अनौपचारिक रूप से, कौन सा अधिक मायने रखता है?

Answer 1

नहीं, इस मामले में, भविष्यवाणी और एकरसता निकटता से संबंधित नहीं हैं।

Coq / Adga में सकारात्मकता की जाँच यह सुनिश्चित करने के लिए कार्य करती है कि आप एक मोनोटोनिक चीज़ का कम से कम निश्चित बिंदु, मोटे तौर पर ले रहे हैं।

यहां बताया गया है कि जाली और मोनोटोन ऑपरेटरों के संदर्भ में आगमनात्मक प्रकारों के बारे में कैसे सोचा जाए। स्मरण करो कि नॉस्टर-तारस्की प्रमेय कहता है कि एक पूर्ण जाली , प्रत्येक मोनोटोन ऑपरेटर f : L → L में कम से कम निश्चित बिंदु μ ( f ) है । अगला, हम एक प्रकार के सिद्धांत में प्रकारों के बारे में सोच सकते हैं जो कि अस्थिरता के तहत एक जाली का निर्माण करते हैं। अर्थात, S का प्रकार T से नीचे है यदि S का सत्य T से मेल खाता है । अब, हम क्या करना चाहते हैं एक मोनोटोन ऑपरेटर एफ को प्रकारों पर ले जाना है , और इस ऑपरेटर के कम से कम निश्चित बिंदु की व्याख्या प्राप्त करने के लिए नस्टर-टार्स्की का उपयोग करना है।$L$$f : L \to L$$\mu(f)$$S$$T$$S$$T$$F$ । $\mu(F)$

हालाँकि, टाइप थ्योरी के प्रकार केवल एक जाली नहीं हैं: वे एक श्रेणी बनाते हैं। है यही कारण है, दो प्रकार दिया और टी , वहाँ संभवतः हैं कई के लिए तरीके एस नीचे होने टी प्रत्येक सबूत के लिए एक ही रास्ता के साथ, ई : एस → टी । तो एक प्रकार के ऑपरेटर एफ को भी इन सबूतों पर कुछ समझदार करना होगा। नीरसता का उपयुक्त सामान्यीकरण है फफूंदी । यही है, हम चाहते हैं कि एफ का प्रकारों पर एक ऑपरेटर हो, और सबूतों पर भी कार्रवाई हो, जैसे कि यदि ई : एस → टी , तो एफ $S$$T$$S$$T$$e : S \to T$$F$$F$$e : S \to T$ ।$F(e) : F(S) \to F(T)$

अब, फफूंदी को सोम्स और उत्पादों द्वारा संरक्षित किया जाता है (यानी, यदि और जी प्रकार पर एंडोफुन्क्टर हैं, तो एफ + जी और एफ × जी (एक्टिंग पॉइंटवाइज़) भी प्रकारों पर फंक्शनल हैं (यह मानते हुए कि हमारे बीजगणित में हम उत्पाद और उत्पाद हैं) प्रकार)। हालाँकि, यह फ़ंक्शन स्पेस द्वारा संरक्षित नहीं है, चूंकि घातीय द्विभाजक एफ → जी इसके बाएं तर्क में विपरीत है। इसलिए जब आप एक आगमनात्मक प्रकार की परिभाषा लिखते हैं, तो आप कम से कम निश्चित बिंदु लेने के लिए एक फ़नकार को परिभाषित कर रहे हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह वास्तव में एक फ़नकार है, आपको फ़ंक्शन रिक्त स्थान के बाईं ओर पुनरावर्ती पैरामीटर की घटनाओं को नियंत्रित करने की आवश्यकता है --- इसलिए सकारात्मकता की जाँच करें।$F$$G$$F+G$$F\times G$$F \to G$

अनिश्चितता (सिस्टम एफ के अर्थ में) को आमतौर पर टाला जाता है, क्योंकि यह एक सिद्धांत है जो आपको शास्त्रीय तर्क और सेट-सिद्धांत मॉडल के बीच चयन करने के लिए मजबूर करता है। यदि आपके पास एफ-स्टाइल इंडेक्सिंग है, तो आप शास्त्रीय सेट सिद्धांत के प्रकारों की व्याख्या नहीं कर सकते। (रेनॉल्ड्स के प्रसिद्ध "पोलिमोर्फ़िज्म इज नॉट सेट-थियोरेटिक" देखें।)

