कब (या होना चाहिए) सैद्धांतिक सीएस अंतर्ज्ञानवादी प्रमाणों के बारे में परवाह करता है?

Question

जो मैं समझता हूं (जो बहुत कम है, इसलिए कृपया मुझे सही करें जहां मैं गलत हूं!), प्रोग्रामिंग भाषाओं का सिद्धांत अक्सर "अंतर्ज्ञानवादी" प्रमाणों से संबंधित होता है। मेरी अपनी व्याख्या में, दृष्टिकोण की आवश्यकता है कि हम तर्क और उत्तेजना पर गणना के परिणामों को गंभीरता से लें। एक प्रमाण मौजूद नहीं हो सकता जब तक कि परिकल्पना से परिणाम का निर्माण करने वाला एक एल्गोरिथ्म मौजूद न हो । हम एक स्वयंसिद्ध रूप में बाहर कर बीच के सिद्धांत को अस्वीकार कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, क्योंकि यह कुछ वस्तु है, जो या तो है दर्शाती या ¬ एक्स nonconstructively,।$X$$\lnot X$

उपरोक्त दर्शन हमें उन लोगों पर सहज ज्ञान युक्त मान्य प्रमाण पसंद करने के लिए प्रेरित कर सकता है जो नहीं हैं। हालांकि, मैंने सैद्धांतिक सीएस के अन्य क्षेत्रों में कागजों में वास्तव में अंतर्ज्ञान तर्क का उपयोग करने के बारे में कोई चिंता नहीं देखी है। हम शास्त्रीय तर्क का उपयोग करके अपने परिणामों को साबित करने में खुश लग रहे हैं। उदाहरण के लिए, कोई यह साबित करने के लिए बहिष्कृत मध्य के सिद्धांत का उपयोग करने की कल्पना कर सकता है कि एक एल्गोरिथ्म सही है। दूसरे शब्दों में, हम अपने परिणामों में एक कम्प्यूटेशनल-सीमित ब्रह्मांड के बारे में गंभीरता से ध्यान रखते हैं, लेकिन जरूरी नहीं कि इन परिणामों के प्रमाणों में भी।

1. क्या सैद्धांतिक सीएस में शोधकर्ता कभी सहज ज्ञान युक्त वैध प्रमाण लिखने के बारे में चिंतित हैं? मैं आसानी से सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के एक उपक्षेत्र की कल्पना कर सकता हूं जो यह समझने की कोशिश करता है कि टीसीएस परिणाम, विशेष रूप से एल्गोरिदम वाले, अंतर्ज्ञानवादी तर्क में पकड़ (या अधिक दिलचस्प, जब वे नहीं करते हैं)। लेकिन मैं अभी तक किसी के सामने नहीं आया हूं।

2. क्या कोई दार्शनिक तर्क है जो उन्हें करना चाहिए? ऐसा लगता है कि कोई दावा कर सकता है कि कंप्यूटर विज्ञान के परिणाम संभव होने पर अंतर्ज्ञान से सिद्ध होने चाहिए, और हमें यह जानना चाहिए कि किन परिणामों की आवश्यकता है जैसे कि पीईएम। क्या किसी ने इस तरह का तर्क देने की कोशिश की है? या शायद एक आम सहमति है कि यह सवाल बहुत महत्वपूर्ण नहीं है?

3. एक पक्ष के प्रश्न के रूप में, मैं उन मामलों के उदाहरणों को जानने के लिए उत्सुक हूं जहां यह वास्तव में मायने रखता है: क्या टीसीएस के महत्वपूर्ण परिणाम शास्त्रीय तर्क रखने के लिए जाने जाते हैं लेकिन अंतर्ज्ञानवादी तर्क में नहीं? या संदेहवादी तर्क में पकड़ न रखने का संदेह।

प्रश्न की कोमलता के लिए क्षमा याचना! विशेषज्ञों से सुनने के बाद इसे रिवाइडिंग या पुनर्व्याख्या की आवश्यकता हो सकती है।

Comments

इस सवाल के एक पहलू पर 'मौत के लिए' शोध किया गया है। अंतर्ज्ञानवादी साक्ष्यों और कार्यक्रमों के बीच संबंध का नाम करी-हावर्ड पत्राचार है । संक्षेप में, कार्यक्रम = अंतर्ज्ञानवादी प्रमाण, प्रकार = प्रस्ताव, दोहरा नकार == कूदता है।

