क्या कोलमोगोरोव-स्मिरनोव परीक्षण का एक सरल तुल्यता परीक्षण संस्करण है?

क्या समतुल्यता के लिए दो-तरफा परीक्षण (TOST) को कोमोगोरोव-स्मिरनोव परीक्षण के लिए नकारात्मक नकारात्मक परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए तैयार किया गया है कि दो वितरण कम से कम कुछ शोधकर्ता-निर्दिष्ट स्तर से भिन्न हैं ?

यदि TOST नहीं, तो समतुल्यता परीक्षण के कुछ अन्य रूप?

निक स्टैनर बुद्धिमानी से बताते हैं कि (मुझे पहले से ही पता होना चाहिए;) कि स्टोकेस्टिक समतुल्यता के लिए अशक्त परिकल्पनाओं के लिए अन्य गैरपरंपरागत TOST तुल्यता परीक्षण हैं, और, मध्ययुगीन तुल्यता के लिए और अधिक प्रतिबंधक मान्यताओं के साथ।

kolmogorov-smirnov equivalence tost

— एलेक्सिस
स्रोत

संबंधित: गैर-सामान्य डेटा के लिए समतुल्यता परीक्षण?

— निक स्टनर

ठीक है, यहाँ मेरा पहला प्रयास है। करीबी जांच और टिप्पणियों की सराहना की!

दो-नमूना परिकल्पनाओं को
यदि हम इन पंक्तियों के साथ दो-नमूना एक-तरफा Kolmogorov-Smirnov परिकल्पना परीक्षणों को शून्य और वैकल्पिक परिकल्पना के साथ फ्रेम कर सकते हैं:

H , और $_{0}\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$

H , कम से कम एक , जहाँ: $_{\text{A}}\text{: }F_{Y}\left(t\right) < F_{X}\left(t\right)$ $t$

परीक्षण आँकड़ा H से मेल खाती है ; $D^{-}=\left|\min_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$
परीक्षण आँकड़ा H से मेल खाती है ; तथा $D^{+}=\left|\max_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \leq F_{X}\left(t\right)$
$F_{Y}\left(t\right)$ और नमूने और के अनुभवजन्य CDF हैं , $F_{X}\left(t\right)$ $Y$ $X$

फिर इन पंक्तियों के साथ एक समतुल्यता परीक्षण के लिए एक सामान्य अंतराल परिकल्पना बनाना उचित होगा (यह मानते हुए कि समतुल्य अंतराल पल के लिए सममित है):

H , और $^{-}_0\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| \geq \Delta$

H , कम से कम एक । $^{-}_{\text{A}}\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| < \Delta$ $t$

यह तुल्यता के लिए परीक्षण करने के लिए विशिष्ट दो एक तरफा "नकारात्मकतावादी" अशक्त परिकल्पनाओं का अनुवाद करेगा (ये दोनों परिकल्पनाएं समान रूप लेती हैं, क्योंकि दोनों और सख्ती से गैर-नकारात्मक हैं): $D^{+}$ $D^{-}$

H , या $^{-}_{01}\text{: }D^{+} \geq \Delta$

H । $^{-}_{02}\text{: }D^{-} \geq \Delta$

H और H दोनों को अस्वीकार करने से कोई एक निष्कर्ष कि । बेशक, समतुल्य अंतराल को सममित होने की आवश्यकता नहीं है, और संबंधित एकतरफा अशक्त परिकल्पनाओं के लिए (निचला) और (ऊपरी) के साथ और को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$ $-\Delta < F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right) < \Delta$ $-\Delta$ $\Delta$ $\Delta_{2}$ $\Delta_{1}$

टेस्ट सांख्यिकी (अपडेट किया गया: डेल्टा है निरपेक्ष मूल्य पर हस्ताक्षर के बाहर)
परीक्षण के आंकड़े और (छोड़ने और छुपा हुआ) H और H के अनुरूप, क्रमशः और हैं: $D^{+}_{1}$ $D^{-}_{2}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$

$D^{+}_{1} = \Delta - D^{+} = \Delta - \left|\max_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$ , तथा

$D^{-}_{2} = \Delta - D^{-} = \Delta - \left|\min_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$

