स्वतंत्र यादृच्छिक चर के कार्य

Question

क्या यह दावा है कि स्वतंत्र यादृच्छिक चर के कार्य स्वयं स्वतंत्र, सत्य हैं?

मैंने देखा है कि परिणाम अक्सर कुछ प्रमाणों में स्पष्ट रूप से उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए एक सामान्य वितरण के नमूना माध्य और नमूना प्रसरण के बीच स्वतंत्रता के प्रमाण में, लेकिन मुझे इसके लिए औचित्य नहीं मिल पाया है। ऐसा लगता है कि कुछ लेखक इसे दिए गए रूप में लेते हैं लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि हमेशा ऐसा ही होता है।

Answer 1

स्वतंत्रता की सबसे सामान्य और अमूर्त परिभाषा एक महत्वपूर्ण योग्यता की आपूर्ति करते समय इस दावे को तुच्छ बनाती है: कि दो यादृच्छिक चर स्वतंत्र हैं मतलब सिग्मा-अल्जेब्रा जो वे उत्पन्न करते हैं वे स्वतंत्र हैं। क्योंकि सिग्मा-बीजगणित के एक औसत दर्जे के कार्य द्वारा उत्पन्न सिग्मा-बीजगणित एक उप-बीजगणित, एक फोर्टियरी है उन यादृच्छिक चर के किसी भी औसत दर्जे का कार्य स्वतंत्र बीजगणित है, जो उन कार्यों को स्वतंत्र हैं।

(जब कोई फ़ंक्शन औसत दर्जे का नहीं होता है, तो यह आमतौर पर एक नया यादृच्छिक चर नहीं बनाता है, इसलिए स्वतंत्र की अवधारणा भी लागू नहीं होगी।)

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आइए परिभाषाओं को देखें कि यह कितना सरल है। याद है कि एक यादृच्छिक चर एक वास्तविक मूल्य समारोह "नमूना अंतरिक्ष" पर परिभाषित किया गया है Ω (परिणामों के सेट संभावना के माध्यम से अध्ययन किया जा रहा)।$X$$\Omega$

1. एक यादृच्छिक चर का अध्ययन उन संभावनाओं के माध्यम से किया जाता है, जिनका मूल्य वास्तविक संख्याओं के विभिन्न अंतरालों में निहित होता है (या, अधिक सामान्यतः, अंतरालों से बाहर सरल तरीकों से निर्मित सेट: ये वास्तविक संख्याओं के बोरेल मापने योग्य सेट होते हैं)।$X$

2. किसी भी बोरेल औसत दर्जे का सेट करने के लिए इसी है घटना एक्स * ( मैं ) सभी परिणामों से मिलकर ω जिसके लिए एक्स ( ω ) में निहित है मैं ।$I$ $X^{*}(I)$$\omega$$X(\omega)$$I$

3. द्वारा उत्पन्न सिग्मा-बीजगणित ऐसे सभी घटनाओं के संग्रह से निर्धारित होता है।$X$

4. अनुभवहीन परिभाषा कहते हैं दो यादृच्छिक चर और वाई हैं स्वतंत्र "जब उनके संभावनाओं गुणा।" यही है, जब मैं एक Borel औसत दर्जे का सेट है और J एक और है, तब$X$$Y$$I$$J$

   $\Pr(X(\omega)\in I\text{ and }Y(\omega)\in J) = \Pr(X(\omega)\in I)\Pr(Y(\omega)\in J).$

5. लेकिन घटनाओं की भाषा (और सिग्मा अल्जेब्रा) में भी यही है

   $\Pr(\omega \in X^{*}(I)\text{ and }\omega \in Y^{*}(J)) = \Pr(\omega\in X^{*}(I))\Pr(\omega\in Y^{*}(J)).$

