अंतराल की सूचियों के बीच मोनोटोन जीवनी

Question

मुझे निम्न समस्या है:

इनपुट: अंतराल के दो सेट और (सभी समापन बिंदु पूर्णांक हैं)। प्रश्न: क्या एक मोनोटोन बायजेन्सी ?टी एफ : एस → $S$$T$
$f:S \to T$

आक्षेप और पर सेट समावेशन आदेश मोनोटोन है । टी ∀ एक्स ⊆ वाई ∈ एस , च ( एक्स ) ⊆ च ( वाई $S$$T$

$$\forall X\subseteq Y \in S, \ f(X) \subseteq f(Y)$$

[मुझे यहाँ उल्टी हालत की आवश्यकता नहीं है। अद्यतन: यदि रिवर्स स्थिति की आवश्यकता होती है, यानी, , तो यह PTIME में होगा क्योंकि इसमें समरूपता के समरूपता परीक्षण की मात्रा होती है पॉसेट्स (जिसमें निर्माण द्वारा ऑर्डर आयाम 2 है), जो कि मोहरिंग, कम्प्यूटेशनलली ट्रैक्टेबल क्लासेस ऑफ ऑर्डर सेट्स , प्रमेय 5.10, पी द्वारा पीटाइम में है । 61।$\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y)$ ]

समस्या : हम कुशलतापूर्वक जाँच कर सकते हैं कि क्या कोई एक मोनोटोन बायजेन्स है।$\mathsf{NP}$$f$

क्या इस समस्या के लिए एक बहुपद-काल एल्गोरिदम है? या यह ?$\mathsf{NP}$

इस सवाल को आमतौर पर ऑर्डर डायमेंशन 2 के दो दिए गए पोज़ के बीच एक मोनोटोन बायजेन्स के अस्तित्व के रूप में कहा जा सकता है ।

इस प्रश्न के उत्तर से प्रेरित कमी का उपयोग करते हुए , मुझे पता है कि समस्या जब आयाम प्रतिबंधित नहीं हैं। हालांकि, यह स्पष्ट नहीं है कि आयामों के प्रतिबंधित होने पर कटौती भी काम करेगी।$\mathsf{NP}$

मुझे ट्रैक्टबिलिटी के बारे में जानने में भी दिलचस्पी है जब आयाम सिर्फ कुछ मनमाने ढंग से स्थिर होता है (सिर्फ 2 नहीं)।

Comments

क्या इस लालची दृष्टिकोण के लिए प्रतिपक्ष हैं: I 1 , I 2 , के अंतराल को हल करें । । । , मैं एन उनके decresing लंबाई के अनुसार; एक निर्माण n + 1 इस तरह से नोड्स पेड़: अगर मैं मैं ⊆ मैं j तो जोड़ने के किनारे , यदि एक ही लंबाई के साथ कई अंतराल हैं साथफिर बस उनमें से सबसे बाईं ओर जाएं और किनारे जोड़ें$S$ $I_1,I_2,...,I_n$$n+1$$I_i \subseteq I_j$मैं मैं ⊆ मैं जे 1 , । । । , मैं जे एम | I j 1 | = | मैं जे 2 | = । । । = | आई जे एम | ( I j k → I i ) $(I_j \rightarrow I_i)$$I_i \subseteq I_{j_1},...,I_{j_m}$$|I_{j_1}|=|I_{j_2}|=...=|I_{j_m}|$$(I_{j_k} \rightarrow I_i)$। आने वाली किनारों वाले नोड्स से जुड़ा हुआ रूट जोड़ें। लिए एक समान पेड़ का निर्माण करें, फिर जांचें कि क्या दो पेड़ आइसोमोर्फिक हैं। $T$

— Marzio De Biasi

एक अंतराल को कई अतुलनीय अंतरालों में शामिल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए [2, 3] [1, 3] और [2, 4] में शामिल किया गया है, इसलिए मुझे लगता है कि आपके पेड़ के निर्माण में एक पेड़ नहीं बल्कि एक निर्देशित चक्रीय ग्राफ होगा। अगर दो DAG isomorphic हैं (या इस अर्थ में कि मैं किसके बारे में पूछ रहा हूँ) में जाँच करना सामान्य तौर पर NP-hard है, तो मुझे लगता है।

— a3nm 11

आप सही हैं, उपरोक्त दृष्टिकोण सही नहीं है!

— मार्जियो डी बियासी

डी BIASI के जवाब अनुसार, समस्या सैनिक-पूरा हो गया है जब । हालाँकि, आपकी पोस्ट बताती है कि यह PTIME में है। कौनसा सही है? $\forall X, Y, X\subseteq Y \Leftrightarrow f(X) \subseteq f(Y)$

— मोहम्मद अल-तुर्कस्टनी

@ MohammadAl-Turkistany: Marzio के जवाब पर टिप्पणियों में चर्चा cf

— a3nm

Answer 1

यहाँ यह साबित करने की कोशिश की जा रही है कि रिवर्स कंडीशन के बिना समस्या एनपी-हार्ड है।

मूल विचार यह है कि इस तरह से में अंतराल को अलग करें:$S$

 [S]  +-a-+ +-b-+
      +---c-----+  c<a, c<b (here < is interval inclusion)

टी में " पिरामिड " के लिए एक वैध मानचित्रण हो सकता है :$T$

 [T]  +-x-+      f(a)=x, f(b)=y, f(c)=z
      +-y---+    
      +-z-----+  z<x, z<y OK