समतुल्यता / प्रासंगिकता
का अंतराल अंतराल -या , यदि एक असममित समतुल्य अंतराल का उपयोग करते हुए - और इकाइयों में व्यक्त किया जाता है , या विभिन्न संभावनाओं का परिमाण। के रूप में और दृष्टिकोण अनंत, की CDF या के लिए दृष्टिकोण के लिए , और के लिए : $[-\Delta, \Delta]$ $[\Delta_{2}, \Delta_{1}]$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y},n_{X}$ $0$ $t<0$ $t \ge 0$

lim_{n_{Y}, n_{X} \to \infty} p^{+} = P (\sqrt{\frac{n_{Y} n_{X}}{n_{Y} + n_{X}}} D^{+} \leq t) = 1 - e^{- 2 t^{2}}

$\lim_{n_{Y},n_{X}\to \infty}p^{+} = \text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+} \le t\right) = 1 - e^{-2t^{2}}$

$$ D ^ {+} $ (या $ D ^ {-} $) का CDF$

तो यह मुझे लगता है कि नमूना आकार-स्केल लिए PDF (या नमूना आकार-स्केल ) लिए होना चाहिए , और : $D^{+}$ $D^{-}$ $0$ $t<0$ $t \ge 0$

f (t) = 1 - e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} = 4 t e^{- 2 t^{2}}

$f(t) = {1 - e^{-2t^{2}}}\frac{d}{dt} = 4te^{-2t^{2}}$

$$ D ^ {+} $ (या $ D ^ {-} $) की पीडीएफ$

Glen_b बताते हैं कि यह एक रेले डिस्ट्रीब्यूशन है जिसमें । तो नमूना आकार-स्केल और लिए बड़ा नमूना quantile फ़ंक्शन है: $\sigma=\frac{1}{2}$ $D^{+}$ $D^{-}$

{CDF}^{- 1} = Q (p) = \sqrt{\frac{- \ln (1 - p)}{2}}

$\text{CDF}^{-1} = Q\left(p\right) = \sqrt{\frac{-\ln{\left(1 - p\right)}}{2}}$

और का एक उदार विकल्प महत्वपूर्ण मान , और एक महत्वपूर्ण विकल्प महत्वपूर्ण मूल्य । $\Delta$ $Q_{\alpha}+\sigma/2 = Q_{\alpha}+\frac{1}{4}$ $Q_{\alpha}+\sigma/4=Q_{\alpha}+\frac{1}{8}$

— एलेक्सिस
स्रोत

जिस पंक्ति में आप cdf से pdf में जाते हैं, मुझे लगता है कि आपको वह गलत लगी। आज्ञा देना , so ( संकेतन), सीमा । फिर ( बाद नोट करें )। (नोट भी व्युत्पन्न के ऊपर लाइन में घातांक में एक लापता संकेत है। इसके अलावा मुझे यकीन नहीं है कि आपके पास वहां एक अभिन्न प्रतीक क्यों है, लेकिन शायद मैं कुछ गलत समझ रहा हूं।)

K_{n_{Y}, n_{X}} = \sqrt{\frac{n_{Y} n_{X}}{n_{Y} + n_{X}}} D^{+}

$K_{n_{Y},n_{X}}=\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+}$

P (K_{\infty, \infty} \leq t) = 1 - e^{- 2 t^{2}}

$P(K_{\infty,\infty}\leq t) = 1 - e^{-2t^{2}}$

f_{K} (t) = \frac{d}{d t} 1 - e^{- 2 t^{2}} = 4 t e^{- 2 t^{2}}

$f_K(t) = \frac{d}{dt} 1 - e^{-2t^2} = 4t\, e^{-2t^2}\quad$

t

$t$

4

$4$

— Glen_b -Reinstate Monon

@stochazesthai D_ और दो एकतरफा परीक्षण आँकड़े हैं। TOST के अनुसार, आपको उन दोनों परिकल्पनाओं को अस्वीकार करने की आवश्यकता है जिनके लिए ये परीक्षण आँकड़े लागू होते हैं। उपरोक्त पंक्ति पर CDF से एक महत्वपूर्ण मान है , और जहाँ आप लिए में उप करना चाहते हैं (जैसे )। की पसंद कितनी दूर अतीत पर निर्भर करता है (एक सादे पुराने प्रत्यक्षवादी के लिए महत्वपूर्ण अस्वीकृति मूल्य इससे पहले कि आप यह निष्कर्ष निकाल आप, जाने की जरूरत है) प्रासंगिक अंतर (जैसे उदार 'तुल्यता' है

