ट्रेविदथ और पैकिंग

Question

मेरा सवाल थोड़ा अस्पष्ट है। मैं सोच रहा था कि क्या (और कैसे), हम ग्राफ़ में समस्याओं की पैकिंग के लिए treewidth की धारणा को लागू कर सकते हैं।

मैं इस पर पिछले शोध कार्यों के किसी भी अंतर्दृष्टि या संदर्भों से खुश हूं (यह मानते हुए कि उनका कोई संबंध है)। धन्यवाद।

Answer 1

मैं इस प्रश्न की दो अलग-अलग तरीकों से व्याख्या कर सकता हूं:

1) जब बंधे हुए त्रिभुज के रेखांकन पर समस्याओं की पैकिंग के एल्गोरिदम के गुणों की बात आती है, तो कोर्टसेल के प्रमेय से पता चलता है कि प्रत्येक निश्चित हम सबसे अधिक पर treewidth के रेखांकन में रेखीय समय में मोनाडिक सेकेंड ऑर्डर लॉजिक में व्यक्त समस्याओं को हल कर सकते हैं (उदाहरण के लिए देखें) http://dx.doi.org/10.1093/comjnl/bxm037$k$$k$बाउंड-ट्रेविद ग्राफ के एल्गोरिदम गुणों पर एक सर्वेक्षण के लिए)। चूंकि MSOL में कई पैकिंग समस्याओं को तैयार किया जा सकता है, यह बंधी हुई ट्रेविदथ के ग्राफ़ पर कई ऐसी समस्याओं की ट्रैक्टिबिलिटी साबित करता है, जिसमें इंडिपेंडेंट सेट, ट्रायंगल पैकिंग, साइकल पैकिंग, किसी भी निश्चित ग्राफ की पैकिंग वर्टेक्स / एज डिस्प्रिन्ट कॉपी, वर्टेक्स-डिस्जॉइंट माइनर मॉडल्स शामिल हैं। कुछ निश्चित ग्राफ H, और इसी तरह। लेकिन जैसा कि यह ट्रैक्टिबिलिटी सभी MSOL- निश्चित समस्याओं तक फैली हुई है, यह पैकिंग के लिए विशिष्ट नहीं है।

2) जब पैकिंग और ट्रेविद के बीच ग्राफ-संरचनात्मक संबंधों की बात आती है, तो निम्नलिखित ब्याज हो सकता है। रॉबर्टसन और सीमोर के काम के लिए धन्यवाद, यह ज्ञात है कि एक फ़ंक्शन है ऐसा है कि treewidth के हर ग्राफ में कम से कम में एक ग्रिड शामिल है एक नाबालिग के रूप में ( सीमोर और रॉबर्टसन द्वारा दी गई के लिए मूल बाध्यता को बाद में थॉमस के सहयोग से सुधार किया गया था, देखें http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0095895684710732 ) आपके पास इसलिए अगर एक संरचना ऐसी है कि की कई प्रतियां एक में पैक किया जा सकता$f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$f(r)$$r \times r$$f$$S$$S$$r \times r$ग्रिड नाबालिग, तो आप जानते हैं कि बड़े ट्रेविद के किसी भी ग्राफ में की प्रतियों की एक बड़ी पैकिंग होती है । उदाहरण के लिए, एक ग्रिड (यहां तक ​​कि ) में शीर्ष-विच्छेदन चक्र शामिल हैं, यह निम्नानुसार है कि treewidth ग्राफ में कम से कम अव्यवस्था है चक्र।$S$$r \times r$$r$$(r/2)^2$$f(r)$$(r/2)^2$

Comments

बार्ट हो सकता है यह अप्रासंगिक है, लेकिन क्या आप ग्राफ पुनर्निर्माण और उनके पेड़-चौड़ाई के बीच कोई संबंध देखते हैं? क्या आपके पास अपने प्रोफ पेपर के मुफ्त संस्करण के लिए लिंक है? (बाउंडेड ट्रेविदथ के ग्राफ पर संयुक्त अनुकूलन)

— सईद

Treewidth पेपर Citeseer citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.107.2561 पर उपलब्ध है । ग्राफ़ पुनर्निर्माण के लिए: आपका मतलब उस प्रक्रिया से है, जिसमें सभी सबग्राफ के मल्टीसेट दिए गए हैं, जो एक ही शीर्ष को हटाकर प्राप्त किए जाते हैं, आप मूल ग्राफ़ को फिर से बनाना चाहते हैं? ऐसा लगता है कि शिव किंतली ने हाल ही में इस सवाल पर गौर किया है कि क्या ग्राफ पुनर्निर्माण अनुमान दो के लिए सही है: cstheory.stackexchange.com/questions/5155/… ।