— मार्टिन बर्जर

एक महत्वपूर्ण टीसीएस परिणाम जिसे अंतर्ज्ञानवादी तर्क में पकड़ नहीं है, लेकिन शास्त्रीय तर्क में है: हर कार्यक्रम या तो समाप्त हो जाता है, या बिना समय की राशि के चलता है। :)

— कोड़ी

@MartinBerger - हाँ, लेकिन मेरे प्रश्न को दूसरे तरीके से बताने के लिए, क्या हम वास्तव में परवाह करते हैं कि हम जो प्रमाण लिखते हैं वह अंतर्ज्ञानवादी हैं, या क्या हम केवल ऐसे प्रमाणों का अध्ययन करने में रुचि रखते हैं ?

— usul

@ कोडी, उर्फ मार्कोव सिद्धांत । + usul, मुझे लगता है कि जो आपके मन में है वह अंतर्ज्ञानवादी तर्क नहीं बल्कि रचनात्मक गणित है । आप अकेले अंतर्ज्ञानवादी तर्क में बहुत कुछ नहीं कर सकते हैं और यह मुझे लगता है कि अंतर्ज्ञानवाद पर आपका जोर रचनात्मक गणित से अलग न होने से आता है।

— केवह

@ येसुल हां, हम परवाह करते हैं, क्योंकि करी-हावर्ड पत्राचार के अनुसार, अंतर्ज्ञानवादी प्रमाण 'अच्छा' प्रोग्रामिंग भाषाओं (जैसे कोई फंकी कंट्रोल कंस्ट्रक्शन) में कार्यक्रम नहीं हैं, जबकि वास्तव में शास्त्रीय साक्ष्य अधिक सामान्य भाषा में प्रोग्राम हैं।

— मार्टिन बर्गर

Answer 1

जैसा कि मैंने टिप्पणियों में कहा, अंतर्ज्ञानवादी तर्क मुख्य बिंदु नहीं है। अधिक महत्वपूर्ण बिंदु एक रचनात्मक प्रमाण है। मुझे लगता है कि मार्टिन-लोफ का प्रकार सिद्धांत अंतर्ज्ञानवादी तर्क की तुलना में प्रोग्रामिंग भाषा सिद्धांत के लिए बहुत अधिक प्रासंगिक है और ऐसे विशेषज्ञ हैं जिन्होंने तर्क दिया है कि मार्टिन-लोफ का काम रचनात्मक गणित में सामान्य रुचि के पुनरुद्धार का मुख्य कारण है।

रचनात्मकता की संगणनात्मक व्याख्या एक संभव परिप्रेक्ष्य है, लेकिन यह केवल एक ही नहीं है। जब हम रचनात्मक प्रमाणों की तुलना शास्त्रीय प्रमाणों से करना चाहते हैं तो हमें यहाँ सावधान रहना चाहिए। हालाँकि दोनों समान प्रतीकों का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन उन प्रतीकों से उनका मतलब अलग-अलग है।

यह याद रखना हमेशा अच्छा होता है कि शास्त्रीय साक्ष्यों का अनुवाद अंतर्ज्ञानवादी साक्ष्यों में किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक अर्थ में, शास्त्रीय तर्क अंतर्ज्ञानवादी तर्क का एक उपतंत्र है। इसलिए आप समझ सकते हैं (कहें कि कम्प्यूटेशनल कार्यों का उपयोग करना) एक अर्थ में शास्त्रीय प्रमाण हैं। दूसरी ओर, हम रचनात्मक गणित को शास्त्रीय सेटिंग में कुछ गणितीय प्रणाली के रूप में सोच सकते हैं।

$A \lor B$$A \lor B$$\lor$

$\forall x \ \exists y \ \varphi(x,y)$$x$$y$$\varphi(x,y)$$y$$y$$x$$A$$x$$\varphi(x,A(x))$$A$

