2 डी सामान्य वितरण के त्रिज्या का नमूना वितरण

माध्य और सहसंयोजक मैट्रिक्स साथ सामान्य वितरण को त्रिज्या और कोण साथ ध्रुवीय निर्देशांक में फिर से लिखा जा सकता है । मेरा प्रश्न है: का नमूना वितरण क्या है , जो कि एक बिंदु से अनुमानित केंद्र की दूरी का नमूना covariance मैट्रिक्स दिया गया है ? $\mu$ $\Sigma$ $r$ $\theta$ $\hat{r}$ $x$ $\bar{x}$ $S$

पृष्ठभूमि: एक बिंदु से माध्य तक की सही दूरी एक होयट वितरण का अनुसरण करती है । Eigenvalues of , और , इसका आकार पैरामीटर , और इसका पैमाना पैरामीटर । संचयी वितरण फ़ंक्शन को दो मार्कुम क्यू-फ़ंक्शन के बीच सममित अंतर के रूप में जाना जाता है। $r$ $x$ $\mu$ $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ $\Sigma$ $\lambda_{1} > \lambda_{2}$ $q=\frac{1}{\sqrt{(\lambda_{1}+\lambda_{2})/\lambda_{2})-1}}$ $\omega = \lambda_{1} + \lambda_{2}$

सिमुलेशन से पता चलता है कि सही cdf में और लिए एस्टीमेट और में प्लग करना बड़े नमूनों के लिए काम करता है, लेकिन छोटे नमूनों के लिए नहीं। निम्न आरेख 200 बार से परिणाम दिखाता है $\bar{x}$ $S$ $\mu$ $\Sigma$

दिए गए ( -axis), (पंक्तियों), और quantile (कॉलम) के प्रत्येक संयोजन के लिए 20 2 डी सामान्य वैक्टर का अनुकरण करना $q$ $x$ $\omega$
प्रत्येक नमूने के लिए, देखे गए त्रिज्या की की मात्रा को मापने के लिए to $\hat{r}$ $\bar{x}$
प्रत्येक नमूने के लिए, सैद्धांतिक Hoyt (2D सामान्य) cdf से क्वांटाइल की गणना, और नमूना अनुमान और में प्लग करने के बाद सैद्धांतिक Rayleigh cdf से । $\bar{x}$ $S$

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जैसे-जैसे 1 आता है (वितरण वृत्ताकार हो जाता है), अनुमानित होएट क्वांटाइल्स अनुमानित राइले क्वांटाइल्स के पास पहुंच जाते हैं जो कि अप्रभावित रहते हैं । जैसे ही बढ़ता है, अनुभवजन्य मात्राओं और अनुमानित लोगों के बीच अंतर बढ़ता है, विशेष रूप से वितरण की पूंछ में। $q$ $q$ $\omega$

— कैरकल
स्रोत

प्रश्न क्या है?

— जॉन

@ जॉन मैं सवाल पर प्रकाश डाला: "[त्रिज्या] के नमूने वितरण क्या है , कि से एक बिंदु दूरी की है, अनुमान केंद्र के लिए नमूना convariance मैट्रिक्स दिया ?"

r

$r$

x

$x$

\bar{x}

$\bar{x}$

S

$S$

— काराकल

क्यों विपरीत ?

\hat{r}

$\hat{r}$

\hat{r^{2}}

$\hat{r^2}$

— 22

@ मैथी _ _ केवल इसलिए कि मैं जिस साहित्य के बारे में जानता हूं वह (सत्य) , न (सत्य) के वितरण से संबंधित है । ध्यान दें कि यह इस सवाल में चर्चा की गई महालनोबिस दूरी के साथ स्थिति के विपरीत है । बेशक, के वितरण के लिए परिणाम बहुत स्वागत होगा।

