कार्डिनैलिटी की भविष्यवाणी के साथ बंधे क्लिक्विडथ के ग्राफ पर एमएसओएल अनुकूलन समस्याएं

Question

सीएमएसओएल मोनाडिक सेकंड ऑर्डर लॉजिक की गिनती कर रहा है, यानी ग्राफ़ का एक तर्क जहां डोमेन वर्टीकल और किनारों का सेट है, वहाँ वर्टेक्स-वर्टेक्स आसन्नता और एज-वर्टेक्स घटना के लिए विधेय हैं, किनारों, वर्टीकल, एज सेट्स और वर्टेक्स की मात्रा का ठहराव है। सेट, और एक विधेय जो व्यक्त करता है कि क्या S का आकार n मोडुलो पी है ।$\textrm{Card}_{n,p}(S)$$S$$n$$p$

Courcelle के प्रसिद्ध प्रमेय कहा गया है कि अगर रेखांकन की संपत्ति है, CMSOL में व्यक्त तो हर ग्राफ के लिए जी ज्यादा से ज्यादा treewidth की कश्मीर इसे रैखिक समय है कि क्या में फैसला किया जा सकता है Π रखती है, बशर्ते कि के एक पेड़ के अपघटन जी इनपुट में दी गई है। प्रमेय के बाद के संस्करणों ने आवश्यकता को गिरा दिया कि एक पेड़ के अपघटन इनपुट में दिया गया है (क्योंकि किसी को बोडलेंडर के एल्गोरिथ्म के साथ गणना की जा सकती है ), और केवल निर्णय के बजाय अनुकूलन की अनुमति भी दी; यानी एक MSOL फॉर्मूला ϕ ( S ) दिए जाने पर हम सबसे बड़े या सबसे छोटे सेट S की भी गणना कर सकते हैं जो ϕ को संतुष्ट करता है$\Pi$$G$$k$$\Pi$$G$$\phi(S)$$S$ ।$\phi(S)$

मेरा प्रश्न सीमाबद्ध क्लिक्विडथ के ग्राफ के लिए कौरसल प्रमेय के अनुकूलन की चिंता करता है। एक समान प्रमेय यह कहते हुए होता है कि यदि आपके पास MSOL1 है, जो वर्टिकल, किनारों, वर्टेक्स सेटों पर परिमाणीकरण की अनुमति देता है, लेकिन एज सेट नहीं है , तो एक ग्राफ को cliquewidth k (दिए गए क्लिक-एक्सप्रेशन के साथ) दिया जाता है, प्रत्येक निश्चित के लिए यह तय किया जा सकता है चाहे ग्राफ रैखिक समय में जी संतुष्ट कुछ MSOL1 सूत्र φ ; सभी संदर्भ मैंने देखा है$G$$k$$k$$G$$\phi$

कोर्टेल , मैकॉस्की और रोटिक्स, कम्प्यूटिंग सिस्टम, 2000 के सिद्धांत द्वारा बाउंडेड क्लिक्स -चौड़ाई के ग्राफ़ पर रैखिक समय हल करने योग्य अनुकूलन समस्याएं ।

मैंने कागज को पढ़ने की कोशिश की है, लेकिन यह MSOL1 की सटीक परिभाषा के संबंध में आत्म-निहित नहीं है और इसे पढ़ने के लिए स्पष्ट रूप से कठिन है। FPT में ऑप्टिमाइज़ करने के लिए, ग्राफ़ के क्लिक्वैविथ द्वारा पैरामीटर को वास्तव में क्या करना है, इस संबंध में मेरे दो सवाल हैं, यदि इनपुट में कोई क्लिष्ट अभिव्यक्ति दी गई है।

• क्या MSOL1 को एक सेट मोड्यूलो के आकार की जांच के लिए कुछ संख्या में अनुमति देता है?$\textrm{Card}_{n,p}(S)$
• यह एक न्यूनतम / अधिकतम आकार सेट खोजने के लिए संभव है जो संतुष्ट एक MSOL1 सूत्र φ ( एस ) एफपीटी में cliquewidth, द्वारा parameterized जब अभिव्यक्ति दी जाती है?$S$$\phi(S)$

इन दोनों प्रश्नों के लिए मैं यह भी जानना चाहूंगा कि इन परिणामों का दावा करते समय सही संदर्भ क्या हैं। अग्रिम में धन्यवाद!

Comments

मैंने आपके कुछ लेख को संशोधित करने की कोशिश की, इसके बारे में खेद है। क्योंकि मुझे आपके प्रश्न में काफी दिलचस्पी है, लेकिन फिर भी संशोधन के बाद मुझे यकीन नहीं है कि अगर मैं आपको विचारों को सही ढंग से समझता हूं। तो, क्या आपका मतलब है कि आपको MSOL1 की सटीक परिभाषा, और विधेय की मौजूदगी और अनुकूलन समस्या की FPT आवश्यकता है?

