बहुभुज बाधाओं के साथ विमान में सबसे छोटे रास्तों की गणना करने की जटिलता

Question

मान लीजिए कि हमें विमान में कई संबंध तोड़ना आसान बहुभुज दिया जाता है, और दो अंक और हर बहुभुज के बाहर। यूक्लिडियन सबसे छोटी पथ समस्या है , जो किसी भी बहुभुज के आंतरिक को नहीं काटती है, से तक यूक्लिडियन सबसे छोटी पथ की गणना करना है । संक्षिप्तता के लिए, मान लें कि और के निर्देशांक, और प्रत्येक बहुभुज शीर्ष के निर्देशांक पूर्णांक हैं।$s$$t$$s$$t$$s$$t$

क्या यह समस्या बहुपद समय में हल हो सकती है?

अधिकांश कम्प्यूटेशनल जियोमीटर तुरंत हां कह देंगे, निश्चित रूप से: जॉन हर्शबर्गर और सुभाष सूरी ने एक एल्गोरिथ्म का वर्णन किया, जो यू समय में यूक्लिडियन सबसे छोटे रास्तों की गणना करता है , और यह समयबद्ध बीजीय कम्प्यूटेशनल ट्री मॉडल में इष्टतम है। दुर्भाग्य से, हर्शबर्गर और सूरी के एल्गोरिदम (और पहले और बाद के लगभग सभी संबंधित एल्गोरिदम) को निम्नलिखित मजबूत अर्थों में सटीक वास्तविक अंकगणित की आवश्यकता लगती है।$O(n\log n)$

एक बहुभुज पथ को वैध मानें यदि इसके सभी आंतरिक कोने लंबवत हैं; हर यूक्लिडियन सबसे छोटा रास्ता वैध है। किसी भी मान्य पथ की लंबाई पूर्णांक के वर्गमूल का योग है। इस प्रकार, दो वैध रास्तों की लंबाई की तुलना करने के लिए दो वर्ग फुट की जड़ों की तुलना करने की आवश्यकता होती है, जिसे हम बहुपद समय में नहीं जानते हैं ।

इसके अलावा, यह पूरी तरह से प्रशंसनीय लगता है कि सम-वर्ग-मूल समस्या का एक मनमाना उदाहरण एक समान यूक्लिडियन लघु-पथ समस्या को कम किया जा सकता है।

इसलिए: यूक्लिडियन सबसे छोटे रास्तों की गणना करने के लिए एक बहुपद-कालिक एल्गोरिथ्म है? या समस्या NP- हार्ड है? या सम-वर्ग-मूल-कठोर ? या कुछ और?

कुछ नोट:

• अंदर (या बाहर) सबसे छोटा रास्ता एक बहुभुज की गणना समय में बिना किसी अजीब संख्यात्मक मुद्दों के मानक फ़नल एल्गोरिथ्म का उपयोग किए बिना की जा सकती है, कम से कम अगर बहुभुज का त्रिकोणीयकरण दिया जाता है।$O(n)$

• व्यवहार में, फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित उन पथों की गणना करने के लिए पर्याप्त है जो फ्लोटिंग-पॉइंट सटीक तक कम हैं। मुझे केवल सटीक समस्या की जटिलता में दिलचस्पी है।

• जॉन कैनी और जॉन रीफ ने साबित किया कि 3-स्पेस में संबंधित समस्या एनपी-हार्ड है (नैतिक रूप से क्योंकि सबसे छोटे रास्तों की एक घातीय संख्या हो सकती है)। Joonsoo Choi, Jürgen Sellen, और Chee-Keng Yap ने एक बहुपद-काल सन्निकटन योजना का वर्णन किया।

• साइमन कहन और जैक स्नोयिंक ने एक साधारण बहुभुज में न्यूनतम-लिंक पथों की संबंधित समस्या के लिए समान मुद्दों पर विचार किया।

Comments

यह अच्छा होगा अगर वहाँ वर्ग-वर्ग की जड़ें कठिन समस्याओं की सूची थीं।

— सुरेश वेंकट

यह cstheory के लिए एक आदर्श प्रश्न की तरह लगता है। आप यह क्यों नहीं पूछते?

— पीटर शोर

हो गया: cstheory.stackexchange.com/questions/4053/…

— Jeffε

Answer 1

शायद मैं कुछ याद करता हूं, लेकिन अगर हम "आसान" मामले पर विचार करते हैं, जहां सभी बाधाएं हैं, तो हमें एक प्लानर ग्राफ में दो कोने के बीच सबसे छोटे रास्ते की गणना करने की समस्या है, जो कि अगर मैं गलत नहीं हूं, तो यह ज्ञात है के रूप में रकम-वर्ग-जड़ों-कठिन।

पुनश्च। मैं एक टिप्पणी जोड़ना चाहता था और एक उत्तर नहीं, लेकिन मैं नहीं पा सकता कि कैसे। मैं उसके लिए माफी माँगता हूँ। क्या इस बारे में मेरी मदद कर सकते हैं

Comments

स्टैकएक्सचेंज में एक टिप्पणी पोस्ट करने के लिए आपको 50 प्रतिष्ठा की आवश्यकता है। अधिक विवरण यहां: cstheory.stackexchange.com/privileges/comment । चूंकि आप कुछ जानकारी प्रदान कर रहे हैं, मुझे लगता है कि इसे उत्तर के रूप में पोस्ट करना ठीक है।

— चेज़िसोप

"आसान" मामले में जहां बाधाएं बिंदु हैं, यूक्लिडियन सबसे छोटा रास्ता (या अधिक औपचारिक रूप से, अनंत मार्ग) हमेशा एक सीधी रेखा खंड होता है, और इसकी गणना तुच्छ होती है। लेकिन यूक्लिडियन किनारे की लंबाई के साथ प्लानर ग्राफ़ में सबसे छोटे रास्तों के लिए, क्या आपके पास सम-से-हार्ड कठोरता का संदर्भ है? (चार-आयामी रेखांकन के लिए कमी देखना मुश्किल नहीं है, क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक अधिकतम चार पूर्ण वर्गों में होने का योग है।)

— जेफ

$4k+1$

तुम सही हो। "आसान" मामला बल्कि एक तुच्छ है।

— एलियास