क्या गैर-रचनात्मक एल्गोरिथ्म अस्तित्व प्रमाण हैं?

Question

मुझे याद है कि मुझे उन समस्याओं के संदर्भ में सामना करना पड़ा होगा जो एक विशेष जटिलता के साथ हल करने योग्य साबित हुई हैं, लेकिन वास्तव में इस जटिलता तक पहुंचने के लिए कोई ज्ञात एल्गोरिथ्म नहीं है।

मैं अपने दिमाग को लपेटता हूं कि यह कैसे हो सकता है; एक एल्गोरिथ्म के अस्तित्व के लिए एक गैर-रचनात्मक प्रमाण कैसे दिखेगा।

क्या वास्तव में ऐसी समस्याएं मौजूद हैं? क्या उनके पास बहुत अधिक व्यावहारिक मूल्य है?

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रॉबर्टसन-सीमोर प्रमेय पर आधारित एल्गोरिदम ? या अधिक बस, एक एल्गोरिथ्म को साबित करने के लिए PEM का उपयोग करना मौजूद है जहाँ हम नहीं जानते कि कौन सी एक (टालने की समस्या प्रत्येक निश्चित ट्यूरिंग मशीन के लिए काफी निर्णायक है, लेकिन हम एक एल्गोरिथ्म को समस्या को हल किए बिना कैसे हल कर सकते हैं (एक समान संस्करण) हॉल्टिंग समस्या?) ps: "प्रैक्टिकल वैल्यू" से आपका क्या अभिप्राय है?

— केवह

क्यों, इसके सरल उदाहरण भी हैं ।

— राफेल

राफेल, यह मुझे लगता है कि आपकी टिप्पणी को उत्तर देने के लिए काफी उन्नत किया जा सकता है। शायद आप (या कोई) यह प्रयास कर सकते हैं?

— जॉन सिड्स

मुझे लगता है कि यह एक संभव डुप्लिकेट है क्या कुशल एल्गोरिदम के बिना समस्याएं हैं, जहां अस्तित्व प्रमेयों ने साबित कर दिया है कि ऐसे एल्गोरिदम मौजूद होने चाहिए?

— Artem Kaznatcheev

यह अभी विकिपीडिया पर है ।

— राफेल

Answer 1

फ़ंक्शन पर विचार करें ( यहां से लिया गया )

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

लुक के बावजूद, निम्न तर्क द्वारा गणना योग्य है। भी$f$

1. प्रत्येक n या केलिए होता है$0^n$$n$
2. एक ताकि होता है लेकिन नहीं होता है।0 k 0 k + $k$$0^k$$0^{k+1}$

हम जो यह (अभी तक) है पता नहीं है, लेकिन हम जानते हैं कि के साथ$f \in F = \{f_\infty, f_0, f_1, \dots \}$

1. $f_\infty(n) = 1$ और
2. $f_k(n) = [n \leq k]$ ।

चूंकि , की गणना योग्य है - लेकिन हम यह नहीं कह सकते कि क्या है। च $F \subset \mathsf{RE}$$f$$f$

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यह उत्तर अच्छा है, और इसलिए अन्य उत्तर हैं। जाहिर तौर पर jkff के प्रश्न का एक से अधिक उत्तर है, इस अर्थ में कि कई प्रमाण प्रौद्योगिकियां मौजूद हैं जो गैर-रचनात्मक रूप से एल्गोरिथ्म अस्तित्व को प्रदर्शित कर सकती हैं।

— जॉन सिडल्स जूल

हालांकि, मैं इसे "स्वीकार" के रूप में चिह्नित कर रहा हूं क्योंकि यह अब तक सबसे सरल है और एक गैर-रचनात्मक एल्गोरिथ्म अस्तित्व प्रमाण कैसे उत्पन्न हो सकता है के मूल विचार को प्रदर्शित करता है।