अब हम व्यवहार में अंतर्ज्ञानवादी तर्क का उपयोग क्यों नहीं करते हैं? इसके कई कारण हैं। उदाहरण के लिए, हम में से अधिकांश उस सेटिंग के साथ प्रशिक्षित नहीं हैं। किसी कथन का शास्त्रीय प्रमाण खोजना भी इसका रचनात्मक प्रमाण खोजने से बहुत आसान हो सकता है। या हम निम्न-स्तरीय विवरणों के बारे में परवाह कर सकते हैं जो एक रचनात्मक सेटिंग में छिपे हुए और सुलभ नहीं हैं ( रैखिक तर्क भी देखें )। या हम केवल एक रचनात्मक प्रमाण के साथ आने वाले अतिरिक्त सामान को प्राप्त करने में उदासीन हो सकते हैं। और यद्यपि सबूत से प्रोग्राम निकालने के लिए उपकरण हैं, इन उपकरणों को आम तौर पर बहुत विस्तृत प्रमाण की आवश्यकता होती है और सामान्य सिद्धांतकार के लिए पर्याप्त उपयोगकर्ता के अनुकूल नहीं है। संक्षेप में, बहुत कम लाभ के लिए बहुत अधिक दर्द।

$\Pi^0_2$$PA$$PA$$PA$

मुझे याद है कि डगलस एस। पुलों ने अपनी कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत पुस्तक के परिचय में तर्क दिया कि हमें अपने परिणामों को रचनात्मक रूप से साबित करना चाहिए। वह एक उदाहरण देता है जो IIRC अनिवार्य रूप से निम्नानुसार है:

मान लें कि आप एक बड़ी सॉफ्टवेयर कंपनी के लिए काम करते हैं और आपका प्रबंधक आपसे किसी समस्या के समाधान के लिए एक कार्यक्रम के लिए कहता है। क्या दो कार्यक्रमों के साथ वापस आना और अपने प्रबंधक को इन दोनों में से किसी एक को सही ढंग से बताना उचित होगा लेकिन मुझे नहीं पता कि कौन सा है?

अंत में, हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि यद्यपि हम शास्त्रीय और अंतर्ज्ञान संबंधी लॉगिक्स के लिए समान प्रतीकों का उपयोग करते हैं लेकिन इन प्रतीकों के अलग-अलग अर्थ हैं, और उपयोग करने के लिए हम जो व्यक्त करना चाहते हैं उस पर निर्भर करता है।

आपके अंतिम प्रश्न के लिए, मुझे लगता है कि रॉबर्टसन-सीमोर प्रमेय एक प्रमेय का उदाहरण होगा जिसे हम जानते हैं कि यह शास्त्रीय रूप से सत्य है लेकिन हमारे पास इसका कोई रचनात्मक प्रमाण नहीं है। यह भी देखें

• क्या गैर-रचनात्मक एल्गोरिथ्म अस्तित्व प्रमाण हैं?

Comments

"सिद्धांत A" क्या है और मुझे विशेष रूप से इसके अंदर के साक्ष्यों की परवाह क्यों करनी चाहिए?

— स्टेला बिडरमैन

@StellaBiderman: blog.computationalcomplexity.org/2003/03/...

— कावेह

Answer 2

यह सोचने लायक है कि क्यों अंतर्ज्ञानवादी तर्क संगणना के लिए प्राकृतिक तर्क है, क्योंकि सभी अक्सर लोग तकनीकी विवरणों में खो जाते हैं और मुद्दे के सार को समझने में विफल होते हैं।

बहुत सरलता से, शास्त्रीय तर्क सही जानकारी का एक तर्क है: सिस्टम के भीतर सभी कथनों को स्पष्ट या असत्य के रूप में जाना या जाना माना जाता है।

दूसरी ओर, अंतर्विरोधी तर्क में अज्ञात और अनजाने सत्य मूल्यों के साथ बयानों के लिए जगह है। यह गणना के लिए आवश्यक है, क्योंकि, सामान्य मामले में समाप्ति की अनिर्वायता के लिए धन्यवाद, यह हमेशा निश्चित नहीं होगा कि कुछ बयानों का सत्य मूल्य क्या होगा, या यहां तक ​​कि सत्य मान कभी भी कुछ बयानों को सौंपा जा सकता है या नहीं ।

$\neg\neg P \implies P$

मेरी राय में, ये "शब्दार्थ" कारण किसी भी अन्य तकनीकी कारणों से गणना के लिए अंतर्ज्ञानवादी तर्क के उपयोग के लिए एक बहुत महत्वपूर्ण प्रेरणा हैं।