\hat{r}

$\hat{r}$

r

$r$

r^{2}

$r^{2}$

{\hat{r}}^{2}

$\hat{r}^{2}$

— कारकल

आप अपनी पोस्ट में उल्लेख किया है कि हम के अनुमान के वितरण पता हम दिया जाता है, तो तो हम अनुमान के वितरण पता सच की । $\widehat{r_{true}}$ $\mu$ $\widehat{r^2_{true}}$ $r^2$

हम जहां को कॉलम वैक्टर के रूप में व्यक्त किया जाता है।

\hat{r^{2}} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (x_{i} - \bar{x})

$\widehat{r^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^T(x_i-\overline{x})$

x_{i}

$x_i$

अब हम मानक चाल करते हैं

\begin{array}{rcl} \hat{r_{t r u e}^{2}} & = & \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{T} (x_{i} - μ) \\ = & \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x} + \bar{x} - μ)^{T} (x_{i} - \bar{x} + \bar{x} - μ) \\ = & [\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (x_{i} - \bar{x})] + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ) (1) \\ = & \hat{r^{2}} + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \widehat{r^2_{true}} &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^T(x_i-\mu)\\ &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x} + \overline{x} -\mu)^T(x_i-\overline{x} + \overline{x}-\mu)\\ &=&\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T(x_i-\overline{x})\right] + (\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu) \hspace{20pt}(1)\\ &=& \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu) \end{eqnarray*}$ जहां समीकरण से उत्पन्न होता है और उसका पारगमन।

(1)

$(1)$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (\bar{x} - μ) = (\bar{x} - \bar{x})^{T} (\bar{x} - μ) = 0

$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^T(\overline{x}-\mu) = (\overline{x} - \overline{x})^T(\overline{x} - \mu) = 0$

ध्यान दें कि नमूना सहसंयोजक मैट्रिक्स और केवल नमूना माध्य पर निर्भर करता है * । इस प्रकार हमने दो के योग के रूप में स्वतंत्र यादृच्छिक चर। हम और के वितरण को जानते हैं और इसलिए हम इसका उपयोग करके मानक चाल के माध्यम से किया जाता है विशेषता कार्य गुणक हैं। $\widehat{r^2}$ $S$ $(\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$ $\overline{x}$

\hat{r_{t r u e}^{2}} = \hat{r^{2}} + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$\widehat{r_{true}^2} = \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$

\hat{r_{t r u e}^{2}}

$\widehat{r^2_{true}}$

(\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$(\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu)$

जोड़ने के लिए संपादित:

$||x_i-\mu||$ Hoyt है तो इसमें pdf जहां है संशोधित Bessel पहली तरह के समारोह ।

f (ρ) = \frac{1 + q^{2}}{q ω} ρ e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ^{2}} I_{O} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ^{2})

$f(\rho) = \frac{1+q^2}{q\omega}\rho e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega} \rho^2}I_O\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega} \rho^2\right)$

I_{0}

$I_0$

0^{t h}

$0^{th}$

इसका मतलब है कि की पीडीएफ है $||x_i-\mu||^2$

f (ρ) = \frac{1}{2} \frac{1 + q^{2}}{q ω} e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ} I_{0} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ) .

$f(\rho) = \frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}\rho}I_0\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega}\rho\right).$

अंकन को आसान बनाने के लिए , और । $a = \frac{1-q^4}{4q^2\omega}$ $b=-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}$ $c=\frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}$

कार्य का पल उत्पन्न करने वाला is $||x_i-\mu||^2$

{\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s - b)^{2} - a^{2}}} & (s - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s-b)^2-a^2}} & (s-b) > a\\ 0 & \text{ else}\\ \end{cases}$

इस प्रकार क्षण भर का कार्य जनरेट करना is और के क्षण पैदा समारोह है $\widehat{r^2_{true}}$

