एक सामान्य नमूने से न्यूनतम आदेश सांख्यिकीय का अपेक्षित मूल्य

25 जनवरी 2014 को अद्यतन: गलती अब ठीक हो गई है। कृपया अपलोड की गई छवि में अपेक्षित मूल्य के परिकलित मानों को अनदेखा करें - वे गलत हैं- मैं छवि को नहीं हटाता क्योंकि इससे इस प्रश्न का उत्तर उत्पन्न हुआ है।

अद्यतन 10 जनवरी 2014: गलती पाई गई थी - उपयोग किए गए स्रोतों में से एक गणित टाइपो। सुधार की तैयारी ...

के संग्रह से न्यूनतम क्रम सांख्यिकीय का घनत्व $n$ आईआईडी साथ CDF निरंतर यादृच्छिक परिवर्तनीय और पीडीएफ है $F_X(x)$ $f_X(x)$

च_{{एक्स}_{(1)}} ({एक्स}_{(1)}) = n च_{एक्स} ({एक्स}_{(1)}) {[1 - {एफ}_{एक्स} ({एक्स}_{(1)})]}^{n - 1} [1]

$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = nf_X(x_{(1)})\left[1-F_X(x_{(1)})\right]^{n-1} \qquad [1]$

यदि ये यादृच्छिक चर मानक सामान्य हैं, तो

च_{{एक्स}_{(1)}} ({एक्स}_{(1)}) = n φ ({एक्स}_{(1)}) {[1 - Φ ({एक्स}_{(1)})]}^{n - 1} = n φ ({एक्स}_{(1)}) {[Φ (- {एक्स}_{(1)})]}^{n - 1} [2]

$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = n\phi(x_{(1)})\left[1-\Phi(x_{(1)})\right]^{n-1} = n\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}\qquad [2]$ और इसलिए इसका अपेक्षित मान

इ ({एक्स}_{(1)}) = n \int_{- \infty}^{\infty} {एक्स}_{(1)} φ ({एक्स}_{(1)}) {[Φ (- {एक्स}_{(1)})]}^{n - 1} घ {एक्स}_{(1)} [3]

$E\left(X_{(1)}\right) = n\int_{-\infty}^{\infty}x_{(1)}\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}dx_{(1)}\qquad [3]$

जहां हमने मानक के सममित गुणों का उपयोग किया है। में ओवेन 1980 ।, P.402, eq [ एन, 011 ] हम पाते हैं कि

\int_{- \infty}^{\infty} z φ (z) {[Φ (ए z)]}^{म} घ z = \frac{ए म}{(\sqrt{ए^{2} + 1}) (\sqrt{2 π})} \int_{- \infty}^{\infty} φ (z) {[Φ (\frac{ए z}{\sqrt{ए^{2} + 1}})]}^{म - 1} घ z [4]

$\int_{-\infty}^{\infty}z\phi(z)\left[\Phi(az)\right]^m dz= \frac {am}{(\sqrt {a^2+1})(\sqrt {2\pi})}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(z)\left[\Phi\left(\frac {az}{\sqrt {a^2+1}}\right)\right]^{m-1}dz\qquad [4]$

Eqs और ( , ) के बीच के मिलान मापदंडों को हम प्राप्त करते हैं $[3]$ $[4]$ $a=-1$ $m=n-1$

इ ({एक्स}_{(1)}) = - \frac{n (n - 1)}{2 \sqrt{π}} \int_{- \infty}^{\infty} φ ({एक्स}_{(1)}) {[Φ (\frac{- {एक्स}_{(1)}}{\sqrt{2}})]}^{n - 2} घ {एक्स}_{(1)} [5]

$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x_{(1)})\left[\Phi\left(\frac {-x_{(1)}}{\sqrt 2}\right)\right]^{n-2}dx_{(1)}\qquad [5]$

फिर से ओवेन 1980 में, पी। 409, eq [ n0,010.2 ] हम पाते हैं कि

\int_{- \infty}^{\infty} [\prod_{i = 1}^{m} Φ (\frac{h_{i} - d_{i} z}{\sqrt{1 - d_{i}^{2}}})] ϕ (z) घ z = {जेड}_{म} (ज_{1}, । । ।, ज_{म}; {ρ_{मैं जे}}) [6]

$\int_{-\infty}^{\infty}\left[\prod_{i=1}^{m}\Phi\left(\frac{h_i-d_iz}{\sqrt {1-d_i^2}}\right)\right] \phi(z)dz= \mathcal Z_m(h_1,...,h_m;\{\rho_{ij}\})\qquad [6]$

जहाँ मानक बहुभिन्नरूपी सामान्य है, युग्म-वार सहसंबंध गुणांक और । $\mathcal Z_m()$ $\rho_{ij}=d_id_j,\; i\neq j$ $-1\le d_i\le 1$

मिलान और हमारे पास है, , , और $[5]$ $[6]$ $m=n-2$ $h_i=0,\;\forall i$

\frac{घ_{मैं}}{\sqrt{1 - घ_{मैं}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow घ_{मैं} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \forall मैं \Rightarrow ρ_{मैं जे} = ρ = 1 / 3

$\frac{d_i}{\sqrt {1-d_i^2}} = \frac 1{\sqrt 2} \Rightarrow d_i = \pm \frac 1{\sqrt 3} \forall i \Rightarrow \rho_{ij} = \rho = 1/3$

इन परिणामों का उपयोग करते हुए, eq बन जाता है $[5]$

इ ({एक्स}_{(1)}) = - \frac{n (n - 1)}{2 \sqrt{π}} {जेड}_{n - 2} (0, । । ।, 0; ρ = 1 / 3) [7]