स्पष्ट रूप से, एफ-शैली की प्रतिरूपकता कहती है कि प्रकार और शर्तों की श्रेणी एक छोटी पूरी श्रेणी बनाती है (यानी, होम्स और ऑब्जेक्ट दोनों सेट हैं, और सभी छोटे आरेखों की सीमाएं मौजूद हैं)। शास्त्रीय रूप से यह एक श्रेणी को एक स्थिति के लिए मजबूर करता है। कई रचनाकार रचनात्मक हैं क्योंकि वे चाहते हैं कि उनके सिद्धांत केवल शास्त्रीय तर्क की तुलना में अधिक प्रणालियों में पकड़ रखें , और इसलिए वे कुछ भी साबित नहीं करना चाहते हैं जो कि शास्त्रीय रूप से गलत होगा। इसलिए वे impredicative बहुरूपता का सहारा हैं।

हालांकि, बहुरूपता आपको कई स्थितियों को कहने देता है जो शास्त्रीय रूप से आपके प्रकार के सिद्धांत के लिए "बड़े" हैं - और सकारात्मकता उनमें से एक है! यदि आप एक बहुरूपिक शब्द का उत्पादन कर सकते हैं, तो एक प्रकार का ऑपरेटर फंक्शनल है:$F$

$$\mathsf{Fmap} : \forall \alpha, \beta.\; (\alpha \to \beta) \to (F(\alpha) \to F(\beta))$$

देखें कि यह किस तरह से फंक्शनलिटी से मेल खाता है? IMO, यह Coq में एक बहुत अच्छा विकल्प होगा, क्योंकि यह आपको सामान्य प्रोग्रामिंग को और अधिक आसानी से करने देगा। सकारात्मकता जांच की वाक्य रचना प्रकृति जेनेरिक प्रोग्रामिंग के लिए एक बड़ी बाधा है, और मैं अधिक लचीली कार्यात्मक कार्यक्रमों के लिए शास्त्रीय स्वयंसिद्धों की संभावना का व्यापार करने में खुशी होगी।

EDIT: आप जो सवाल प्रोप और सेट के बीच के अंतर के बारे में पूछ रहे हैं, वह इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि Coq डेवलपर्स आपको ऐसा करने के लिए मजबूर किए बिना, यदि आप चाहते हैं तो भोले सेट-सिद्धांतिक शब्दों में Coq प्रमेयों के बारे में सोचने की अनुमति देना चाहते हैं । तकनीकी रूप से, वे Prop और Set को विभाजित करते हैं, और फिर Prop की कम्प्यूटेशनल सामग्री के आधार पर सेट को प्रतिबंधित करते हैं।

तो आप जेडएफसी में सत्य मूल्यों के रूप में प्रोप की व्याख्या कर सकते हैं, जो कि सच और गलत हैं। इस दुनिया में, प्रस्ताव के सभी सबूत समान हैं, और इसलिए स्पष्ट रूप से आपको एक प्रस्ताव के प्रमाण पर शाखा करने में सक्षम नहीं होना चाहिए। तो प्रॉप के साक्ष्यों की कम्प्यूटेशनल सामग्री के आधार पर सेट पर प्रतिबंध पूरी तरह से समझदार है। इसके अलावा, 2-तत्व बूलियन जाली स्पष्ट रूप से एक पूर्ण जाली है, इसलिए इसे मनमाना सेट-वैल्यू मौजूद होने के बाद से अनुक्रमणिका अनुक्रमण का समर्थन करना चाहिए। सेट्स पर विधेय प्रतिबंध इस तथ्य (ऊपर उल्लिखित) से उत्पन्न होता है कि एफ-स्टाइल इंडेक्सिंग शास्त्रीय सेट-थियेट्रिक मॉडल में पतित है।