Answer 3

वास्तविक दुनिया की क्रिप्टोग्राफिक हैश फ़ंक्शन जैसे MD5 और SHA बिना चाबी के हैं। जैसे, यह सैद्धांतिक क्रिप्टोग्राफी से तकनीकों को लागू करने के लिए उनकी सुरक्षा के बारे में तर्क करने में काफी मुश्किल बनाता है। सरल कारण क्यों: किसी भी कीलेस हैश फ़ंक्शन के लिए, एक बहुत छोटा प्रोग्राम / विरोधी मौजूद होता है जो उस हैश फ़ंक्शन के तहत टकराव को आउटपुट करता है; अर्थात्, एक ऐसा कार्यक्रम जिसमें ऐसी टक्कर होती है - जिसका अस्तित्व होना चाहिए! -- हार्ड कोडित।

फिल रोगवे का पेपर ह्यूमन इग्नोरेंस फ़ॉरलाइज़िंग: कोलिशन-रेसिस्टेंट हैशिंग बिना कीज़ इस समस्या से निपटता है। इसमें वह दिखाता है कि कीज़ हैश फ़ंक्शंस के लिए कुछ बहुत ही मानक प्रमेय (जैसे मर्कले-डैमेज निर्माण और हैश-तब-साइन प्रतिमान) को "अंतर्ज्ञानवादी-मित्रवत" प्रमेय के साथ फिर से साबित किया जा सकता है, जो बिना हैश किए गए फ़ंक्शंस पर लागू होता है।

Answer 4

यहाँ कंप्यूटर विज्ञान , 300pp के लिए एक व्यापक ऑनलाइन पुस्तक लॉजिक से अंतर्ज्ञान तर्क पर एक अच्छा अध्याय है । [१] सेकंड 9.5, P210, p220 पर सारांश:

अंतर्ज्ञानवादी तर्क गणित में रचनावादी आंदोलन से उत्पन्न हुआ, जिसने गैर-रचनात्मक अस्तित्व के प्रमाणों को खारिज कर दिया या जो बहिष्कृत बीच के कानून पर आधारित थे। हाल ही में अंतर्ज्ञान गणित और प्रोग्रामिंग के बीच एक संबंध अवलोकन से निकला है कि प्रस्ताव और प्रकार (प्रोग्रामिंग अर्थ में) बराबर हैं। इस औपचारिक प्रणाली में एल्गोरिथ्म विकास, जो प्राकृतिक कटौती पर आधारित है, में तार्किक संकेतन में एक विनिर्देश लिखना होता है और फिर, इसे एक प्रकार के रूप में मानते हुए, यह साबित करता है कि यह गैर-रिक्त है। क्योंकि अंतर्निहित तर्क प्रमाण रचनात्मक है, अगर इसे बाहर किया जा सकता है,

पास के अन्य परिप्रेक्ष्य में TCSist Andrej Bauer "गणित और संगणना; गणित के लिए कंप्यूटर" पर लिखते हैं, [2] जो मूल रूप से प्रस्ताव करते हैं कि "अंतर्ज्ञान गणित गणित के लिए अच्छा है"। प्रस्तुति मुख्य रूप से भौतिकी के संदर्भ में है, लेकिन उन लोगों के लिए जो सीएस को भौतिकी के साथ कसकर जोड़ते हैं , विचारधारा आम तौर पर टीसीएस तक ले जाएगी।

कम्प्यूटेशनल व्याख्या। यह कंप्यूटर विज्ञान में आमतौर पर प्रस्तुत अंतर्ज्ञान तर्क की व्याख्या है। हम सभी सेटों को उपयुक्त डेटा संरचनाओं द्वारा दर्शाया गया है - एक कंप्यूटर वैज्ञानिक के लिए एक उचित दृष्टिकोण। तब एक कथन को सत्य माना जाता है यदि कोई कार्यक्रम (कम्प्यूटेशनल साक्ष्य) मौजूद हो तो उसकी सच्चाई देखी जाती है।

[१] कंप्यूटर विज्ञान, रीव्स और क्लार्क के लिए तर्क

[२] भौतिकी बाउर के लिए अंतर्ज्ञानवादी गणित