का दो-नमूना CDF क्या है

मैं समझने की कोशिश कर रहा हूं कि कैसे प्राप्त किया जाए $p$ के लिए -values एक पक्षीय Kolmogorov-स्मिर्नोव परीक्षण , और के लिए CDFS खोजने के लिए संघर्ष कर रहा हूँ $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ तथा $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ दो-नमूना मामले में। नीचे सीडीएफ के रूप में कुछ स्थानों पर उद्धृत किया गया है $D^{+}_{n}$ एक नमूना मामले में:

p_{n}^{+} (x) = P (D_{n}^{+} \geq x | H_{0}) = x \sum_{j = 0}^{⌊ n (1 - x) ⌋} (\binom{n}{j}) {(\frac{j}{n} + x)}^{j - 1} {(1 - x - \frac{j}{n})}^{n - जे}

$p^{+}_{n}\left(x\right) = \text{P}\left(D^{+}_{n} \ge x | \text{H}_{0}\right) = x\sum_{j=0}^{\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor}{ \binom{n}{j} \left(\frac{j}{n}+x\right)^{j-1}\left(1 - x - \frac{j}{n}\right)^{n-j}}$

इसके अलावा, whuber एसईजेड वहाँ इस एक नमूना CDF (मैं प्रतिस्थापन कर रहा हूँ की एक अलग तैयार है के लिए उसकी बोली में मेरे अंकन के साथ स्थिरता के लिए यहाँ): $x$ $t$

प्रायोरिटी इंटीग्रल ट्रांसफॉर्मेशन का उपयोग करते हुए, डोनाल्ड नुथ पी पर उनके (आम) वितरण को प्राप्त करता है। 57 और TAoCP वॉल्यूम के 17 अभ्यास 2. मैं बोली:

(D_{n}^{+} \leq \frac{x}{\sqrt{n}}) = \frac{x}{n^{n}} \sum_{c \leq k \leq x} (\binom{n}{k}) {(k - x)}^{k} {(x + n - k)}^{n - k - 1}

$\left(D^{+}_{n}\le \frac{x}{\sqrt{n}}\right)=\frac{x}{n^{n}}\sum_{c\le k\le x}\binom{n}{k}\left(k-x\right)^{k}\left(x+n-k\right)^{n-k-1}$

यह एक-नमूना मामले में एक-पक्षीय परिकल्पना पर लागू होगा, जैसे: H , जहां अनुभवजन्य CDF है) की , और कुछ CDF है। $_{0}\text{: }F(x)-F_{0} \le 0$ $F(x)$ $x$ $F_{0}$

मैं लगता है कि इस मामले में का मूल्य है किसी के नमूने में, और कहा कि सबसे बड़ा में पूर्णांक है । (क्या वह सही है?) $x$ $D^{+}_{n}$ $\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor$ $n-nx$

लेकिन (या ) के लिए CDF क्या है जब एक के दो नमूने हैं? उदाहरण के लिए, जब H और के अनुभवजन्य CDF के लिए ? कैसे प्राप्त करें ? $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ $_{0}\text{: }F_{A}(x)-F_{B}(x) \le 0$ $A$ $B$ $p^{+}_{n_{1},n_{2}}$

self-study kolmogorov-smirnov cdf

— एलेक्सिस
स्रोत

इस प्रश्न का उत्तर देने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए एक संकेतक के रूप में - एलेक्सिस के पिछले प्रश्न (जो उपरोक्त प्रश्न में जुड़ा हुआ है) के मेरे उत्तर में इतिहास की कुछ चर्चा के साथ कई संदर्भों के लिंक हैं, प्रत्येक में कई प्रासंगिक संदर्भ हैं। आप उन दस्तावेजों और उनके संदर्भों की सूची की जांच करना पसंद कर सकते हैं।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

@Glen_b धन्यवाद! मैं वास्तव में मेरे अन्य प्रश्न के आपके उत्कृष्ट उत्तर की सराहना करता हूं, और उद्धृत संसाधनों का पालन करता हूं, लेकिन मुझे सीडीएफ पर कोई कर्षण नहीं मिला

D^{+}

$D^{+}$ वहाँ, और बजाय मुझे लगता है कि मैं सिर्फ एक नई क्वेरी खोलना होगा टिप्पणियों को दलदल से नीचे। अतिरिक्त संदर्भों का स्वागत है, यदि आप कोई भी जानते हैं जो इसके लिए काम करेगा।

— एलेक्सिस

एलेक्सिस: मेरी टिप्पणी से कोई आलोचना नहीं हुई; एक नया प्रश्न खोलने के लिए आपकी पसंद बिल्कुल सही थी (मेरी राय में)। मैं बस कुछ प्रासंगिक संदर्भों को ट्रैक करने में लोगों को थोड़ी सी लेगवर्क बचाने के लिए चाहता था - मुझे लगा कि यह जरूरी नहीं है कि हर कोई दूसरे प्रश्न के लिए आपके लिंक का पालन कर सके, और यह उन लोगों को नहीं हो सकता है जिन्होंने मेरे लिंक को लिंक किया था उत्तर में कुछ संदर्भ थे जो वे जानना चाहते हैं।