कोक के पास अन्य मॉडल हैं (यह रचनात्मक तर्क है!) लेकिन मुद्दा यह है कि शेल्फ से यह कभी भी कुछ भी साबित नहीं करेगा कि एक शास्त्रीय गणितज्ञ द्वारा हैरान किया जाएगा।

Comments

आपकी प्रतिक्रिया के लिए धन्यवाद, नील। "आगमनात्मक परिभाषा" की आपकी परिभाषा "प्रारंभिक -algebra" दृष्टिकोण से अधिक मेल खाती है : मोनोटोनिक फ़ंक्शन (जो प्रमाण और कम्प्यूटेशनल सामग्री के बारे में कुछ नहीं कहते हैं) के बजाय, हम स्वयं (अधिक सामान्य धारणा) फंक्शनलर्स के साथ चिंता करते हैं। इसलिए एकरसता की जाँच करने के बजाय, कोक वास्तव में मस्ती के लिए जाँच कर रहा है। हालांकि, अगर भविष्यवाणी में सवाल नहीं है, तो Co, P r o p p में परिभाषित वस्तुओं और S e t या T y p e में उन सकारात्मक-घटना-जांच के बीच अंतर क्यों करता है ? $F$$\mathrm{Prop}$$\mathrm{Set}$$\mathrm{Type}$

— स्कॉट किल्प्रिक

मैं आपके सवाल को नहीं समझता: Coq Inductive Blah : Prop := Foo : (Blah -> Blah) -> Blahको किसी और चीज़ से भी नफरत है?

— नील कृष्णस्वामी

आह, शायद मैं impredicativity से संबंधित एक और चेक के लिए सकारात्मकता जांच को गलत कर रहा हूं। पर विचार करें Inductive prop : Prop := prop_intro : Prop -> prop.बनाम Inductive set : Set := set_intro: Set -> set.। यदि वैधानिक परिभाषा से कोई चिंता नहीं है, तो यह भेद क्यों है?

— स्कॉट किलपैट्रिक

@ScottKilpatrick: यह वास्तव में एक अलग जाँच है, और (im) भविष्यवाणी के बारे में। अप्रभावी मजबूत सिग्मा-प्रकार गिरार्ड के विरोधाभास को एन्कोडिंग करने की अनुमति देते हैं, इसलिए एक डेटाटाइप कुछ ब्रह्मांड के सदस्य को कहते हैं Type@{i}, कम से कम एक बड़े ब्रह्मांड में रहना चाहिए Type@{i+1}।

— Blaisorblade

Answer 2

आगमनात्मक परिभाषाओं और impredicativity के बीच बहुत गहरा संबंध है, लेकिन मेरी समझ यह है कि आप जिस बारे में बात कर रहे हैं (im) भविष्यवाणी के संदर्भ में विशेष रूप से प्रासंगिक नहीं है और परीक्षण विशुद्ध रूप से एकरसता की गारंटी देने के लिए है, ताकि निश्चित बिंदु सिद्धांत हो सके लागू किया, अर्थात्, प्रेरण का सिद्धांत अच्छी तरह से परिभाषित है। (मैं इस बिंदु पर सही होने के लिए तैयार हूं।)

Coquand द्वारा इस वार्ता में impredicativity और आगमनात्मक परिभाषाओं के बीच संबंध का पता लगाया गया है । यह जी। टेकुटी द्वारा 50 के दशक के कुछ परिणामों पर वापस जाता है कि प्रेरक परिभाषाओं को प्रेरक परिभाषाओं में कम किया जा सकता है। किताब

• विश्लेषण के प्रतिपादक उपप्रणालियों का प्रमाण - डब्ल्यू। बुचोलज़, के। स्कुट द्वारा भौतिक विज्ञान 2 में मोनोग्राफ और पाठ्यपुस्तकें।

यदि आप इस पर अपना हाथ प्राप्त कर सकते हैं, तो विषय का अच्छा विश्लेषण करें। ये स्लाइड एक अवलोकन देती हैं।