— jkff

@jkff यह जितना सरल है, इंट्रो TCS पाठ्यक्रमों में छात्रों के लिए यह एक बढ़िया व्यायाम है। इस फ़ंक्शन के प्रकाश में मेरी अंतर्ज्ञान / संगणना की अवधारणा को समायोजित करने में मुझे सप्ताह लग गए।

— राफेल

मैं एक मिलियन डॉलर की शर्त लगाने को तैयार हूं जो कि 1 स्थिर कार्य है। और मेरे पास एक मिलियन डॉलर नहीं है। $f$

— डैनियल मैक्लॉरी

Answer 2

यह वास्तव में आप क्या मतलब नहीं हो सकता है, लेकिन सेठ पेटी और विजया रामचंद्रन के इष्टतम न्यूनतम फैले हुए पेड़ एल्गोरिथ्म कुछ अर्थों में गैर-रचनात्मक हैं।

यह एक खुला प्रश्न है कि क्या रैखिक (मतलब ) समय में न्यूनतम फैले पेड़ों की गणना करने के लिए एक नियतात्मक एल्गोरिथम है । पेटीएम और रामचंद्रन एक एल्गोरिथ्म का वर्णन करते हैं जो एमएसटी की गणना रैखिक समय में करता है यदि ऐसा एल्गोरिथ्म मौजूद है ।$O(n+m)$

Intuitively, उनके एल्गोरिथ्म किसी भी कम कर देता है करने के लिए MST समस्या का -vertex उदाहरण हे ( एन / कश्मीर ) के साथ छोटे उदाहरणों हे ( कश्मीर ) रैखिक समय, में कोने जहां (माना) कश्मीर = हे ( लॉग लॉग लॉग लॉग लॉग लॉग लॉग n ) । फिर वे इष्टतम तुलना वाले पेड़ की गणना करते हैं जो किसी भी k -vertex ग्राफ के न्यूनतम फैले पेड़ की गणना ब्यूट बल बल द्वारा करता है; यहां तक ​​कि अगर यह कश्मीर में quintuply घातीय समय लेता है, तो यह केवल $n$$O(n/k)$$O(k)$$k = O(\log\log\log\log\log\log\log n)$$k$$k$ समय। अंत में, वे इस इष्टतम निर्णय पेड़ का उपयोग करके छोटे उदाहरणों को हल करते हैं।$O(\log\log n)$

दूसरे शब्दों में, पेटीएम और रामचंद्रन एक इष्टतम एमएसटी एल्गोरिथ्म का निर्माण केवल अप्रत्यक्ष रूप से करते हैं, एक इष्टतम एमएसटी एल्गोरिदम का निर्माण करने वाले एल्गोरिदम का निर्माण करके।

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यह अच्छा है! बीटीडब्ल्यू, उनका एल्गोरिथ्म एक निर्णय ट्री मॉडल में सबसे अच्छा चलने का समय से मेल खाता है, है ना?

— साशो निकोलेव

हाँ य़ह सही हैं!

— 19

कुछ अर्थों में, यह एक उच्च-रचनात्मक फ़ंक्शन की तुलना में अधिक-ऑर्डर फ़ंक्शन (यह एक ऐसा फ़ंक्शन है जो एक और फ़ंक्शन लेता है, और इसकी समय जटिलता का प्रमाण इनपुट की जटिलता पर निर्भर करता है) की तरह अधिक लगता है। मैं वास्तव में प्रदान करने के बिना एल्गोरिथ्म के अस्तित्व के अपने सबूत के निर्माण में शास्त्रीय तर्क (LEM, DNE, या Peirce) को महत्वपूर्ण रूप से आह्वान करने वाले कुछ भी मतलब के लिए गैर-रचनात्मक प्रमाण लेता हूं। यह अभी भी शांत है, हालांकि।