— बार्ट जानसन

धन्यवाद बार्ट, हाँ मैं शिव के प्रश्न को देखता हूं, लेकिन, यह एक साल पहले था, हो सकता है कि कोई नया परिणाम हो, सभी में धन्यवाद।

— सईद

शिव की वेबसाइट इस विषय पर दो पांडुलिपियों को सूचीबद्ध करती है, "नियमित रूप से रेखांकन के पेड़ों और पेड़ों के पुनर्निर्माण पर" और "नए पुनर्निर्माण ग्राफिकल गुण" एक नोट के साथ "पीडीएफ जल्द ही आ रहा है" ( cs.princeton.edu/~kintali/#proprecon) )। कला की वर्तमान स्थिति के बारे में पूछने के लिए आप सीधे उनसे संपर्क कर सकते हैं।

— बार्ट जानसन

इस उत्तर के बाद, ट्रेविद के लिए सबसे अच्छा बाध्य एक सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है $r \times r$ ग्रिड नाबालिग को कावारबयशी और कोबायाशी द्वारा सुधार किया गया था $2^{O(r^2\log r)}$में dx.doi.org/10.4230/LIPIcs.STACS.2012.278 , और सेमुर के लिए एक सुधार का दावा किया$2^{O(r \log r)}$अगस्त 2012 में।

— आंद्र सलाम ने

Answer 2

अधिकतम स्वतंत्र सेट समस्या एक पैकिंग समस्या है (आप इसे तारों को जोड़ने वाले तारों के रूप में सोच सकते हैं), और इसमें समय के साथ एक अच्छी तरह से ज्ञात एल्गोरिदम है $2^k \operatorname{poly(n)}$ ग्रेफ़ाइट के साथ रेखांकन में सबसे अधिक $k$।

Comments

आपकी प्रतिक्रिया के लिए धन्यवाद जैन। मैं एमआईएस एल्गोरिथ्म से अवगत हूं। क्या एमआईएस के अलावा, अन्य संरचनाओं की पैकिंग के लिए ट्रेविडेट्स की धारणा लागू की गई है? इसके अलावा, मैं पूरी तरह से असंतुष्ट सितारों की पैकिंग के रूप में एमआईएस के बारे में सोचने के लिए आश्वस्त नहीं हूं, क्या आप इस पर अपनी बात समझा सकते हैं? (आप किस स्टार संरचना को पैक करने की कोशिश कर रहे हैं, "सितारों की असहमति" की धारणा क्या है)?

— निखिल

यह उतना सीधा नहीं है जितना मैंने उत्तर पोस्ट करते समय सोचा था। "पैकिंग एज-डिसाइड स्टार्स" अधिक उपयुक्त होगा, और फिर आपको यह आवश्यक होगा कि किसी भी रखे गए स्टार के पास यथासंभव बड़ी डिग्री हो। मुझे याद नहीं है कि किसी भी अधिक जटिल पैकिंग समस्याओं के लिए लागू किए गए ट्रेविथ को देखकर।

— जेन एच। कोरोहेन

सामान्य शब्दावली में अधिकतम स्वतंत्र सेट निश्चित रूप से एक "पैकिंग समस्या" है; पैकिंग समस्या का एक अन्य उदाहरण अधिकतम मिलान है। (वे पूर्णांक कार्यक्रमों को पैक कर रहे हैं; एलपी छूट एक पैकिंग एलपी है।)

— जुका सुकोला

Answer 3

इस विषय पर एक अद्भुत संदर्भ नीचे ब्रूस रीड के सर्वेक्षण लेख का है।

रीड, बी (1997)। पेड़ की चौड़ाई और स्पर्श: एक नया कनेक्टिविटी उपाय और कुछ अनुप्रयोग। कॉम्बिनेटरिक्स में सर्वेक्षण, 241, 87-162।

मेरे हालिया कागजात में से एक में कुछ मामलों में त्रिभुज अपघटन प्रमेयों के माध्यम से ग्रिड-माइनर प्रमेय को बायपास करने की अनुमति है। नीचे पेपर देखें।

लार्ज-ट्रेविएड ग्राफ डिकम्पोजिशन एंड एप्लिकेशन http://arxiv.org/abs/1304.1577

Answer 4

यह भी एक अस्पष्ट जवाब है। बंधे हुए त्रिभुज के रेखांकन के लिए एर्डोस-पोसा प्रमेय के समान एक द्वंद्व है। उदाहरण के लिए, फेडर वी। फोमिन, साकेत सौरभ, दिमित्रीओस एम। थिलिकोस: नाबालिग-बंद ग्राफ वर्गों के लिए एर्दो-पोसा संपत्ति को मजबूत करना। ग्राफ थ्योरी 66 की पत्रिका (3): 235-240 (2011)