D_{1}

$D_{1}$

D_{2}

$D_{2}$

Q_{α}

$Q_{\alpha}$

^{- 1}

$^{-1}$

1 - α

$1-\alpha$

p

$p$

Q_{α} = \sqrt{\frac{- \ln (1 - (1 - α))}{2}}

$Q_{\alpha} = \sqrt{\frac{-\ln{(1-(1-\alpha))}}{2}}$

Δ

$\Delta$

Q_{α}

$Q_{\alpha}$

H_{0}

$H_{0}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

σ

$\sigma$ से परे )।

Q_{α}

$Q_{\alpha}$

— एलेक्सिस

@stochazesthai (सतत) तो अगर दोनों और , तो आप अस्वीकार।

D_{1} \geq Δ

$D_{1} \ge \Delta$

D_{2} \geq Δ

$D_{2} \ge \Delta$

H_{0}^{-}

$H_{0}^{-}$

— एलेक्सिस

@stochazesthai वूप्स! मुझे दो शब्द वापस समतुल्य के बजाय उदार शब्द के आसपास उद्धरण देना चाहिए था । :)

— एलेक्सिस

@stochazesthai यदि D_ , तो को अस्वीकार करें , यदि , तो को अस्वीकार करने में विफल । यदि , तो को अस्वीकार करें , यदि , तो को अस्वीकार करने में विफल । यदि दोनों और को अस्वीकार करते हैं, तो को अस्वीकार करें, अन्यथा को अस्वीकार करने में विफल रहें ।

D_{1} \geq Δ

$D_{1} \ge \Delta$

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$

D_{1} < Δ

$D_{1} < \Delta$

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$

D_{2} \geq Δ

$D_{2} \ge \Delta$

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$

D_{2} < Δ

$D_{2} < \Delta$

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$

H_{0}^{-}

$H^{-}_{0}$

H_{0}^{-}

$H^{-}_{0}$

— एलेक्सिस

समतुल्यता परीक्षण में TOST का एक विकल्प विश्वास अंतराल दृष्टिकोण पर आधारित है:

चलो prespecified तुल्यता मार्जिन और निरूपित कोलमोगोरोव-स्मिरनोव अज्ञात अंतर्निहित वितरण कार्यों के बीच की दूरी। $\Delta$

θ := sup_{t} | F_{X} (t) - F_{Y} (t) |

$\theta := \sup_t |F_X(t) - F_Y(t)|$

अब, यदि लिए एक 90% विश्वास अंतराल पूरी तरह से , तो हम 95% निश्चित हो सकते हैं कि "के बराबर है। $\theta$ $[-\Delta, \Delta]$ $\theta$

अंतर्निहित वितरणों को जानने के बिना, अनुमानित अनुमानित आत्मविश्वास अंतराल प्राप्त करना निराशाजनक है, इसलिए हमें जोड़े और से पुनरुत्थान के आधार पर बूटस्ट्रैप विश्वास अंतराल पर भरोसा करना होगा । (हालांकि मैं इस विशेष आवेदन में उनकी वैधता के लिए शर्तें नहीं खोजना चाहता ...) $X$ $Y$

— माइकल एम
स्रोत

अति उत्कृष्ट। क्या आपके पास (बूटस्ट्रैप या अन्यथा) का CI करने वाले किसी व्यक्ति के लिए एक उद्धरण है ?

D_{n_{1}, n_{2}}

$D_{n_{1},n_{2}}$

— एलेक्सिस

अच्छा बिंदु ... शॉर्ट पेपर tomswebpage.net/images/K-S_test.doc में "हैंडबुक ऑफ पैरामीट्रिक एंड नॉनपैरेमेट्रिक स्टैटिस्टिकल प्रोसीजर, फिफ्टी एडिशन द डेविड जे.सेस्किन (27 अप्रैल, 2011) का उल्लेख है।" डी। के लिए एक दो-नमूना मामले की कमी की पेशकश करने के लिए लेकिन फिलहाल, मेरे पास इस पुस्तक तक पहुंच नहीं है।

— माइकल एम।