— Hsien-Chih चांग। '

आदर्श रूप में मैं क्या सुनना पसंद करेंगे कि प्रत्येक तय करने के लिए है सूत्र φ ( एस ) है, जहां एस एक शीर्ष सेट चर और सूत्र है φ कार्ड शामिल है n , पी ( एस ) विधेय, वहाँ एक एल्गोरिथ्म जो दिया है एक ग्राफ जी और चौड़ाई कश्मीर के एक गुट अभिव्यक्ति, एक न्यूनतम आकार सेट की गणना एस जो संतुष्ट φ ( एस ) में च ( कश्मीर ) | वी ( जी ) | ओ $MSOL_1$$\phi(S)$$S$$\phi$$_{n,p}(S)$$S$$\phi(S)$ कुछ मनमाने ढंग से कार्य के लिएच(या आउटपुट है कि कोई सेटएससंतुष्टφ)। $f(k) |V(G)|^{O(1)}$$f$$S$$\phi$

— बार्ट जानसन

ब्रूनो कौरसेल की ड्राफ्ट बुक वॉल्यूम उपयोगी हो सकती है: "ग्राफ संरचना और मोनैडिक सेकंड-ऑर्डर लॉजिक, एक भाषा सिद्धांतवादी दृष्टिकोण" के तहत labri.fr/perso/courcell/ActSci.html देखें ।

— आंद्र सलाम

धन्यवाद; यह समस्या का कम से कम भाग 1) सुलझाता है, क्योंकि पुस्तक के पहले भाग में उनके थ्योरम 6.4 में लिखा है: सभी परिमित सेट K और L के शीर्ष और किनारे के लेबल के लिए, एक काउंटिंग MSOL1 फॉर्मूला की मॉडल-जाँच समस्या तय है। पैरामीटर क्लिक्यूविदथ (G) + आकार के पैरामीटर के संबंध में पैरामीटर क्यूबिक।

— बार्ट जानसन

Answer 1

कुछ और आसपास पूछने के बाद, ऐसा लगता है कि 1) और 2) के उत्तर दोनों हाँ हैं। LinEMSOL में एक सेट की कार्डिनैलिटी का अनुकूलन संभव है (जैसा कि मार्टिन लैकनर ने उल्लेख किया है); जैसा कि मुझे बताया गया है, कार्डिनैलिटी की भविष्यवाणी का अस्तित्व कोई समस्या नहीं है क्योंकि वे कुशलतापूर्वक परिमित-राज्य के पेड़ ऑटोमेटन द्वारा नियंत्रित किए जा सकते हैं, जो कि ऑन पार्स ट्री और माइहिल-नेरोड- से (मूल रूप से संदर्भित कागज की तुलना में अधिक स्पष्ट रूप से) का पालन करना चाहिए। टाइप किए गए रैंक-चौड़ाई के ग्राफ को संभालने के लिए टाइप टूल ।

Answer 2

http://www.labri.fr/perso/courcell/Textes1/BC-Makowsky-Rotics(2000).pdf (जो आपके द्वारा उल्लेखित कागज है लेकिन बेहतर पठनीय संस्करण है) LinEMSOL (परिभाषा 10) को परिभाषित करता है। LinEMSOL MSO1 अनुकूलन समस्याओं के लिए अनुमति देता है और प्रमेय 4 बताता है कि इस तरह की समस्याएं क्लिक्स-चौड़ाई के संबंध में निर्धारित-पैरामीटर ट्रैक्टेबल हैं। तो आपकी दूसरी गोली / सवाल का जवाब हां होना चाहिए।

पहली गोली के बारे में: "वर्टेक्स-माइनर्स, मोनैडिक सेकेंड-ऑर्डर लॉजिक, और सीज़ द्वारा एक अनुमान" ब्रूनो कौरसल और संग-इल ओउम द्वारा लेखक लिखते हैं कि "यह साबित किया जा सकता है कि" एमएस फॉर्मूला '(एक्स) व्यक्त कर सकते हैं , हर संरचना में, कि एक सेट X में भी कार्डिनैलिटी है [10] "जहां [10] =" कौरसेल, ग्राफ के दूसरे क्रमिक तर्क "

उम्मीद है की वो मदद करदे

Comments

अंतर्दृष्टि के लिए धन्यवाद, लेकिन यह तथ्य कि कोई भी एमएस सूत्र (सामान्य रूप में) यह व्यक्त नहीं कर सकता है कि क्या एक सेट में भी कार्डिनैलिटी वास्तव में प्रासंगिक नहीं है, क्योंकि सवाल काउंटिंग एमएसओएल भाषा के बारे में है, जिसमें विशेष विधेय हैं जो स्पष्ट रूप से कार्डिनैलिटी का परीक्षण करने की अनुमति देते हैं। एक निर्धारित मोड्यूलो में कुछ निश्चित संख्या; इसलिए काउंटिंग एमएसओएल भाषा में एक सेट के समरूपता को व्यक्त करना संभव है, और सवाल यह था कि क्या हम कुशलतापूर्वक क्लीवेजवेट द्वारा कैलकुलेट किए गए काउंटिंग एमएसओएल में एक वाक्य को संतोषजनक रूप से सबसे छोटा / सबसे बड़ा सेट पा सकते हैं। फिर भी धन्यवाद!

— बार्ट जानसन

आप बिल्कुल सही हैं। मैं सिर्फ यह बताना चाहता था कि आपके द्वारा उल्लिखित कागज सीएमएसओएल को कवर नहीं करता है। (मैं एक परिणाम के बारे में नहीं जानता जो ऐसा करता है।)

— मार्टिन लैकनर