क्यों एक से पहले विचरण को कमजोर माना जाता है?

Question

पृष्ठभूमि

विचरण से पहले सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले कमजोर में से एक, पैरामीटर (जेलमैन 2006) के साथ उलटा-गामा है ।$\alpha =0.001, \beta=0.001$

हालाँकि, इस वितरण में लगभग [3 \ times10 ^ {19}, \ infty] का 90% सीआई है $[3\times10^{19},\infty]$।

library(pscl)
sapply(c(0.05, 0.95), function(x) qigamma(x, 0.001, 0.001))

[1] 3.362941e+19          Inf

इससे, मैं व्याख्या करता हूं कि $IG(0.001, 0.001)$ एक कम संभावना देता है कि विचरण बहुत अधिक होगा, और बहुत कम संभावना है कि विचरण 1 P (\ sigma <1) से कम होगा । \ Alpha = 0.001, \ Beta | = 0.001) = 0.006$P(\sigma<1|\alpha=0.001, \beta=0.001)=0.006$ ।

pigamma(1, 0.001, 0.001)
[1] 0.006312353

सवाल

क्या मुझे कुछ याद आ रहा है या यह वास्तव में एक सूचनात्मक पूर्व है?

स्पष्ट करने के लिए अद्यतन , कारण है कि मैं इस 'जानकारीपूर्ण' पर विचार कर रहा था क्योंकि यह बहुत दृढ़ता से दावा करता है कि विचरण काफी बड़ा है और लगभग कभी भी मापा गया किसी भी विचरण के पैमाने से परे है।

अनुवर्ती अनुमानों की एक बड़ी संख्या का मेटा-विश्लेषण एक अधिक उचित पूर्व प्रदान करेगा?

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संदर्भ

जेलमैन 2006. पदानुक्रमित मॉडल में विचरण मापदंडों के लिए पूर्व वितरण । बायेसियन विश्लेषण 1 (3): 515-533

Comments

एक "सच" noninformative पूर्व एक वितरण नहीं है। इसलिए पी (सिग्मा <1) जैसी कोई पूर्व संभावना नहीं है।

— स्टीफन लॉरेंट

Answer 1

उलटा गामा वितरण का उपयोग, हम प्राप्त करते हैं:

$$p(\sigma^2|\alpha,\beta) \propto (\sigma^2)^{-\alpha-1} \exp(-\frac{\beta}{\sigma^2})$$

आप आसानी से देख सकते हैं कि अगर और तो उलटा गामा Jeffreys से पहले संपर्क करेगा। इस वितरण को "अनइनफॉर्मेटिव" कहा जाता है क्योंकि यह जेफ्रीज़ से पहले एक उचित सन्निकटन हैα → $\beta \rightarrow 0$$\alpha \rightarrow 0$

$$p(\sigma^2) \propto \frac{1}{\sigma^2}$$

जो कि स्केल पैरामीटर्स के लिए अनइनफॉर्मेटिव है , उदाहरण के लिए पेज 18 को यहाँ देखें , क्योंकि यह पूर्व केवल एक है जो स्केल के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तित रहता है (ध्यान दें कि सन्निकटन अपरिवर्तनीय नहीं है)। इस की एक अनिश्चितकालीन अभिन्न है जो दिखाता है कि यह अनुचित है अगर की सीमा या तो शामिल या । लेकिन ये मामले केवल गणित में समस्याएं हैं - वास्तविक दुनिया में नहीं। वास्तव में कभी-कभी विचरण के लिए अनंत मूल्य का निरीक्षण नहीं करते हैं, और यदि देखा गया विचरण शून्य है, तो आपके पास पूर्ण डेटा है!। के लिए आप बराबर निचली सीमा और बराबर ऊपरी सीमा सेट कर सकते हैं , और आपका वितरण उचित है।σ 2 0 ∞ एल > 0 यू < $\log(\sigma^2)$$\sigma^2$$0$$\infty$$L>0$$U<\infty$