— कॉप्पकिन

Answer 3

यहाँ दो उदाहरण हैं।

1. रॉबर्टसन-सीमोर प्रमेय का उपयोग करते हुए कुछ एल्गोरिदम । प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक मामले के लिए एक सीमित बाधा है, लेकिन इस तरह के एक सेट को खोजने के लिए एक रास्ता प्रदान नहीं करता है। इसलिए, यद्यपि हम यह साबित कर सकते हैं कि एल्गोरिथ्म मौजूद है, एल्गोरिथ्म का स्पष्ट कथन परिमित अवरोध सेट पर निर्भर करेगा जिसे हम नहीं जानते कि कैसे खोजना है। दूसरे शब्दों में, हम जानते हैं कि एक एल्गोरिथ्म है, लेकिन हम नहीं जानते (अभी तक) कि कैसे एक को ढूंढना है।

2. एक मजबूत उदाहरण, हालांकि कम प्राकृतिक रूप से पीईएम या इसी तरह के गैर-रचनात्मक स्वयंसिद्धों का उपयोग करना आवश्यक है। यह इस अर्थ में मजबूत है कि हम एक एल्गोरिथ्म के रचनात्मक अस्तित्व को साबित कर सकते हैं कि यह एक गैर-रचनात्मक स्वयंसिद्ध होगा ( ब्रोवर के कमजोर काउंटर-उदाहरणों के समान )। ऐसा उदाहरण अधिक मजबूत है क्योंकि यह न केवल यह कहता है कि हम अभी किसी भी स्पष्ट एल्गोरिथ्म (या किसी को खोजने का कोई एल्गोरिथम तरीका) नहीं जानते हैं , लेकिन यह भी कि ऐसा करने की कोई उम्मीद नहीं है।

   एक उदाहरण के रूप में, हम एक एल्गोरिथ्म मौजूद है साबित करने के लिए PEM का उपयोग कर सकते हैं जबकि हम नहीं जानते कि कौन सा और एक खोजने का एक रचनात्मक तरीका एक गैर-रचनात्मक स्वयंसिद्ध होगा। मुझे एक सरल उदाहरण दें:

   हॉल्टिंग समस्या प्रत्येक निश्चित ट्यूरिंग मशीन (प्रत्येक टीएम या तो रुकती है या नहीं रुकती है, और प्रत्येक मामले में एक टीएम है जो सही उत्तर का उत्पादन करती है) के लिए काफी निर्णायक है , लेकिन हम एक एल्गोरिथ्म को हल किए बिना समस्या को सही तरीके से कैसे पा सकते हैं ( की वर्दी संस्करण) हॉल्टिंग समस्या?

   औपचारिक रूप से, हम रचनात्मक रूप से यह साबित नहीं कर सकते कि टीएम देखते हुए , टीएम एच टी है जो एम के लिए समस्या को हल करता है । औपचारिक रूप से, निम्नलिखित कथन को रचनात्मक रूप से सिद्ध नहीं किया जा सकता है:$M$$H_T$$M$

   $$\forall e\in \mathbb{N} \ \exists f\in \mathbb{N} \ \left[ (\{f\}( \ )=0 \land \{e\}\mathord{\downarrow}) \lor (\{f\}( \ )=1 \land \{e\}\mathord{\uparrow}) \right]$$

   यहाँ कोड e ( TM के कुछ निश्चित प्रतिनिधित्व में) के साथ TM है, { e } ↓ का अर्थ है { e } हाल्ट, और { f } ↑ का अर्थ है { f } रुकना नहीं।$\{e\}$$e$$\{e\}\mathord{\downarrow}$$\{e\}$$\{f\}\mathord{\uparrow}$$\{f\}$

Comments

"प्रत्येक मामले के लिए परिमित रुकावट" क्या है? मुझे लगता है कि आपका मतलब है " मामूली बंद ग्राफ के प्रत्येक अनंत सेट के लिए परिमित रुकावट सेट " शेष भी अच्छा नहीं है (मैंने इसे ठीक करने के लिए आपके उत्तर को संपादित किया लेकिन अस्वीकार कर दिया गया लगता है, मैं इसे दोहराना नहीं पसंद करता हूं)।

