विवश पदों के साथ सामयिक प्रकार की जटिलता

Question

मैं इनपुट एक DAG के रूप में दिया हूँ $G$ की $n$ कोने जहां प्रत्येक शिखर $x$ अतिरिक्त कुछ के साथ लेबल है $S(x) \subseteq \{1, \ldots, n\}$ ।

का एक संस्थानिक तरह $G$ एक द्विभाजन है $f$ के कोने से $G$ को $\{1, \ldots, n\}$ ऐसा है कि सभी के लिए $x$ , $y$ , अगर वहाँ से एक रास्ता है $x$ के लिए $y$ में $G$ तो $f(x) \leq f(y)$ । मैं तय करने के लिए की एक सांस्थितिकीय तरह वहाँ मौजूद है या नहीं इच्छा $G$ ऐसा है कि सभी के लिए $x$ , $f(x) \in S(x)$ ।

इस निर्णय समस्या की जटिलता क्या है?

[नोट्स: स्पष्ट रूप से यह एनपी में है। यदि आप अनुमत शीर्ष शीर्ष / पोजीशन जोड़े के ग्राफ को देखते हैं, तो उस टकराव के बीच अप्रत्यक्ष किनारों के साथ, क्योंकि वे आदेश का उल्लंघन करते हैं, तो आपको असंतुष्ट समूहों का एक ग्राफ़ मिलता है, जहाँ आप प्रति जोड़े सबसे अधिक एक जोड़ी पर, प्रति जोड़े, अधिकतम प्रति जोड़ी पर चुनना चाहते हैं। स्थिति और प्रति शीर्ष पर एक जोड़ी में - यह 3-आयामी मिलान से संबंधित लगता है, लेकिन मैं नहीं देख सकता कि क्या यह अभी भी इस विशिष्ट समस्या की अतिरिक्त संरचना के साथ कठिन है।]

Answer 1

मुझे लगता है कि यह समस्या एनपी-हार्ड है। मैं मिनसैट से कटौती को कम करने की कोशिश करता हूं। मिनसैट समस्या में हमें CNF दिया जाता है और हमारा लक्ष्य संतुष्ट क्लॉज़ की संख्या को कम करना है। यह समस्या एनपी-हार्ड है, उदाहरण के लिए देखें, http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0895480191220836?journalCode=sjdmec

शीर्षकों को दो समूहों में विभाजित करें - कुछ शाब्दिक का प्रतिनिधित्व करेंगे, अन्य खंड, इसलिए जहां v CNF के चर की संख्या है (सामान्य रूप से n द्वारा निरूपित ) और c खंड की संख्या है। प्रत्येक शाब्दिक-शीर्ष से एक धार को खंड-शीर्ष तक निर्देशित करें जहां यह होता है। S को शाब्दिक-शीर्ष के लिए परिभाषित करें जो x i को { i , i + v + k } (जहाँ k एक मनमाना पैरामीटर है) के रूप में प्रस्तुत करता है, इसलिए या तो f ( x i$n=2v+c$$v$$n$$c$$S$$x_i$$\{i,i+v+k\}$$k$ और f ( ˉ x i ) = i + v + k या f ( i x i ) = i और f ( x i ) = i + v + k । प्रत्येक क्लॉज-वर्टिक्स के लिए, S = { v + 1 , … , v + k , 2 v + k + 1 , $f(x_i)=i$$f(\bar x_i)=i+v+k$$f(\bar x_i)=i$$f(x_i)=i+v+k$ , इसलिएक्लॉज-वर्टिक्स के k `` छोटे '' हैं।$S=\{v+1,\ldots,v+k,2v+k+1,\ldots,n\}$$k$

