असंबद्ध लेकिन सरल नहीं

Question

कोई भी मेहनती छात्र "सभी छात्रों को आलसी है" के लिए एक प्रतिरूप है।

"अगर यादृच्छिक चर $X$ और $Y$ असंबद्ध हैं तो वे स्वतंत्र हैं" कुछ सरल प्रतिकार क्या हैं ?

Comments

मुझे लगता है कि यह एक डुप्लिकेट है, लेकिन मैं इसे खोजने के लिए बहुत आलसी हूं। लो $X\sim N(0,1)$ और $Y=X^2$ । $cov(X,Y)=EX^3=0$ , लेकिन स्पष्ट रूप से दो चर स्वतंत्र नहीं हैं।

— mpiktas

एक सरल उदाहरण (हालाँकि शायद और भी सरल हैं)

— Glen_b -Reinstate Monica

लो समान रूप से पर वितरित करने के लिए [ 0 , 2 π ] और एक्स = क्योंकि यू , वाई = पाप यू । $U$$[0,2\pi]$$X=\cos U$$Y = \sin U$

— दिलीप सरवटे

क्योंकि "सरलतम" की भावना अपरिभाषित है, यह प्रश्न उद्देश्यपूर्ण उत्तर देने योग्य नहीं है। मैंने सीमांत वितरण के समर्थन के सरलतम = छोटे योगों के आधार पर डुप्लिकेट का चयन किया।

— whuber

@ वाउचर: भले ही "सरलतम" वास्तव में बहुत अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है, यहां जवाब, जैसे ग्लेन_ बी द्वारा उत्तर स्पष्ट रूप से उस धागे की तुलना में अधिक सरल उदाहरण प्रदान कर रहा है जिसे आपने डुप्लिकेट के रूप में बंद किया था। मैं इस एक को फिर से खोलने का सुझाव देता हूं (मैंने पहले से ही मतदान किया है) और शायद इस तथ्य को उजागर करने के लिए सीडब्ल्यू बनाते हैं कि "सरलतम" को खराब रूप से परिभाषित किया गया है और ओपी शायद विभिन्न "सरल" उदाहरणों के लिए पूछ रहा है।

— अमीबा का कहना है कि

Answer 1

चलो ।$X\sim U(-1,1)$

चलो ।$Y=X^2$

चर असंबद्ध लेकिन निर्भर हैं।

वैकल्पिक रूप से, 3 बिंदुओं (-1,1), (0, -1), (1,1) पर प्रायिकता 1/4, 1/2, 1/4 के साथ प्रायिकता से युक्त एक असतत बीवरिएट वितरण पर विचार करें। तब चर असंबंधित लेकिन आश्रित होते हैं।

हीरे में द्विभाजित डेटा वर्दी पर विचार करें (एक वर्ग 45 डिग्री घुमाया गया)। चर असंबद्ध लेकिन आश्रित होंगे।

वे सबसे सरल मामलों के बारे में हैं जिनके बारे में मैं सोच सकता हूं।

Comments

क्या सभी यादृच्छिक चर जो सममित हैं और लगभग 0 असंबंधित हैं?

— मार्टिन थोमा

@ बार-बार आपका वर्णन अस्पष्ट है। यदि आपका मतलब है "यदि शून्य के बारे में सममित है और Y शून्य के बारे में सममित है", तो नहीं, क्योंकि मानक सामान्य मार्जिन के साथ एक द्विभाजित सामान्य को सहसंबद्ध किया जा सकता है, उदाहरण के लिए। यदि आपका मतलब है "यदि X शून्य के बारे में सममित है और Y , X का समान कार्य है ", तो जब तक कि variances मौजूद है, मेरा मानना ​​है कि उत्तर हां है। अगर आपको कुछ और मतलब है तो आपको समझाना होगा। $X$$Y$$X$$Y$$X$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 2

मुझे लगता है कि सरल जवाबी उदाहरण के कुछ का सार एक सतत यादृच्छिक चर के साथ शुरू करके देखा जा सकता शून्य पर केन्द्रित, यानी ई [ एक्स ] = 0 । मान लीजिए कि एक्स का पीडीएफ समान है और इसे फॉर्म ( - ए , ए ) के अंतराल पर परिभाषित किया गया है , जहां ए > 0 । अब मान लीजिए कि कुछ फ़ंक्शन f के लिए Y = f ( X ) है । अब हम प्रश्न पूछते हैं: किस प्रकार के कार्य$X$$E[X]=0$$X$$(-a,a)$$a>0$$Y=f(X)$$f$ हम सी ओ कर सकते हैं$f(X)$ ?$Cov(X,f(X))=0$

हम जानते हैं कि । हमारी धारणा है कि E [ X ] = 0 हमें सीधे C o v ( X , f ( ( X )) ] की ओर ले जाता है । X के pdf को अस्वीकृत करना।$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]-E[X]E[f(X)]$$E[X]=0$$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]$$X$ के जरिए we ) के नकारना , हमारे पास है$p(\cdot)$

।$Cov(X,f(X))=E[Xf(X)]=\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx$

हम चाहते हैं कि और इसे प्राप्त करने का एक तरीका यह है कि f ( x ) सुनिश्चित करना एक समान कार्य है, जिसका अर्थ है x f ( x ) p ( x ) एक विषम कार्य है। इसके बाद यह आता है कि ∫ a - a x f ( x ) p ( x ) d x ( X , f ( $Cov(X,f(X))=0$$f(x)$$xf(x)p(x)$ , और इतने सी ओ $\int_{-a}^{a}xf(x)p(x)dx=0$ ।$Cov(X,f(X))=0$