— सईद

Answer 4

हाँ।

(1) में एक बिंदु पर, किसी भी परिमित डोमेन आकार, कै, चेन और लू के लिए जटिल-भारित गणना ग्राफ होमोर्फिज्म डायकोटॉमी प्रमेय केवल बहुपद प्रक्षेप के दौरान दो गिनती समस्याओं के बीच एक बहुपद-काल कमी के अस्तित्व को साबित करता है। मैं इस तरह के एक एल्गोरिथ्म के लिए किसी भी व्यावहारिक मूल्य का पता नहीं है।

देखेंXX संस्करण की धारा 4। प्रश्न में लेम्मा, लेम्मा 4.1 है, जिसे "प्रथम पिनिंग लेम्मा" कहा जाता है।

इस प्रमाण को रचनात्मक बनाने का एक तरीका लोवाज़ के परिणाम के जटिल-भारित संस्करण को साबित करना है , अर्थात्:

सभी के लिए , जेड एच ( जी , डब्ल्यू , मैं ) = जेड एच ( जी , डब्ल्यू , जे ) iff वहां मौजूद एक automorphism च की जी ऐसा है कि च ( मैं ) = j ।$G$$Z_H(G, w, i) = Z_H(G, w, j)$$f$$G$$f(i) = j$

यहाँ, में एक शीर्ष है एच , मैं और जे में कोने हैं जी , और जेड एच ( जी , डब्ल्यू , मैं ) सभी जटिल-भारित ग्राफ से homomorphisms से अधिक योग है जी के लिए एच जोड़ा प्रतिबंध के साथ कि मैं मैप किया जाना चाहिए करने के लिए डब्ल्यू ।$w$$H$$i$$j$$G$$Z_H(G, w, i)$$G$$H$$i$$w$

(1) जिन-यी कै, शी चेन और पिनान लू, कॉम्प्लेक्स वैल्यूज़ के साथ ग्राफ होमोमोर्फिम्स: ए डाइकोटॉमी प्रमेय ( arXiv ) ( ICALP 2010 )

Answer 5

80 के दशक के उत्तरार्ध से कुछ शुरुआती परिणाम:

• फेलो और लैंगस्टन, " बहुपद-समय विकृतीकरण साबित करने के लिए गैरसंरचनात्मक उपकरण ", 1988

• ब्राउन, फैलो, लैंगस्टन, " पोलीनोमियल-टाइम सेल्फ-रिड्यूसबिलिटी: सैद्धांतिक प्रेरणाएँ और व्यावहारिक परिणाम ", 1989

दूसरे आइटम के सार से:

ग्राफ थ्योरी में हाल के मौलिक अग्रिमों ने, हालांकि, शक्तिशाली नए गैर-अवरोधक उपकरण उपलब्ध कराए हैं जो पी में सदस्यता की गारंटी के लिए लागू किए जा सकते हैं। ये उपकरण दो अलग-अलग स्तरों पर गैर-प्रतिरोधी हैं: वे न तो निर्णय एल्गोरिथ्म का उत्पादन करते हैं, न केवल एक बाधा सेट की बारीकियों की स्थापना करते हैं। , न ही वे इस बात का खुलासा करते हैं कि इस तरह का निर्णय एल्गोरिथ्म समाधान के निर्माण में किसी भी सहायता का हो सकता है। हम इन उपकरणों के उपयोग की संक्षिप्त समीक्षा और चित्रण करते हैं, और जब ये नए उपकरण लागू होते हैं, तो वादा किए गए बहुपद-काल निर्णय एल्गोरिदम को खोजने के लिए प्रतीत होता है दुर्जेय कार्य पर चर्चा करते हैं।

