वर्ग-मूल-कठिन समस्याओं का योग?

Question

वर्ग जड़ों का योग समस्या, दो दृश्यों को देखते हुए पूछता है और बी 1 , बी 2 , ... , ख n , धनात्मक पूर्णांक के लिए कि क्या योग Σ मैं $a_1, a_2, \dots, a_n$$b_1, b_2, \dots, b_n$ कम से कम, के बराबर, या राशि से अधिकΣमैं$\sum_i \sqrt{a_i}$ । इस समस्या की जटिलता की स्थिति खुली है; देखनाइस पोस्टअधिक जानकारी के लिए। यह समस्या स्वाभाविक रूप से कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में उत्पन्न होती है, विशेष रूप से यूक्लिडियन सबसे छोटे रास्तों से जुड़ी समस्याओं में, और वास्तविक रैम से मानक पूर्णांक रैम में उन समस्याओं के लिए एल्गोरिदम को स्थानांतरित करने में एक महत्वपूर्ण ठोकर है।$\sum_i \sqrt{b_i}$

एक समस्या को बुलाओ a सम-वर्ग-रूट्स-हार्ड (संक्षिप्त Σ√-हार्ड?) यदि वर्ग मूल समस्या के योग से बहुपद-काल में कमी हो। यह साबित करना मुश्किल नहीं है कि निम्नलिखित समस्या सम-वर्ग-मूल-कठिन है:

4d यूक्लिडियन ज्यामितीय रेखांकन में सबसे छोटा रास्ता

उदाहरण: एक ग्राफ जिसका कोने Z 4 में बिंदु हैं , यूक्लिडियन डिस्टेन द्वारा भारित किनारों के साथ; दो कोने एस और $G=(V,E)$$\mathbb{Z}^4$$s$$t$

आउटपुट: जी में से टी तक का सबसे छोटा रास्ता ।$s$$t$$G$

बेशक इस समस्या को डायजेस्ट्रा के एल्गोरिथ्म का उपयोग करके वास्तविक रैम पर बहुपद-समय में हल किया जा सकता है, लेकिन उस एल्गोरिथ्म में प्रत्येक तुलना में एक सम-वर्ग-मूल समस्या को हल करने की आवश्यकता होती है। कमी इस तथ्य का उपयोग करती है कि किसी भी पूर्णांक को चार पूर्ण वर्गों के योग के रूप में लिखा जा सकता है; कमी का उत्पादन वास्तव में कोने पर एक चक्र है ।$2n+2$

सम-वर्ग-मूल-कठिन क्या अन्य समस्याएं हैं? मैं उन समस्याओं में विशेष रूप से दिलचस्पी लेता हूं जिनके लिए वास्तविक रैम पर एक बहुपद-समय समाधान है। एक संभावना के लिए मेरा पिछला प्रश्न देखें ।

जैसा कि रॉबिन का सुझाव है, उबाऊ जवाब उबाऊ हैं। किसी भी जटिलता वर्ग X के लिए जिसमें सम-वर्ग-मूल (उदाहरण के लिए, PSPACE या EXPTIME) सम्‍मिलित है, हर X-कठिन समस्‍या बोरिंग-सम-वर्ग-मूल-हार्ड है।

Comments

इस सवाल का सुझाव देने के लिए सुरेश और पीटर का धन्यवाद।

— जेफ

शायद आप यह कहकर तुच्छ उत्तरों से भी इंकार कर सकते हैं कि उत्तर सिर्फ उन समस्याओं के लिए नहीं होना चाहिए, जो उस वर्ग के लिए कठिन हैं जिन्हें सम-वर्ग-मूल की समस्या से जाना जाता है। उदाहरण के लिए, किसी भी PSPACE- मुश्किल समस्या वर्ग-मूल-कठिन होगी, लेकिन यह दिलचस्प नहीं है।

— रोबिन कोठारी

$\mathbb{R}^4$$\mathbb{Z}^4$

@ उत्तर: हाँ, आप सही कह रहे हैं। संपादित।

— जेफ

Answer 1

निम्नलिखित सर्वेक्षण में यह थोड़ा सा चर्चा की गई (स्लाइड 21 से शुरू): http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/games08_tutorial.pdf

जिसमें यूक्लिडियन टीएसपी का उल्लेख है, वास्तविक नैश संतुलन का अनुमान है, और पॉएसएसएलपी और एफएक्सपीपी कक्षाओं के बारे में बात करता है।

Comments

यह एक आकर्षक संबंध है।

— सुरेश वेंकट

Answer 2

यह एक टिप्पणी होनी चाहिए, क्योंकि यह ज्यादातर उबाऊ उत्तर है, लेकिन मेरी पर्याप्त प्रतिष्ठा नहीं है।

$P^{PP^{PP^{PP}}}$$PosSLP$

[ABKM98]: न्यूमेरिकल विश्लेषण की जटिलता पर, ऑलेंडर, बर्गिसर, केजल्डगार्ड-पेडर्सन और मिलर्सन द्वारा।

Comments

${CoRP}^{PP}$

@ एलियास: क्या आप विस्तृत कर सकते हैं? एक सरसरी नज़र से, कायल और साहा वर्गमूल समस्या के योग के "बहुपद संस्करण" पर चर्चा करते दिखते हैं, जो कि वर्ग जड़ों की समस्या के सामान्य योग से अलग लेकिन संबंधित है।

— त्सुयोशी इतो

@Abel: (1) हाय हाबिल, आपकी पोस्ट देख कर खुशी हुई! (२) इसकी कीमत क्या है, [ABKM98] वास्तव में CCC २००६ में प्रस्तुत किया गया था और २०० ९ में प्रकाशित हुआ था । (३) एक उबाऊ उत्तर एक टिप्पणी नहीं होना चाहिए, लेकिन अपने आप को रखा जाना चाहिए। लेकिन मुझे नहीं लगता कि यह कोई उबाऊ जवाब है। :)

— त्सुयोशी इतो

$a_i$$a_i=\sum_i{b_ij}X^{d_i-j}$$X>(B+1)^{(nd)^{O(1)}}$$B=max\{b_{ij}\}$$d=max\{d_i\}$

$CoRP^{PP}$