इस तरह, हम देख सकते हैं कि का सटीक वितरण महत्वहीन है क्योंकि पीडीएफ कुछ बिंदु के आसपास सममित है और कोई भी फ़ंक्शन एफ ( ⋅ ) वाई को परिभाषित करने के लिए करेगा ।$X$$f(\cdot)$$Y$

उम्मीद है, यह छात्रों को यह देखने में मदद कर सकता है कि लोग इस प्रकार के प्रतिवादों के साथ कैसे आते हैं।

Answer 3

प्रतिपक्ष (यानी कड़ी मेहनत करने वाला छात्र) बनें! उस के साथ कहा:

मैं एक वास्तविक दुनिया उदाहरण के बारे में सोचने की कोशिश कर रहा था और यह पहली बार मेरे दिमाग में आया था। यह गणितीय रूप से सबसे सरल मामला नहीं होगा (लेकिन यदि आप इस उदाहरण को समझते हैं, तो आपको कलश और गेंदों या कुछ और के साथ एक सरल उदाहरण खोजने में सक्षम होना चाहिए)।

कुछ शोधों के अनुसार, पुरुषों और महिलाओं का औसत आईक्यू एक ही होता है, लेकिन पुरुष आईक्यू का विचरण महिला आईक्यू के विचरण से अधिक होता है। स्थूलता लिए, मान लीजिए कि पुरुष बुद्धि इस प्रकार करते हैं और महिला बुद्धि इस प्रकार एन ( 100 , अल्फा σ 2 ) के साथ अल्फा < 1 । आधी आबादी पुरुष है और आधी आबादी महिला है।$N(100, \sigma^2)$$N(100, \alpha \sigma^2)$$\alpha<1$

यह मानते हुए कि यह शोध सही है:

लिंग और IQ का परस्पर संबंध क्या है?

क्या लिंग और बुद्धि स्वतंत्र है?

Answer 4

हम एक असतत यादृच्छिक चर परिभाषित कर सकते हैं के साथ पी ( एक्स = - 1 ) = पी ( एक्स = 0 ) = पी ( एक्स = 1 ) = $X\in\{-1,0,1\}$$\mathbb{P}(X=-1)=\mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{3}$

और फिर Y = { 1 को परिभाषित करें ,$Y=\begin{cases}1,\quad\text{if}\quad X=0\\0,\quad\text{otherwise}\end{cases}$

यह आसानी से सत्यापित किया जा सकता है कि और Y असंबंधित हैं लेकिन स्वतंत्र नहीं हैं।$X$$Y$

Answer 5

यह प्रयास करें (R कोड):

x=c(1,0,-1,0);  
y=c(0,1,0,-1);  

cor(x,y);  
[1] 0

यह सर्कल के समीकरण से है$x^2+y^2-r^2=0$

$Y$ is not correlated with $x$, लेकिन यह कार्यात्मक रूप से निर्भर (नियतात्मक) है।

Comments

नमूना सहसंबंध शून्य का मतलब यह नहीं है कि सच्चा सहसंबंध शून्य है।

— mpiktas

@mpiktas यदि वे चार मान प्रायिकता 1/4 के साथ प्रत्येक में एक द्विभाजित वितरण का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो corशून्य पर लौटने वाला फ़ंक्शन शून्य के जनसंख्या सहसंबंध को इंगित करेगा।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

@Glen_b मुझे कोड पर बेहतर टिप्पणी करनी चाहिए थी। यह शायद सभी को पता न हो। आप अर्धविराम का उपयोग कर सकते हैं, मुझे लगता है कि यह आर में एक कोडिंग शैली के रूप में अनुशंसित नहीं है

— विश्लेषक

@Glen_b हाँ आप सही हैं। लेकिन यह नहीं बताया गया। अच्छा अवलोकन बी.टी.वी.

— mpiktas

Answer 6

एकमात्र सामान्य मामला जब सहसंबंध की कमी का तात्पर्य स्वतंत्रता से है, जब एक्स और वाई का संयुक्त वितरण गॉसियन है।

Comments

यह सीधे-सीधे एक सरल उदाहरण का निर्माण करके प्रश्न का उत्तर नहीं देता है - इस अर्थ में, यह एक टिप्पणी का अधिक है - लेकिन यह एक अप्रत्यक्ष उत्तर प्रदान करता है, इसमें यह संभव उदाहरणों के एक बहुत विस्तृत सेट का सुझाव देता है। यह इस पोस्ट को स्पष्ट करने के लायक हो सकता है कि यह कैसे मूल प्रश्न का उत्तर देता है।

— सिल्वरफिश

Answer 7

एक दो-वाक्य का उत्तर: असंबद्ध सांख्यिकीय निर्भरता का सबसे स्पष्ट मामला आरवी का एक गैर-रैखिक कार्य है, Y = X ^ n। दो आरवी स्पष्ट रूप से निर्भर हैं लेकिन अभी तक सहसंबद्ध नहीं हैं, क्योंकि सहसंबंध एक रैखिक संबंध है।

Comments

जब तक कुछ बहुत विशिष्ट वितरण के लिए नहीं $X$, आर.वी. $X$ तथा $Y=X^n$आमतौर पर सहसंबद्ध होगा।

— StijnDeVuyst

यह उत्तर गलत है। आर में: अभिव्यक्ति: {एक्स <- रनिफ़ (100); cor (x, x ^ 3)} परिणाम: 0.9062057

— जोश