क्या वी.ओ. तर्क का एक प्राकृतिक प्रतिबंध है जो P या NP को दर्शाता है?

Question

कागज़

• लॉरी हेला और जोस मारिया तुरुल-टॉरेस, उच्च-क्रम लॉजिक्स , टीसीएस 355 197-214, 2006 के साथ कम्प्यूटिंग क्वेश्चन। doi: 10.1016 / j.tcs.2006.01.009

तर्क VO, चर-क्रम तर्क का प्रस्ताव करता है। यह चर पर आदेशों पर मात्रा का ठहराव की अनुमति देता है। VO काफी शक्तिशाली है और कुछ गैर-गणना योग्य प्रश्नों को व्यक्त कर सकता है। (जैसा कि नीचे आर्थर मिल्चियोर द्वारा बताया गया है, यह वास्तव में संपूर्ण विश्लेषणात्मक पदानुक्रम पर कब्जा कर लेता है ।) लेखक दिखाते हैं कि ऑर्डर वेरिएबल्स पर केवल बंधे हुए सार्वभौमिक परिमाणीकरण की अनुमति देकर प्राप्त वीओ का टुकड़ा सभी सीई प्रश्नों को व्यक्त करता है। VO आदेश चर को प्राकृतिक संख्याओं के ऊपर ले जाने की अनुमति देता है, इसलिए आदेश चर को बाध्य करना स्पष्ट रूप से लागू करने के लिए एक प्राकृतिक स्थिति है।

क्या VO (एन) का एक अच्छा (अच्छा) टुकड़ा है जो P या NP को दर्शाता है?

एक सादृश्य के रूप में, क्लासिकल फर्स्ट-ऑर्डर लॉजिक में ऑब्जेक्ट्स के सेट पर मात्रा का ठहराव करने की अनुमति देता है, जो दूसरे-ऑर्डर लॉजिक या SO नामक एक अधिक शक्तिशाली लॉजिक देता है । एसओ बहुपद पदानुक्रम पर कब्जा करता है ; यह आमतौर पर PH = SO के रूप में लिखा जाता है। एन पी =: वहाँ इतना महत्वपूर्ण जटिलता वर्गों पर कब्जा करने के लिए प्रतिबंधित रूप हैं अतः, पी = SO-हॉर्न और NL = SO-क्रोम। इन्हें अनुमत फ़ार्मुलों के सिंटैक्स पर प्रतिबंध लगाकर प्राप्त किया जाता है।$\exists$

तो दिलचस्प वर्ग प्राप्त करने के लिए एसओ को प्रतिबंधित करने के सीधे तरीके हैं। मैं यह जानना चाहूंगा कि क्या वीओ के समान सीधे प्रतिबंध हैं जो पी या एनपी के लिए मुख्य रूप से अभिव्यक्तता का सही स्तर हैं। यदि इस तरह के प्रतिबंध ज्ञात नहीं हैं, तो मैं संभावित उम्मीदवारों के लिए सुझावों में दिलचस्पी लूंगा, या कुछ तर्कों में कि इस तरह के प्रतिबंधों की संभावना नहीं है।

मैंने कुछ (कुछ) पत्रों की जाँच की है जो इस का हवाला देते हैं, और Google और विद्वान पर स्पष्ट वाक्यांशों की जाँच की, लेकिन स्पष्ट रूप से प्रासंगिक कुछ भी नहीं मिला। फ़र्स्ट-ऑर्डर की तुलना में लॉजिक्स से अधिक शक्तिशाली अधिकांश कागजात "उचित" गणनाओं के दायरे में बिजली लाने के लिए प्रतिबंधों से निपटने के लिए प्रतीत नहीं होते हैं, लेकिन अंकगणित और विश्लेषणात्मक वर्गों के सीई ब्रह्मांड में रहने के लिए सामग्री लगती है। मुझे खोज करने के लिए एक पॉइंटर या एक गैर-स्पष्ट वाक्यांश के साथ खुशी होगी; यह अच्छी तरह से उच्च क्रम लॉजिक्स में काम करने वाले किसी व्यक्ति के लिए जाना जा सकता है।