कमी यूनरी 3-विभाजन (जो एनपीसी है) से है। यह देखते हुए पूर्णांकों एक = { एक 1 , एक 2 , । । । , एक 3 मीटर } और एक पूर्णांक बी , करता है में एक के विभाजन मौजूद मीटर सेट एक 1 , । । । , एक मीटर ऐसी है कि हर एक मैं वास्तव में 3 तत्वों और उनके योग है बी ?$3m$$A = \{a_1,a_2,...,a_{3m}\}$$B$$m$$A_1,...,A_m$$A_i$$B$

कि मान लीजिए $max = \sum a_i + 3m$

हम निर्माण जोड़ने 3 मीटर आधार अंतराल बी मैं मैं लंबाई के 3 * m एक एक्स (चित्र में लाल लाइनों), अंतराल हम एक जोड़े जाने वाले प्रत्येक आधार के शीर्ष पर मार्कर पिरामिड के मीटर एक एक्स बढ़ती लंबाई के अंतराल (में हरे रंग की लाइनों आंकड़ा)। अंतराल आधार करने के लिए बी मैं मैं हम भी जोड़ने एक मैं संबंध तोड़ना इकाई अंतराल लंबाई 1 से (चित्र में काली लाइनें)। अंत में हम एक लंबे अंतराल जोड़ने एल सभी को कवर करने के बी मैं $S$$3m$ $BI_i$$3*max$$max$$BI_i$$a_i$$L$$BI_i$ (आकृति में नीली रेखा)।

तब हम L की एक प्रति से शुरू होने वाले निर्माण करते हैं, फिर हम m योग समूह G j जोड़ते हैं , हर एक को तीन स्टैक्ड आधार अंतराल की एक प्रति के साथ बनाया जाता है, जो इस तरह से फैला होता है कि उनका मार्कर पिरामिड इंटरसेक्ट नहीं होता (लाल + हरी रेखाएँ देखें) आकृति के तल पर)। फिर हम में से तीन आधार अंतराल के शीर्ष पर जोड़ने जी जे एक योग पिरामिड के बी (मार्कर पिरामिड से संबंध तोड़ना) में वृद्धि की लंबाई के अंतराल।$T$$L$$m$ $G_j$$G_j$$B$

मान लीजिए कि एस और टी के बीच एक जीवत्ति मौजूद है जो अंतराल को शामिल करती है (एस से टी तक एक दिशा में)।

फिर एस के प्रत्येक मार्कर पिरामिड टी में एक मार्कर पिरामिड के लिए (के शामिल किए जाने के श्रृंखला के लिए एक ही रास्ता अनुरूप होना चाहिए अंतराल), तो ठीक तीन आधार अंतराल ( बी मैं जे 1 , बी मैं जे 2 , बी मैं जे 3 ) S को प्रत्येक समूह G j से मैप किया जाना चाहिए । इसके अलावा, B I j k की इकाई अंतराल को G j के सम पिरामिड में मैप किया जाना चाहिए और विभिन्न समूहों के बीच "आदान-प्रदान" नहीं किया जा सकता है।$max$$BI_{j_1},BI_{j_2},BI_{j_3}$$S$$G_j$$BI_{j_k}$$G_j$

इसी तरह से यह साबित किया जा सकता है कि यदि कोई आपत्ति मौजूद है तो मूल 3-विभाजन समस्या का एक समाधान है।

3-विभाजन समस्या m = 2 , A = { 3 , 3 , 2 , 2 , 2 , 2 } , B = 7 से कमी उदाहरण$m=2, A = \{3,3,2,2,2,2\}, B = 7$

नोट: टिप्पणियों में जैसा कि एस और टी में नीला अंतराल एल में कमी के लिए आवश्यक नहीं है।

$I_i \subseteq I_j$$(I_j \rightarrow I_i)$

Comments

हाँ, ऐसा लगता है कि यह सही है, बहुत बहुत धन्यवाद! (बस एक टिप्पणी: नीले अंतराल को कम करने के लिए आवश्यक नहीं है, मुझे लगता है।) मैं जल्द ही स्वीकार करूंगा जब तक मुझे संदेह का कारण नहीं मिल जाता कि यह कमी काम करती है।

— a3nm

@ a3nm: हाँ, लेकिन मैंने इसे आरेखित करने के बाद पता लगाया :-)। मुझे अभी भी 100% यकीन नहीं है कि कमी में कोई छिपी हुई त्रुटि नहीं है (इसके अलावा दो सप्ताह में यह दूसरी बार है कि मुझे एक एनपी-पूर्ण प्रमाण मिला है जो 3-विभाजन का उपयोग करता है ... बहुत अजीब :-)

— Marzio De Biasi

नहीं, यह सही प्रतीत होता है: स्पष्ट रूप से 3-विभाजन का समाधान अंतराल समस्या का समाधान देता है। अब, अंतराल समस्या से 3-विभाजन में जा रहा है: जरूरी अंतराल मानचित्रण लाल अंतराल को लाल अंतराल (मार्कर पिरामिड के कारण) को मैप करता है; लाल अंतराल की समान संख्या तो अंतराल लाल है यदि मानचित्रण द्वारा छवि है। मार्करों को सही लाल अंतराल पर मैप किया जाता है (क्योंकि अन्यथा यह एक वंशज, और न्यूनतमता है)। अब यदि लाल को लाल रंग से मैप किया जाता है और मार्करों को अपेक्षा के अनुसार मैप किया जाता है, तो संख्याओं का मिलान होता है, इसलिए हमारे पास एक सही विभाजन है। मुझे लगता है कि यह समझ में आता है!

— a3nm

@ a3nm: मैंने देखा कि आपने उत्तर स्वीकार कर लिया है; क्या आपको लगता है कि परिणाम एक संयुक्त पेपर लिखने के लिए काफी दिलचस्प है?

— Marzio De Biasi

$T$$f$