अब CNF के पास एक असाइनमेंट है जहां कम से कम क्लॉज़ झूठे हैं यदि और केवल तभी आपकी समस्या को उपरोक्त उदाहरण के लिए हल किया जा सकता है। MinSAT समस्या वास्तव में परीक्षण करने के लिए है कि क्या एक CNF सूत्र φ एक काम है कि बनाता है कम से कम कश्मीर खंड झूठी है, तो यह पता चलता है कि आपकी समस्या एनपी कठिन है।$k$$\varphi$$k$

इस कमी को समझने में आपकी मदद करने के लिए, यहाँ अंतर्ज्ञान है: छोटे लेबल ( ) सत्य मूल्य के अनुरूप हैं, और बड़े लेबल ( v + k + 1 , … , 2 v + k ) के अनुरूप हैं सच। शाब्दिक-रेखाचित्रों के लिए अवरोध यह सुनिश्चित करते हैं कि प्रत्येक x i या तो सही है या गलत और liter x $1,2,\dots,v+k$$v+k+1,\dots,2v+k$$x_i$$\overline{x_i}$विपरीत सत्य मूल्य है। किनारों से यह सुनिश्चित होता है कि यदि कोई शाब्दिक सत्य है, तो सभी क्लॉज-वर्टिस जिसमें यह सच है को भी असाइन किया गया है। (इसके विपरीत, यदि किसी क्लॉज में सभी शाब्दिक गलतियाँ दी गई हैं, तो यह ग्राफ संरचना क्लॉज-वर्टेक्स को या तो फॉल्स या ट्रू को असाइन करने की अनुमति देती है।) अंत में, की पसंद यह सुनिश्चित करती है कि क्लॉज-केर्सेस के k में फाल्स और हैं। c - उनमें से k को असाइन किया गया है True। तो, अगर इस ग्राफ़ का एक मान्य संस्थानिक तरह है, तो वहाँ चर कि कम से कम बनाता है एक काम है कश्मीर की खंड के $k$$k$$c-k$$k$$\varphi$असत्य (सभी क्लॉज-वर्टिस को जो फाल्स को सौंपा गया था, और संभवतः उनमें से कुछ जिन्हें ट्रू असाइन किया गया था)। इसके विपरीत, यदि वहाँ चर कि कम से कम बनाता है एक काम है की खंड के φ झूठी, तो इस ग्राफ का एक मान्य संस्थानिक तरह (हम स्पष्ट तरीके से शाब्दिक-कोने के लिए लेबल में भरने के है, और के लिए प्रत्येक खंड φ जो सत्य है, हम इसके संबंधित खंड-शीर्ष को एक लेबल देते हैं जो कि True से मेल खाता है, अन्य खंड-कोने एक मनमाना सत्य मान के अनुरूप लेबल प्राप्त कर सकते हैं)।$k$$\varphi$$\varphi$

Comments

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद! मैं आपके स्केच को समझने की कोशिश कर रहा हूं। क्या आप समझाएंगे कि क्या है? $k$

— a3nm

@ a3nm: k एक पैरामीटर है जो मिनसैट इनपुट के लिए दिया जाता है।

— डोमपोटर

@Marzio: सैट के साथ MinSAT के बराबर नहीं है , जैसा कि बाद की समस्या में हम सभी खंडों को गलत होने की आवश्यकता होगी। आपका φ एक सब खंड झूठी काम नहीं है। बेशक यह साबित नहीं होता है कि मेरी कमी सही है ...$k=|c|$$\phi$

— डोमोटर

यह एक भव्य कमी है! @ a3nm, मैंने डोमोटर की सुरुचिपूर्ण कमी को और अधिक विस्तार से समझाने के लिए उत्तर को संपादित करने का सुझाव दिया है; यदि यह स्वीकृत है, तो उम्मीद है कि यह विचारों को अधिक स्पष्ट रूप से समझने में आपकी मदद करेगा।

— डीडब्ल्यू

@domotorp: आप सही हैं, मैं पूरी तरह से चूक गया कि मिनसैट क्या है। अच्छी कमी !!!