Comments

जबकि सीएस समुदाय के बीच संक्षिप्त रूप से प्रसिद्ध हैं, मैं उन्हें "बाकी हम में से" के लिए विस्तारित करना चाहता हूं: पीएच (बहुपद-समय पदानुक्रम), एसओ (द्वितीय-आदेश तर्क), और वीओ (चर-क्रम तर्क)।

— एमएस डौस्ती

वास्तव में मैंने इससे पहले वीओ के बारे में कभी नहीं सुना है, इसलिए स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद।

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश: हां, मैं यह कहना भूल गया कि वीओ बिल्कुल भी जाना-पहचाना नहीं है। वैसे भी, आपका स्वागत है!

— एमएस डौस्ती

यहाँ विभिन्न लॉजिक्स और जटिलता वर्गों का अच्छा चित्रण है: cs.umass.edu/~immerman/descriptive_complexity.html , हालांकि इसमें VO का उल्लेख नहीं है।

— एमएस डौस्ती

शायद मैं स्पष्ट नहीं था: VO को एक दशक से भी कम समय पहले परिभाषित किया गया था, और यह अच्छी तरह से ज्ञात नहीं है। मुझे इसमें दिलचस्पी है क्योंकि यह फिक्स्ड-पॉइंट ऑपरेटरों का उपयोग किए बिना, इसे और अधिक शक्तिशाली बनाने के लिए पहले-क्रम तर्क का विस्तार करने का एक तरीका है।

— अंद्रस सलामन

Answer 1

नोट: यह वास्तव में सवाल का जवाब नहीं दे रहा है, यह सिर्फ कुछ टिप्पणियों के उत्तर के रूप में पोस्ट किया गया है। :)

$\exists$$PH$$P$$NP$

CE सेट पर कब्जा करने के लिए एक अनबाउंड क्वांटिफायर की उपस्थिति पर्याप्त है?

समस्या यह है कि आप शायद यह चाहते हैं कि भाषा अतिरिक्त प्रतीकों जैसे कि समानता, जोड़, गुणा (दाएं?) के बिना हो, अगर हमारे पास थी तो एमआरडीपी प्रमेय द्वारा, डायोफैंटीन फॉर्मूले (दो बहुपद की समानता के सामने प्रथम-क्रमिक अस्तित्वीय मात्रात्मक) CE सेट पर कब्जा होगा। यदि हम इन प्रतीकों को भाषा में अनुमति नहीं दे रहे हैं, तो समस्या अधिक जटिल है, कोई भी उन्हें परिभाषित करने के लिए उच्च आदेश मात्रा का उपयोग कर सकता है, लेकिन इससे मात्रात्मक जटिलता बढ़ जाएगी। इसलिए यदि मैं किसी एकल क्वांटिफायर के बारे में आपके प्रश्न का संक्षिप्त उत्तर देना चाहता हूं, तो मुझे नहीं पता।

$AC^0$$AC^0$$c$$e$$x$

कुछ अतिरिक्त टिप्पणियां:

$AC^0$

Answer 2

जानकारी के लिए, वीओ वास्तव में आपके राज्य की तुलना में अधिक शक्तिशाली है; इसमें संपूर्ण विश्लेषणात्मक पदानुक्रम शामिल है (इसलिए, संपूर्ण अंकगणितीय पदानुक्रम)। परिणाम प्रकाशित नहीं हुआ है, न ही किसी भी स्थान पर प्रस्तुत किया गया है, लेकिन आप इसे मेरे पेज, www.milchior.fr/ho.pdf अनुभाग 7 पृष्ठ 47 पर पा सकते हैं।

$\forall i \forall X^i\forall j\exists Y^j (X^i=Y^j)$$\forall i \forall X^i\forall i\exists Y^i (X^i=Y^i)$$i$$X$$^i$$X$

$\phi(i)$$i$$k$$i>k$$\phi(i)$$k$$\phi(i)$$\forall i \phi(i)$$\forall i < k \phi(i)$