Answer 3

नील द्वारा उत्कृष्ट व्याख्या को पूरा करने के लिए, impredicativity में एक "सॉफ्ट" अर्थ है: स्वयं के संदर्भ का उपयोग करके सेट या संग्रह की परिभाषा। उस अर्थ में:

Inductive Lam : Set :=
| Var : Nat -> Lam
| App : Lam -> Lam -> Lam
| Abs : (Lam -> Lam) -> Lam

यह एक प्रेरक परिभाषा है, क्योंकि यह एक आगमनात्मक प्रकार को परिभाषित करता है, एक फ़ंक्शन स्थान (Lam -> Lam) का उपयोग करके लाम जो संग्रह को संदर्भित करता है। इस स्थिति में, impredicativity हानिकारक है : झूठी साबित करने के लिए कैंटर के प्रमेय का उपयोग करना संभव है। वास्तव में यह impredicativity का एक ही ब्रांड है जो गणित के लिए एक सुसंगत नींव के रूप में भोले सेट थ्योरी को छूट देता है। इसलिए यह Coq में अस्वीकृत है। जैसा कि आप जानते हैं, एक अन्य प्रकार की प्रतिरूपकता की अनुमति है:

Definition Unit : Prop := forall X:Prop, X -> X

एक प्रस्ताव के रूप में यूनिट की परिभाषा उन सभी प्रस्तावों के संग्रह का संदर्भ देती है जिनमें से यह एक सदस्य है। हालांकि, कुछ कारणों से मेरे लिए अस्पष्ट है, यह impredicativity हानिकारक नहीं है क्योंकि यह ZFC में मौजूद है ( अबाधित समझ के रूप में ) जिसे असंगत नहीं माना जाता है।

निष्कर्ष में, परिभाषाओं में आगमनात्मक प्रकारों की नकारात्मक घटनाएं एक प्रकार की छाप है, लेकिन आमतौर पर जब सीओसी को एक छापात्मक ढांचे के रूप में बोलते हुए संदर्भित नहीं किया जाता है ।

Comments

मैं समझता हूं कि आप कह रहे हैं कि ZFC में अबाधित समझ है। लेकिन यह गलत लगता है - math.stackexchange.com/q/24507/79293 । -impredicative-setअपनी किताब में चर्चा करते समय चिप्पला ने इस पर चर्चा की : adam.chlipala.net/cpdt/html/Universes.html , और उन्मूलन पर कुछ प्रतिबंधों का उल्लेख करता है, लेकिन यह मेरे लिए भी अस्पष्ट है।

— ब्‍लॉसरब्‍लेड

$A$$\forall x\in B$$\exists x\in B$

आह, धन्यवाद! मैं यह भी देखता हूं कि उपरोक्त impredicativity ZFC में किस तरह मेल खाती है (हालांकि मैं जिस मैपिंग का उपयोग कर रहा हूं वह शायद बहुत भोला है)। क्या आप उत्तर में लिंक जोड़ सकते हैं?

— ब्लेसरॉब्लेड

दुर्भाग्य से यह Google को कठिन लगता है (या मैं सही कीवर्ड नहीं जानता)। क्या बुरा है, दोनों विकिपीडिया और नालाब "प्रतिबंधित समझ" (ZFC, en.wikipedia.org/wiki/Axiom_schema_of_specification में ) और "प्रतिबंधित / बाध्य अलगाव" (जो आप से जुड़ा हुआ है) के बीच अंतर करते हैं। Ncatlab.org/nlab/show/axiom+of+separation देखें । लेकिन यह सभी शब्दावली एक गलतफहमी की तरह लग रही है - मैं आमतौर पर कारण है कि "जुदाई ~ समझ", आप और लेखक mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=4492130 भी करते हैं।

— ब्लिसोरब्लेड

हो सकता है कि इस तरह की चर्चाओं के लिए सबसे अच्छा कीवर्ड "कंस्ट्रक्टिव सेट थ्योरी" हो, उदाहरण के लिए विकिपीडिया , या राथजेन का यह बहुत अच्छा लेख देखें।

— कोड़ी