Answer 6

समस्याओं के एक अनंत परिवार का एक उदाहरण (संदिग्ध व्यावहारिक मूल्य) जिसके लिए हम दिखा सकते हैं:

1. कि प्रत्येक समस्या के लिए इसे हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म मौजूद है।
2. कि इन एल्गोरिदम (सामान्य रूप से) के निर्माण का कोई तरीका नहीं है।

$M$

$L_{M}=\Bigl\{\langle M'\rangle \;\Big|\;\; L(M)=L(M') \text{ and } |\langle M\rangle| \geq | \langle M' \rangle| \Bigr\}$

1. $M$

2. $P$$M$$P(\langle M \rangle)$$L_M$$M$$M'$$|\langle M \rangle | \geq |\langle M' \rangle|$$P(\langle M \rangle)(\langle M' \rangle)$$P$

Comments

प्यारा। लेकिन इसका व्यावहारिक मूल्य आपके विचार से कम संदिग्ध हो सकता है: यह किसी दिए गए आउटपुट के साथ सबसे छोटा प्रोग्राम खोजने की समस्या का एक निर्णय संस्करण है, अर्थात इष्टतम डेटा संपीड़न।

— डेविड एप्पस्टीन

मुझे लगता है कि उदाहरण मेरे द्वारा दिए गए के समान है। ध्यान दें कि जब हम कह रहे हैं कि यह रचनात्मक नहीं है तो हम रचनात्मक शब्द को पुनरावर्ती / संगणक के रूप में व्याख्या कर रहे हैं जो कि रचनावाद के स्कूलों में से एक है।

— केवह

Answer 7

मारीके मास्सो, जेन्स श्मिट, डारिया शिमुरा और सियापक तज़ारी द्वारा मोहम्मदगाजी हाजीगाय के ट्यूटोरियल के लिए "बिदिमिमनिटी थ्योरी एंड अल्गोरिदमिक ग्राफ माइनर थ्योरी लेक्चर नोट्स"।

प्रत्येक लघु-बंद ग्राफ संपत्ति को निषिद्ध नाबालिगों के परिमित सेट द्वारा विशेषता दी जा सकती है।

दुर्भाग्य से, उनका परिणाम "स्वाभाविक" गैर-रचनात्मक है, अर्थात् कोई एल्गोरिथ्म नहीं है जो आम तौर पर यह निर्धारित कर सकता है कि किसी दिए गए मामूली-बंद ग्राफ संपत्ति के लिए नाबालिगों को बाहर रखा जाए। इसके अलावा, निषिद्ध नाबालिगों की संख्या अधिक हो सकती है: उदाहरण के लिए, 30,000 से अधिक निषिद्ध नाबालिगों के लिए एम्बेड किए जाने वाले ग्राफ़ के लिए जाना जाता है, फिर भी सूची अपूर्ण है।

[...]

प्रत्येक मामूली-बंद ग्राफ संपत्ति को बहुपद समय (घन समय में भी) में तय किया जा सकता है।

Answer 8

एल्गोरिथ्म Lovász स्थानीय लेम्मा - "एल्गोरिथम Lovász स्थानीय लेम्मा ऑब्जेक्ट्स के निर्माण का एक एल्गोरिथम तरीका देता है जो सीमित निर्भरता के साथ बाधाओं की एक प्रणाली का पालन करता है। ... हालांकि, लेम्मा गैर-रचनात्मक है कि यह कैसे पर कोई अंतर्दृष्टि प्रदान नहीं करता है। बुरी घटनाओं से बचने के लिए। ” वितरण पर कुछ मान्यताओं / सीमाओं पर, एक निर्मित एल्गोरिथ्म मोजर / टार्डोस [1] द्वारा दिया गया है। Lovasz स्थानीय लेम्मा के लिए जटिलता सिद्धांत के विभिन्न गहरे संबंध हैं जैसे कि देखें [2]

