एक मल्टी-कट समस्या

Question

मैं इस समस्या के लिए एक नाम या किसी संदर्भ की तलाश कर रहा हूं।

एक भारित ग्राफ को देखते हुए अप करने के लिए में कोने की एक विभाजन को खोजने n = | वी | सेट एस 1 , ... , एस एन इतनी के रूप में कटौती किनारों के मूल्य को अधिकतम करने के लिए: सी ( एस 1 , ... , एस एन ) = Σ मैं ≠ j ( Σ ( यू , वी ) ∈ ई : यू ∈ $G = (V, E, w)$$n = |V|$$S_1,\ldots,S_n$ ध्यान दें कि सेट के कुछएसमैंखाली हो सकता है। तो समस्या अनिवार्य रूप से, अधिकतम कश्मीर कट है, सिवाय इसकेकश्मीरइनपुट का हिस्सा नहीं है: एल्गोरिथ्म किसी भी चुन सकते हैंकश्मीरयह इतना पसंद करती है के रूप में कटौती किनारों के मूल्य को अधिकतम करने के लिए। जाहिर है, समस्या तुच्छ है अगर एज वेट नॉन-निगेटिव हो: बस हर वर्टेक्स को अकेले अपने सेट में रखें, और आप सभी किनारों को काट दें। लेकिन, चीजों को दिलचस्प बनाने के लिए, नकारात्मक वजन किनारों की अनुमति है।

$$c(S_1,\ldots,S_n) = \sum_{i \ne j}\left(\sum_{(u,v)\in E : u \in S_i, v \in S_j}w(u,v)\right)$$ $S_i$$k$$k$

क्या यह एक अध्ययन की समस्या है? एल्गोरिदम या कठोरता के परिणामों के संदर्भ की सराहना की जाएगी!

Comments

$+1$$-1$$G$$\pm 1$

Answer 1

समस्या सहसंबंध क्लस्टरिंग (सीसी) बंसल, एन।, ब्लम, ए और चावला, एस (2004) का एक प्रकार है। "सहसंबंध क्लस्टरिंग"। मशीन लर्निंग जर्नल (डेटा क्लस्टरिंग में सैद्धांतिक प्रगति पर विशेष अंक; पीपी। 86–113, doi: 10.1023 / B: MACH.0000033116.57574.95।

$G$$(v,w)$$a(v,w)$$b(v,w)$$P$$c_P(v,w)$$a(v,w)$$v$$w$$P$$b(v,w)$$P$$V$$\sum_{v,w} c(v,w)$

$a(v,w)=0$$b(v,w)$$O(\log n)$

वर्णित पीटीएएस चिकनी बहुपद प्रोग्रामिंग तकनीक पर आधारित हैं: सबसे सामान्य स्थिति में मुझे नहीं लगता कि आपकी समस्या तकनीक की आवश्यकता को पूरा करेगी।

Answer 2

मुझे किसी भी संदर्भ का पता नहीं है, लेकिन मैं दिखा सकता हूं कि यह एनपी-पूर्ण है, ग्राफ के रंग से कमी के माध्यम से।

एक ग्राफ G और रंगों की एक संख्या k को देखते हुए, जिसके साथ G को रंग देना है, एक नया ग्राफ G बनायें जिसमें G के k नए सिरे से मिलकर बना हो, जैसे कि प्रत्येक नया शीर्ष G में प्रत्येक शीर्ष से जुड़ा हुआ है। जी के प्रत्येक किनारे, वजन + घुटने से प्रत्येक किनारे को कश्मीर के दो कोने जोड़ते हैं, और वजन -1 से प्रत्येक के किनारों को जी को नए कोने से जोड़ते हैं।

फिर, यदि जी के-रंग का हो सकता है, तो रंग (एक विभाजन के साथ जो रंग वर्गों में से प्रत्येक को नए वर्टीकल प्रदान करता है) कुल वजन घुटने (m + k (k-1) / 2) - (k -1) एन।

दूसरी दिशा में, यदि आपके पास एक विभाजन है जो इस कुल वजन को प्राप्त करता है, तो इसे जी के सभी किनारों और सभी किनारों को नए सिरे के जोड़े के बीच में कटौती करना होगा। जी के सभी किनारों को काटना जी के एक रंग को परिभाषित करता है, और नए कोने के जोड़े के बीच के किनारों को काटने का मतलब है कि जी के प्रत्येक शीर्ष को कश्मीर के नए सिरे में से एक पर सबसे अधिक आसन्न किया जा सकता है। इसलिए, इष्टतम प्राप्त करने के लिए - (k-1) n शब्द वजन में, जी के प्रत्येक शीर्ष को बिल्कुल नए सिरे में से एक के समीप होना चाहिए, और इसलिए केवल रंग द्वारा परिभाषित रंग में k रंग कक्षाएं हो सकती हैं। विभाजन।

यही है, दिए गए वेट बाउंड के साथ विभाजन जी के के-कलरिंग के साथ 1-1 पत्राचार में हैं, इसलिए यह रंग से आपके विभाजन की समस्या में कमी को परिभाषित करता है।

Answer 3

मुझे इस सवाल पर एक टिप्पणी में जुक्का द्वारा पूछे गए विशेष मामले के संदर्भ को जोड़कर डेविड के अच्छे एनपी-पूर्णता के प्रमाण को पूरक करने दें। यदि ग्राफ़ पूरा ग्राफ़ है और किनारे का वज़न, 1 तक सीमित है, तो समस्या NP- पूर्ण समस्या के बराबर है जिसे क्लस्टर संपादन के रूप में जाना जाता है।

क्लस्टर एडिटिंग शमीर, शरण और त्सुर [SST04] द्वारा शुरू की गई निम्न समस्या है। यहाँ, एक क्लस्टर ग्राफ एक ग्राफ है जो वर्टेक्स-डिसऑइंट क्लस्टर का एक संघ है और एक एडिट इसके अतिरिक्त या एक किनारे को हटाने का है।

क्लस्टर संपादन
उदाहरण : एक ग्राफ जी = ( वी , ई ) और एक पूर्णांक कश्मीर ∈ℕ।
प्रश्न : क्या अधिकांश k संपादन द्वारा G को क्लस्टर ग्राफ़ में बदलना संभव है ?

क्लस्टर संपादन एनपी-पूर्ण [SST04] है।

यह देखने के लिए कि क्लस्टर संपादन वर्तमान समस्या के पूर्वोक्त विशेष मामले के बराबर है, G = ( V , E ) एक ग्राफ है। चलो n = | वी | और G को पूर्ण ग्राफ K _{n के} उपसमूह के रूप में मानते हैं । K _{n में} , वज़न −1 को G में किनारों पर और भार +1 को किनारों पर G में न दें । तब G को k के संपादन में क्लस्टर ग्राफ में बदल दिया जा सकता है, यदि केवल और केवल अगर कोई विभाजन मौजूद है ( S ₁ ,…, S _n ) जैसे कि c ( S ₁ ,…,)S _n ) _n - | ई | - k इस भारित पूर्ण ग्राफ के लिए _{n n} ।$\binom{n}{2}$

[SST04] रॉन शमीर, रॉडेड शरण और डेकेल ससुर। क्लस्टर ग्राफ संशोधन समस्याएं। असतत अनुप्रयुक्त गणित , 144 (1-2): 173–182, नवंबर 2004। http://dx.doi.org/10.1016/j.dam.2004.01.007