अब दो कार्यों पर विचार करें और लगता है कि च ∘ एक्स और जी ∘ वाई यादृच्छिक परिवर्तनीय हैं। (वृत्त कार्यात्मक रचना है: ( च ∘ एक्स ) ( ω ) = च ( एक्स ( ω ) ) यह वही है के लिए इसका मतलब है। च एक "एक यादृच्छिक चर के समारोह" किया जाना है।) सूचना - यह सिर्फ प्राथमिक है सेट सिद्धांत - कि$f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$f \circ X$$g\circ Y$$(f\circ X)(\omega) = f(X(\omega))$$f$

$$(f\circ X)^{*}(I) = X^{*}(f^{*}(I)).$$

दूसरे शब्दों में, f words X (जो बाईं ओर है) द्वारा उत्पन्न हर घटना स्वतः एक्स द्वारा उत्पन्न एक घटना है$f\circ X$$X$ (जैसा कि दाहिने हाथ की ओर के रूप में प्रदर्शित होता है)। इसलिए (5) स्वचालित रूप से के लिए रखती है और जी ∘ Y : वहाँ जाँच करने के लिए कुछ भी नहीं है!$f\circ X$$g\circ Y$

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एनबी आप किसी भी भौतिक तरीके से और कुछ भी बदलने की आवश्यकता के बिना " में मूल्यों के साथ" हर जगह "वास्तविक-मूल्यवान" को बदल सकते हैं। यह वेक्टर-मूल्यवान यादृच्छिक चर के मामले को कवर करता है।$\mathbb{R}^d$

Comments

सिग्मा बीजगणित उन्नत (स्नातक स्तर) सामान हैं।

— अक्कल

@Aksakal It depends on what school you go to or what books you read. (I have successfully taught this material at the second-year undergraduate level. There also are wonderfully accessible accounts of this theory at the undergraduate level, such as Steven Shreve's texts on stochastic calculus, which are addressed to students with just a calculus background.) But how is that relevant? Any justification--even a sophisticated one--should be preferred to an unjustified assertion.

— whuber

You are very kind to go to all that trouble to help someone who asked a question. Thanks again. And you are right, the definitions are not too daunting after all.

— JohnK

Answer 2

Consider this "less advanced" proof:

Let $X:\Omega_X\to\mathbb{R}^n,Y:\Omega_Y\to\mathbb{R}^m,f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k,g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p$, where $X,Y$ are independent random variables and $f,g$ are measurable functions. Then:

$$P\{f(X)\leq x \text{ and } g(Y)\leq y\}\\=P(\{f(X)\leq x\}\cap\{g(Y)\leq y\})\\=P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\}).$$ Using independence of $X$ and $Y$, $$P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\})=\\=P\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\cdot P\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\} \\=P\{f(X)\leq x\}\cdot P\{g(Y)\leq y\}.$$

The idea is to notice that the set

$$\{f(X)\leq x\}\equiv\{w\in\Omega_X:f(X(w))\leq x\}=\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\},$$ so properties that are valid for $X$ are extended to $f(X)$ and the same happens for $Y$.

Comments

+1. Thank you for this contribution, which so clearly focuses on the essential idea. Welcome to our site!

— whuber

Answer 3

Yes, $g(X)$ and $h(Y)$ are independent for any functions $g$ and $h$ so long as $X$ and $Y$ are independent. It's a very well known results, which is studied in probability theory courses. I'm sure you can find it in any standard text like Billingsley's.

Comments

Thanks, I am currently studying Hogg & Craig and MGB. Billingsley is the next logical step.

— JohnK

Billinglsey's a torture unless you're mathematician and already studied measures. Partarathy's intro is much easier 2-in-1 book, Alan Karr's Probability text is also easy read.

— Aksakal

Another easier text than Billingsley's: probability.ca/jeff/grprobbook.html

— Adrian

Answer 4

Not as an alternative, but as an addition to the previous brilliant answers, note that this result is in fact very intuitive.

Usually, we think that $X$ and $Y$ being independent means that knowing the value of $X$ gives no information about the value of $Y$ and vice versa. This interpretation obviously implies that you can't somehow "squeeze" an information out by applying a function (or by any other means actually).