— मारजियो डी बियासी

Answer 2

ध्यान दें कि यदि आप को मनमाना होने की अनुमति देकर समस्या को शांत करते हैं (आवश्यक रूप से विशेषण नहीं), तो यह बहुपद बन जाता है। एल्गोरिथ्म समान रूप से टोपोलॉजिकल सॉर्टिंग के लिए आगे बढ़ता है: आप एक-एक करके वर्टीकल्स को क्रमबद्ध करते हैं, बिना सेट किए गए यू के सेट को बनाए रखते हैं जिनके पड़ोसियों को गिना गया है। जब भी संभव हो, आप एक वर्टेक्स x ever U चुनें और इसे अपने पड़ोसी की संख्या की तुलना में S ( x ) के सबसे छोटे तत्व के साथ संख्या दें । यह देखना मुश्किल नहीं है कि एक उदाहरण ( G , S ) का हल है यदि पिछले एल्गोरिथ्म पर चला गया ( G $f$$U$$x \in U$$S(x)$$(G,S)$ सभी लंबित संख्याओं के साथ समाप्त होता है।$(G,S)$

Comments

निष्पक्ष बिंदु, इस छूट का मतलब है कि एक लालची अनुमानी काम करता है, और यह उस स्थिति में भी है जहां कोने की संख्या नहीं है, लेकिन एक मनमाना मूल्य है। क्या हम इस बात से सहमत हैं कि बाद के मामले में, जहां इंजेक्शन और सर्जिटिविटी अब समान नहीं हैं, आपको काम करने के लिए लालची अनुमान के लिए दोनों (और सिर्फ एक नहीं) को आराम करने की आवश्यकता होगी? $n$

— a3nm

Answer 3

एक तुच्छ अवलोकन है कि अगर सभी एक्स के लिए , फिर 2 एसएटी में कमी करके, बहुपद समय में यह समस्या हल हो सकती है।$|S(x)| \le 2$$x$

ऐसे। एक चर का परिचय के लिए प्रत्येक शीर्ष एक्स और प्रत्येक मैं ऐसा है कि मैं ∈ एस ( एक्स ) । के लिए प्रत्येक जोड़ी एक्स , वाई कोने की है, अगर वहाँ से एक रास्ता है एक्स के लिए y , हम कुछ बाधाओं मिलती है: अगर मैं ∈ एस ( एक्स ) , जे ∈ एस ( y ) , और मैं > j , तो हम बाधा मिल ¬ v x , $v_{x,i}$$x$$i$$i \in S(x)$$x,y$$x$$y$$i\in S(x)$$j\in S(y)$$i>j$ । Bijectivity हमें बाधाओं का एक और सेट देता है: के लिए प्रत्येक जोड़ी एक्स , वाई के साथ कोने की एक्स ≠ y , अगर मैं ∈ एस ( एक्स ) और मैं ∈ एस ( y ) , हम जोड़ने ¬ वी एक्स , मैं ∨ ¬ वी वाई , मैं । अंत में, आवश्यकता है कि प्रत्येक शीर्ष को एक लेबल सौंपा जाना चाहिए, हमें बाधाओं का एक और सेट देता है: प्रत्येक x के लिए , यदि एस $\neg v_{x,i} \lor \neg v_{y,j}$$x,y$$x\ne y$$i \in S(x)$$i \in S(y)$$\neg v_{x,i} \lor \neg v_{y,i}$$x$ , हम बाधा मिल वी एक्स , मैं ∨ वी एक्स , जे । (ध्यान दें कि केवल बाधाओं के अंतिम सेट वादा का फायदा उठाने कि | एस ( एक्स ) | ≤ 2 प्रत्येक के लिए एक्स ।)$S(x)=\{i,j\}$$v_{x,i} \lor v_{x,j}$$|S(x)|\le 2$$x$

मुझे पता है कि यह अवलोकन आपकी विशेष स्थिति में आपकी मदद नहीं करेगा। उसके लिए माफ़ करना।