$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)\qquad [7]$

यह बहुभिन्नरूपी मानक सामान्य प्रायिकता सम-समरूप चर का अभिन्न अंग है , जिसका मूल्यांकन सभी शून्य पर किया गया है , इसने पर्याप्त जांच की है, और इसे प्राप्त करने और इसकी गणना करने के लिए विभिन्न तरीके देखे गए हैं। एक व्यापक समीक्षा (सामान्य रूप से बहुभिन्नरूपी सामान्य संभाव्यता अभिकलन की संगणना से संबंधित) गुप्ता (1963) है । गुप्ता विभिन्न सहसंबंध गुणांक के लिए, और 12 चर तक (ताकि यह 14 चर का संग्रह शामिल है) के लिए स्पष्ट मूल्य प्रदान करता है। परिणाम हैं (पिछले कॉलम गलत है) :

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अब अगर हम ग्राफ़ करें कि कैसे का मान साथ बदलता है , तो हम प्राप्त करेंगे $\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)$ $n$

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इसलिए मैं अपने तीन प्रश्नों / अनुरोधों पर पहुंचता हूं:
1) क्या कोई व्यक्ति विश्लेषणात्मक रूप से जांच कर सकता है और / या सिमुलेशन द्वारा सत्यापित कर सकता है कि अपेक्षित मूल्य के परिणाम सही हैं (यानी eq की वैधता की जांच करें )? $[7]$

2) यह मानते हुए कि दृष्टिकोण सही है, क्या कोई गैर-शून्य माध्य और गैर-एकात्मक विचरण वाले मानदंडों का समाधान दे सकता है? सभी परिवर्तनों के साथ मुझे वास्तव में चक्कर आ रहा है।

3) संभावना अभिन्नता का मूल्य आसानी से विकसित होता है। कैसे के बारे में यह कुछ समारोह के साथ सन्निकटन ? $n$

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

आपके परिणाम सही नहीं दिखाई देते हैं। यह बिना किसी गणना के देखना आसान है, क्योंकि आपकी तालिका में, आपका नमूना आकार साथ बढ़ता है ; स्पष्ट रूप से, नमूना का अपेक्षित मूल्य छोटा होना चाहिए (अर्थात अधिक नकारात्मक हो जाना ) क्योंकि नमूना आकार बड़ा हो जाता है। $E[X_{(1)}]$ $n$ $n$

समस्या वैचारिक रूप से काफी आसान है।

संक्षेप में: यदि ~ pdf : $X$ $N(0,1)$ $f(x)$

... तो 1 क्रम सांख्यिकीय का pdf (आकार नमूने में ) है: $n$

... समर्थन के डोमेन के साथ OrderStatफ़ंक्शन का उपयोग करके यहां प्राप्त किया गया mathStatica:

फिर, , लिए आसानी से प्राप्त किया जा सकता है: $E[X_{(1)}]$ $n = 1,2,3$

सटीक मामला लगभग , जो स्पष्ट रूप से -1.06 (आपकी तालिका की पंक्ति 1) के आपके कामकाज के लिए अलग है, इसलिए यह स्पष्ट है कि आपके कामकाज के साथ कुछ गलत है (या शायद आप क्या मांग रहे हैं, यह मेरी समझ है) । $n = 3$ $-0.846284$

के लिए , पूर्ण-सूत्र समाधान प्राप्त करने के लिए और अधिक मुश्किल है, लेकिन प्रतीकात्मक एकीकरण मुश्किल साबित होता है, भले ही, हम हमेशा संख्यात्मक एकीकरण (मनमाना परिशुद्धता के लिए आवश्यक होने पर) का उपयोग कर सकते हैं। यह वास्तव में बहुत आसान है ... यहाँ, उदाहरण के लिए, , नमूना आकार से 14 के लिए, Mathematica का उपयोग कर रहा है : $n \ge 4$ $E[X_{(1)}]$ $n = 1$

 sol = Table[NIntegrate[x g, {x, -Infinity, Infinity}], {n, 1, 14}]

{0., -0.56419, -0.846284, -1.02938, -1.16296, -1.26721, -1.35218, -1.4236, -1.48501, -1.53875, -1.58644, -1.22923, -1.66799, -1.70338}।

सब कुछ कर दिया। ये मूल्य स्पष्ट रूप से आपकी तालिका (दाएं हाथ के स्तंभ) वालों से बहुत भिन्न हैं।

एक माता-पिता के अधिक सामान्य मामले पर विचार करने के लिए, सामान्य नॉर्मल पीडीएफ के साथ शुरू करते हुए, बिल्कुल ऊपर की ओर आगे बढ़ें। $N(\mu, \sigma^2)$

— wolfies
स्रोत

जवाब के लिए धन्यवाद। दरअसल मैं भी देखा है कि कुछ सब -After संख्यात्मक परिणामों के साथ गलत है, उम्मीद मूल्य निरपेक्ष आकार में, बल्कि कमी की तुलना में वृद्धि करनी चाहिए, बढ़ जाती है। मैंने उत्तर को छोड़ दिया, यह देखने के लिए कि क्या मैं किसी भी उत्तर से कुछ अंतर्दृष्टि प्राप्त कर सकता हूं। मैं अभी भी सैद्धांतिक स्तर पर खोज कर रहा हूं जहां वास्तव में गलती है, संदिग्ध पहला समीकरण जिसका मैं ओवेन से उपयोग करता हूं (क्योंकि दूसरे को अन्य स्रोतों से सत्यापित किया गया है) ... वैसे, क्या आप जांच सकते हैं कि क्या यह ईक में है मेरी पोस्ट (एक स्टैंड-अलोन परिवर्तन के रूप में) सही है? मैं आभारी रहूँगा।

n

$n$

4

$4$

— एलेकोस पापाडोपोलोस