[१] मोजर, टार्डोस द्वारा सामान्य लोवेस्ज लोकल लेम्मा का एक रचनात्मक प्रमाण

[२] लोवेज़ लोकल लेम्मा एंड सैटिस्फिबिलिटी गबाउर , मोजर, शेडर, वेलज़ल

Comments

यह "रचनात्मक" की एक अलग भावना है। कभी-कभी जटिलता सिद्धांतकार (एबी) "रचनात्मक" शब्द का उपयोग कुशलतापूर्वक एल्गोरिदम करने के लिए करते हैं, और उस संदर्भ में कुछ भी जो कुशलता से एल्गोरिथम नहीं है, को गैर-रचनात्मक कहा जाता है। यह प्रश्न में लक्षित रचनात्मक प्रमाण धारणा से अलग है।

— केवह

आपका पहला वाक्य भ्रामक है। एल्गोरिदम एलएलएल एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म के अर्थ में पूरी तरह से रचनात्मक है। मूल एलएलएल के पास संभावित रूप से विशाल संभावना वाले स्थान पर एक प्रेरक तर्क होने के अर्थ में एक गैर-प्रतिरोधी प्रमाण था। मोजर और Tardos के कागज के लिए काम अनुवर्ती है बंद कर दिया व्यावहारिक रूप से एल्गोरिथम एल एल एल और यहां तक कि एल एल एल में से कुछ को मजबूत बनाने के बीच सभी अंतराल, देख doi.acm.org/10.1145/1993636.1993669

— Sasho निकोलोव

मूल लेम्मा 1975 से गैरसंक्रामक था और बाद में शोधकर्ताओं (दशकों बाद) ने विशेष मामलों के लिए रचनात्मक एल्गोरिदम पाया लेकिन "व्यावहारिक रूप से सभी अंतराल" "सभी अंतराल" के समान नहीं हैं। यह दिखाने के लिए एक उपयोगी उदाहरण है कि इसकी गारंटी नहीं है कि एक गैर-रचनात्मक अस्तित्व प्रमाण हमेशा इस तरह से रहेगा, अर्थात गैर-अवरोधक हमेशा पूर्ण नहीं होता है और "परिवर्तन के अधीन" हो सकता है, और यह कि आगे / बाद के शोध अंतराल को बंद कर सकते हैं, और यह भी कि क्या एक एल्गोरिथ्म द्वारा बंद किए गए सभी अंतराल सूक्ष्म / कठिन साबित हो सकते हैं। इसके अन्य उदाहरण हैं। मैंने मोजर / तारदोस समाधान का हवाला दिया।

— vzn

मैं यह कह रहा हूं कि आपने अपना पहला वाक्य जिस तरह से लिखा है, वह "एल्गोरिदम एलएलएल" जैसा दिखता है "गैर-रचनात्मक" है। उस उद्धरण में मूल एलएलएल का एक संदर्भ था, लेकिन उस संदर्भ को छोड़ दिया जाता है क्योंकि आपने एलिप्स को कहां रखा है। क्या आप अधिक उद्धरण शामिल करने के लिए संपादित कर सकते हैं ताकि यह भ्रमित न हो?

— साशो निकोलेव

o / wi को लगता है कि आपका उत्तर केवल विषय से संबंधित है, लेकिन यह एक अच्छा बिंदु है कि गैर-रचनात्मक प्रमाण के साथ कुछ प्रमेय भी रचनात्मक लोगों को स्वीकार करते हैं (और कुछ साबित नहीं करते हैं कि आप "रचनात्मक" कैसे परिभाषित करते हैं)। रचनात्मक एलएलएल को आगे ले जाने के साथ एक समस्या btw कि यह स्पष्ट नहीं है कि एलएलएल लागू होने की सभी स्थितियों में एक उचित कम्प्यूटेशनल समस्या को कैसे परिभाषित किया जाए

— साशो निकोलेव