— Glen_b -Reinstate Monica

ठीक है, मैं इस पर एक छुरा जा रहा हूँ। गंभीर अंतर्दृष्टि का स्वागत करते हैं।

पेज 192 गिबन्स और चक्रवर्ती (1992) पर, हॉजेस, 1958 का हवाला देते हुए, दो-तरफा परीक्षण के लिए एक छोटे-नमूने (सटीक?) सीडीएफ के साथ शुरू करते हैं (मैं उनकी अदला-बदली कर रहा हूं? $m,n$ तथा $d$ के लिए संकेतन $n_{1},n_{2}$ तथा $x$ , क्रमशः):

P (D_{n_{1}, n_{2}} \geq x) = 1 - P (D_{n_{1}, n_{2}} \leq x) = 1 - \frac{A (n_{1}, n_{2})}{(\binom{n_{1} + n_{2}}{n_{1}})}

$\text{P}{\left(D_{n_{1},n_{2}}\ge x\right)} = 1 - \text{P}\left(D_{n_{1},n_{2}} \leq x\right)=1-\frac{A\left(n_{1},n_{2}\right)}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

कहाँ पे $A\left(n_{1},n_{2}\right)$ पथों की गणना के माध्यम से उत्पादित किया जाता है (में एकरस रूप से बढ़ रहा है $n_{1}$ तथा $n_{2}$ ) उत्पत्ति से बिंदु तक $\left(n_{1},n_{2}\right)$ के साथ एक ग्राफ के माध्यम से प्रतिस्थापन $S_{m}(x)$ के लिये $F_{n_{1}}(x)$ - एक्स- एक्सिस और वाई -ैक्सिस के मूल्य हैं $n_{1}F_{1}\left(x\right)$ तथा $n_{2}F_{2}\left(x\right)$ । रास्तों को सीमाओं के अंदर रहने की विवशता का पालन करना चाहिए (जहां $x$ कोल्मोगोरोव-स्मिर्नोव परीक्षण सांख्यिकीय का मूल्य है):

\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{(n_{1} + n_{2}) x}{(\binom{n_{1} + n_{2}}{n_{1}})}

$\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{\left(n_{1}+n_{2}\right)x}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

नीचे उनकी छवि चित्र 3.2 के लिए एक उदाहरण प्रदान करता है $A(3,4)$ , 12 ऐसे रास्तों के साथ:

चित्र रिबन और चक्रवर्ती के पेज 193 से 1992 (गैरपारंपरिक सांख्यिकीय अनुमान)।

गिबन्स और चकबोरती कहते हैं कि एक तरफा $p$ -वह इसी ग्राफिकल विधि का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है, लेकिन केवल निम्न के लिए बाध्य है $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ , और केवल ऊपरी के लिए $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ ।

ये छोटे नमूने दृष्टिकोण पथ गणना एल्गोरिदम और / या पुनरावृत्ति संबंधों को प्राप्त करते हैं, जो निस्संदेह स्पर्शोन्मुख गणना को वांछनीय बनाते हैं। गिबन्स और चक्रवर्ती भी सीमित सीडीएफ पर ध्यान दें $n_{1}$ तथा $n_{2}$ दृष्टिकोण अनंत, में $D_{n_{1},n_{2}}$ :

lim_{n_{1}, n_{2} \to \infty} P (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}}} D_{n_{1}, n_{2}} \leq x) = 1 - 2 \sum_{i = 1}^{\infty} {(- 1)}^{i - 1} e^{- 2 i^{2} x^{2}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - 2\sum_{i=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}}$

और वे की सीमित CDF देते हैं $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ (या $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ ) जैसा:

lim_{n_{1}, n_{2} \to \infty} P (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}}} D_{n_{1}, n_{2}}^{+} \leq x) = 1 - e^{- 2 x^{2}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D^{+}_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - e^{-2x^{2}}$

चूंकि $D^{+}$ तथा $D^{-}$ कड़ाई से गैर-नकारात्मक हैं, सीडीएफ केवल गैर-शून्य मान को खत्म कर सकता है $[0,\infty)$ :

$$ D ^ {+} $ (या $ D ^ {-} $) का CDF$

सन्दर्भ
गिबन्स, जेडी और चक्रवर्ती, एस (1992)। गैरपारंपरिक सांख्यिकीय इंजेक्शन । मार्सेल डेकर, इंक।, तीसरा संस्करण, संशोधित और विस्तारित संस्करण।

होजेस, जेएल (1958)। Smirnov दो-नमूना परीक्षण का महत्व। अर्किव ने मटमैटिक की । 3 (5): 469--486।

— एलेक्सिस
स्रोत

वास्तविक cdf हर जगह मौजूद है, लेकिन इसके लिए

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$ cdf शून्य होगा; आपके द्वारा दिया गया कार्यात्मक रूप केवल लागू होता है

x \geq 0

$x\geq 0$ (यह सरल तर्क के लिए उत्तरदायी है; क्या है?

P (D^{+} < 0)

$P(D^+<0)$ ?

— Glen_b -Reinstate Monica