हालांकि यह अजीब लग सकता है कि यह "अनइंफॉर्मेटिव" है, जिसमें यह छोटे लोगों को बड़े पैमाने पर पसंद करता है, लेकिन यह केवल एक पैमाने पर है। आप यह दिखा सकते हैं कि में अनुचित समान वितरण है। इसलिए यह पूर्व किसी अन्य पर किसी एक पैमाने का पक्ष नहीं लेता है$\log(\sigma^2)$

यद्यपि आपके प्रश्न से सीधे संबंधित नहीं है, मैं जेफ्री में ऊपरी और निचली सीमाएँ और को चुनकर "बेहतर" गैर-सूचनात्मक वितरण का सुझाव दूंगा, बजाय औरयू α $L$$U$$\alpha$$\beta$ । आमतौर पर सीमा क्या करने के लिए सोचा था की एक बिट के साथ काफी आसानी से स्थापित किया जा सकता वास्तव में असली दुनिया में मतलब है। यदि यह किसी प्रकार की भौतिक मात्रा में त्रुटि थी - L किसी परमाणु के आकार से छोटा नहीं हो सकता है, या सबसे छोटा आकार जो आप अपने प्रयोग में देख सकते हैं। आगे $\sigma^2$$L$$U$पृथ्वी (या सूर्य से बड़ा नहीं हो सकता है यदि आप वास्तव में रूढ़िवादी होना चाहते हैं)। इस तरह आप अपने निश्चरता गुण रखने के लिए, और उसके एक आसान पहले से नमूना करने के लिए: ले , और के रूप में तो नकली मूल्य σ 2 ( b ) = exp ( q ( b ) ) ।$q_{(b)} \sim \mathrm{Uniform}(\log(L),\log(U))$$\sigma^{2}_{(b)}=\exp(q_{(b)})$

Comments

+1 न केवल प्रश्न का उत्तर देने के लिए, बल्कि उपयोगी सलाह भी प्रदान करता है।

— whuber

$log(\sigma)$

$Beta_{2}(1,1)$$F_{1,1}$$Beta_{2}(0,0)$

— प्रोबेबिलिसलॉजिक

$[0,\infty]$$\sigma\sim exp(U(log(L),log(U))$$\sigma\sim U(L,U)$

— डेविड लेबॉउर

$(0, \infty)$$\alpha=1, \beta=1/2$

Answer 2

यह फ्लैट के काफी करीब है। इसका माध्य 1.9 E298 है, लगभग सबसे बड़ी संख्या एक डबल सटीक फ्लोटिंग अंकगणित में प्रतिनिधित्व कर सकती है। जैसा कि आप बताते हैं, इसकी संभावना किसी भी अंतराल को बताती है जो वास्तव में बहुत बड़ा नहीं है, वास्तव में बहुत छोटा है। इससे कम जानकारी प्राप्त करना कठिन है!

Comments

आपके विवरण के लिये धन्यवाद। मैं अभिसरण समस्याओं में चल रहा हूं और मुझे आश्चर्य था कि मेरे पास काम करने वाले चर में से कई हैं <1000 (यानी अगर कुछ> 1000 ग्राम है, तो इसे किलो में मापा जाता है), और संस्करण एक ही क्रम के बारे में हैं परिमाण। इसलिए, मुझे एहसास हो रहा है कि मुझे और अधिक पुजारियों की आवश्यकता है जो इस जानकारी को शामिल करते हैं, भले ही मुझे वास्तव में इसके मूल्य का अच्छा पूर्व ज्ञान नहीं है या यह कैसे विभाजित है।

— डेविड लेबॉउर

मॉडल के आधार पर, आपका पूर्ववर्ती इस पूर्व का उपयोग करते हुए अनुचित रूप से बहुत करीब हो सकता है

— जेएमएस