वहाँ 2 डी आयत रंग समस्या के लिए एक निरंतर कारक सन्निकटन एल्गोरिथ्म है?

Question

जिस समस्या पर हम यहाँ विचार करते हैं, वह प्रसिद्ध अन्तराल रंग समस्या का विस्तार है। अंतराल के बजाय हम विचार करते हैं कि आयताकार पक्ष कुल्हाड़ियों के समानांतर हैं। इसका उद्देश्य न्यूनतम संख्या में रंगों का उपयोग करके आयतों को रंगना है, ताकि किसी भी दो अतिव्यापी आयतों को अलग-अलग रंग सौंपे जाएं।

इस समस्या को एनपी-हार्ड के रूप में जाना जाता है। शिन हान, काज़ुओ इवामा, रॉल्फ क्लेन और आंद्रेजेज लिंगस (बॉक्स ग्राफ़ पर अधिकतम स्वतंत्र सेट और न्यूनतम वर्टेक्स रंग का अनुमोदन) ने एक ओ (लॉग एन) सन्निकटन दिया। वहाँ एक बेहतर सन्निकटन एल्गोरिथ्म है?

हम जानते हैं कि अंतराल रंग समस्या को उनके बाएं समापन बिंदु के अनुसार अंतराल पर विचार करके पहले-फिट एल्गोरिथ्म द्वारा बहुपद में हल किया जाता है। हालांकि, पहले-फिट ऑनलाइन एल्गोरिथ्म 8-प्रतिस्पर्धी है जब अंतराल मनमाने क्रम में दिखाई देते हैं।

आयत रंग समस्या के लिए पहली फिट एल्गोरिथ्म का प्रदर्शन क्या है? जब पहली बार अपने बाएं (ऊर्ध्वाधर) पक्षों के अनुसार आयत दिखाई देते हैं तो एल्गोरिथम क्या होता है?

इस मामले में किसी भी मदद के लिए पहले से ही धन्यवाद।

Answer 1

जैसा कि अन्य उत्तर द्वारा सुझाया गया है, $\Omega(\log n)$ निचला बाउंड देखना बहुत मुश्किल नहीं है। आइए हम एक क्षैतिज रेखा के साथ स्वीपिंग बॉटम बनाते हैं। विचार ऐसे घटकों का निर्माण करना है जिनके लिए रंगों की बड़ी और बड़ी संख्या की आवश्यकता होती है। विशेष रूप से, $C(i)$ एक गैजेट है जिसमें रंग $i$ (यानी, पहला फिट इसे रंग $i$ निर्दिष्ट करेगा ) के साथ एक शीर्ष आयत है । स्पष्ट रूप से, $C(1)$ केवल एक आयत है। घटक $C(2)$ है

सामान्य तौर पर, घटक $C(k)$$C(1), \ldots, C(k-1)$ साथ एक आयताकार होता है जो नीचे लटका होता है:

अब, यह सत्यापित करना आसान है कि नीचे से क्षैतिज रूप से व्यापक रूप से फिट होने वाला एक फिट-प्रथम एल्गोरिथ्म $k$ रंग का उपयोग $C(k)$ । हालाँकि, $C(k)$ का प्रतिच्छेदन ग्राफ सिर्फ एक पेड़ है, और इसे $2$ रंगों से रंगा जा सकता है । अब, $C(k)$ संरचना में केवल एक फाइबोनैचि वृक्ष है, और जैसे कि इसमें नोड्स की संख्या $2^{O(k)}$ , जिसका अर्थ $\Omega( \log n )$ अंतराल है।

चूंकि एक सरल एल्गोरिथ्म है जो आयतों के रंग के लिए $O( \log n)$ सन्निकटन प्राप्त करता है, यह तंग हो सकता है। मुझे नहीं पता।

Answer 2

जहां तक ​​मुझे पता है, यह ज्ञात नहीं है। Asplund और Grunbaum (1960ish) के एक पुराने पेपर से पता चलता है कि यदि क्लिक संख्या 2 है, तो क्रोमेटिक संख्या अधिकतम 6 पर है (और यह तंग है)। मुझे लगता है कि उदाहरणों के साथ आना आसान होना चाहिए जहां पहले फिट के लिए अंतर किसी भी स्थिर से बड़ा है, क्योंकि पेड़ों को आयतों के चौराहे ग्राफ द्वारा दर्शाया जा सकता है, और पेड़ों को किसी भी ऑनलाइन एल्गोरिथ्म द्वारा लॉग एन रंगों की आवश्यकता होती है।

Answer 3

मुझे लगता है कि Asplund, Grunbaum कागज, या बाद के कागजात भी बताते हैं कि आयताकार चौराहे के रेखांकन का ग्राफ सबसे अधिक O (k ^ 2) पर है, जहां k अधिकतम गुच्छे का आकार है ... हालांकि, कोई ज्ञात नहीं है ऐसे उदाहरण जिन्हें रंगों की संख्या k में रैखिक से अधिक की आवश्यकता होती है।