और, आप निश्चित रूप से स्वीकार किए गए अधिकतम ऑर्डर को रोककर वीओ को रोक सकते हैं; लेकिन तब आप एक "उच्च क्रम" भाषा (HO) प्राप्त करते हैं, और यह संभवतः वह नहीं है जो आप चाहते हैं।

Comments

चर्चा के लिए धन्यवाद, मैं आपके सुधार को देखूंगा। क्या आपके पास तर्क को प्रतिबंधित करने के कुछ तरीकों के लिए कोई सुझाव है तो यह इतना शक्तिशाली नहीं है - क्या कुछ ऐसा होगा जैसे कि हॉर्न क्लॉज के साथ सीएनएफ में सूत्र के अयोग्य हिस्से को उपयोगी होने की आवश्यकता है, क्योंकि यह शास्त्रीय क्वांटिफायर के साथ है?

— एन्द्र दास सलामोन

अधिक सटीक होने के लिए, मेरा मतलब है कि एसएनपी की तर्ज पर एक सिंटैक्टिक प्रतिबंध, जहां एसओ क्वांटिफायर्स को विशिष्ट फॉर्म के एसओ के लिए लागू किया जाता है (एसएनपी के लिए, केवल सार्वभौमिक एफओ क्वांटिफायर के साथ), और फिर आगे प्रतिबंध लागू होते हैं, जैसे कि एफओ क्वांटिफायर के अंदर हॉर्न या क्रॉम के लिए एफओ सूत्र। आपके अनुभाग 5.3 का अंतिम पैराग्राफ इस बारे में बात करता है, लेकिन मैं आपकी टिप्पणी को नहीं समझता कि दृष्टिकोण समस्याग्रस्त है।

— आंद्रेस सलामोन

मेरा सुझाव है कि आप उच्च क्रम तर्क में हॉर्न और क्रॉम पर मिलने वाली समस्या के बारे में मेरे कागज के खंड ४.३ पृष्ठ ३४ को पढ़ें। आप वैरिएबल ऑर्डर में एक ही समस्या को पूरा करेंगे (जो स्पष्ट रूप से हाई ऑर्डर का एक सुपरसेट है)

— आर्थर मिलिशोर

Answer 3

आपकी टिप्पणी का उत्तर देने के लिए, मुझे लगता है कि मुझे एक और उत्तर देना चाहिए, केवल क्रॉम और हॉर्न पर बोलना (हो सकता है कि मुझे CSTheory के बारे में एक प्रश्न पूछना चाहिए)

मेरा सुझाव है कि आप उच्च क्रम तर्क में हॉर्न और क्रॉम पर मिलने वाली समस्या के बारे में मेरे कागज के खंड ४.३ पृष्ठ ३४ को पढ़ें। आप वैरिएबल ऑर्डर में एक ही समस्या को पूरा करेंगे (जो स्पष्ट रूप से उच्च आदेश का एक सुपरसेट है)।

मुझे नहीं पता कि आपने इस पर ध्यान दिया है, लेकिन एसओ (क्रॉम) पी के बराबर है जब पहला आदेश सार्वभौमिक है; यदि आप अस्तित्व-संबंधी प्रथम क्रम चर जोड़ते हैं तो आप NP-पूर्ण समस्या को व्यक्त कर सकते हैं। (मुझे पहले जो उदाहरण याद नहीं है, अगर आप चाहें तो मैं इसे खोजने की कोशिश कर सकता हूं)

मुझे नहीं पता कि उच्च क्रम या परिवर्तनीय आदेश तर्क के लिए यह वाक्यविन्यास प्रतिरोध क्या हो जाएगा ... मेरा कहना सिर्फ इतना है कि आपको क्वांटिफायर को नियंत्रित करने के लिए एक अच्छा तरीका सोचना चाहिए, क्योंकि केवल क्वांटिफायर-मुक्त भाग को रोकना उपयोगी नहीं है ( कम से कम क्रॉम सूत्रों के लिए)

Comments

अंतर्दृष्टि के लिए धन्यवाद। यह निश्चित रूप से आगे के विचार की आवश्यकता है!

— आंद्र सलामोन