{\begin{cases} \frac{c^{N}}{((s / N - b)^{2} - a^{2})^{N / 2}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^N}{((s/N-b)^2-a^2)^{N/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{else} \end{cases}$

| | \bar{x} - μ | |^{2}

$||\overline{x} - \mu||^2$

{\begin{cases} \frac{N c}{\sqrt{(s - N b)^{2} - (N a)^{2}}} = \frac{c}{\sqrt{(s / N - b)^{2} - a^{2}}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{Nc}{\sqrt{(s-Nb)^2-(Na)^2}} = \frac{c}{\sqrt{(s/N-b)^2-a^2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else} \end{cases}$

इसका मतलब है के क्षण पैदा समारोह है कि है $\widehat{r^2}$

{\begin{cases} \frac{c^{N - 1}}{((s / N - b)^{2} - a^{2})^{(N - 1) / 2}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else . \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^{N-1}}{((s/N-b)^2-a^2)^{(N-1)/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else}. \end{cases}$

व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन को लागू करने से उस का pdf $\widehat{r^2}$

g (ρ) = \frac{\sqrt{π} N c^{N - 1}}{Γ (\frac{N - 1}{2})} {(\frac{2 i a}{N ρ})}^{(2 - N) / 2} e^{b N ρ} J_{N / 2 - 1} (i a N ρ) .

$g(\rho) = \frac{\sqrt{\pi}Nc^{N-1}}{\Gamma(\frac{N-1}{2})}\left(\frac{2\mathrm{i} a}{N\rho}\right)^{(2 - N)/2} e^{b N \rho} J_{N/2-1}( \mathrm{i} a N \rho).$

— SomeEE
स्रोत

धन्यवाद! मुझे स्वीकार करने से पहले विवरण पर काम करना होगा।

— काराकल

\hat{r_{true}^{2}} \sim Hoyt

$\widehat{r^{2}_{\text{true}}} \sim \text{Hoyt}$ , और ? तब का चारित्रिक कार्य यहां बताए गए दो विशिष्ट कार्यों का गुणनफल है । जो वास्तव में मेरे प्रश्न का उत्तर देता है। क्या आप जानते हैं कि हम किस तरह उपयुक्त रूप से रूपांतरित कर सकते हैं, ताकि इसका वितरण तक पहुँच के बिना ज्ञात हो ? महालनोबिस दूरी की तरह, या यूनीवेट स्टेटिस्टिक?

| | \bar{x} - μ | |^{2} \sim N (0, \frac{1}{N} Σ)

$||\bar{x}-\mu||^{2} \sim \mathcal{N}(0, \frac{1}{N}\Sigma)$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

Σ

$\Sigma$

t

$t$

— काराकल

मैंने एक पूर्ण उत्तर के लिए अपनी प्रतिक्रिया संपादित की है। अगर आप सहमत हैं तो कृपया मुझे बताएं।

— SomeEE

बेनाम: मैं अज्ञात बारे में निश्चित नहीं हूँ । स्पष्ट बात यह है कि नमूना सहसंयोजक द्वारा "डिवाइड" को विभाजित करने की कोशिश की जाएगी, जो महालनोबिस दूरी के योग की तरह दिखाई देगा, अर्थात । दुर्भाग्य से यह योग हमेशा ।

Σ

$\Sigma$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^2}$

S

$S$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} S^{- 1} (x_{i} - \bar{x})

$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T S^{-1}(x_i-\overline{x})$

1

$1$

— SomeEE

उत्तर पर काम जारी रखने के लिए धन्यवाद! मुझे यकीन है कि के वितरण के बारे नहीं कर रहा हूँ । मैं इस विश्लेषणात्मक रूप से निपटने में सक्षम नहीं हूं, लेकिन का एक त्वरित सिमुलेशन तुलना में एक अलग वितरण देता है : आर सिमुलेशन कोड । हालांकि यह अच्छी तरह से हो सकता है कि मैं सही ढंग से पैराट्रिजेशन को नहीं समझता ।

| | x_{i} - μ | |^{2}

$||x_{i}-\mu||^{2}$

r^{2}

$r^{2}$

Γ (q, \frac{ω}{q})

$\Gamma(q, \frac{\omega}{q})$

Γ

$\Gamma$

— काराकल