स्वतंत्रता के लिए संयुक्त एमजीएफ पर आवश्यक और पर्याप्त स्थिति

मान लीजिए मैं एक संयुक्त पल पैदा कार्य हो CDF के साथ एक संयुक्त वितरण के लिए । है दोनों एक आवश्यक और पर्याप्त $M_{X,Y}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y)$ $M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ और की स्वतंत्रता के लिए शर्त ? मैंने कुछ पाठ्य पुस्तकों की जाँच की, जिनमें केवल आवश्यकता का उल्लेख किया गया है: $X$ $Y$

F_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) \cdot F_{Y} (y) ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t)

$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t)$

यह परिणाम स्पष्ट है क्योंकि स्वतंत्रता का अर्थ । चूंकि मार्जिन का एमजीएफ हमारे द्वारा संयुक्त एमजीएफ द्वारा निर्धारित किया जाता है: $M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$

X, Y independent ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

लेकिन ऑनलाइन सर्च करने के बाद, मुझे केवल एक क्षणभंगुर संदर्भ मिला , जो बिना सबूत के, कनवेंस को । निम्नलिखित स्केच प्रूफ काम करने योग्य है?

एक संयुक्त MGF को देखते हुए , यह विशिष्ट रूप से और के सीमान्त वितरण और उनके MGFs, और निर्धारित करता है। $M_{X,Y}(s,t)$ $X$ $Y$ $M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$ $M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$ । अकेले marginals कई अन्य संभावित संयुक्त वितरण के साथ संगत कर रहे हैं, और विशिष्ट रूप से एक संयुक्त वितरण, जिसमें निर्धारित और , स्वतंत्र हैं CDF साथ और एमजीएफ: $X$ $Y$ $F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$

M_{X, Y}^{ind} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

$M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$ $X$ $Y$

— silverfish
स्रोत

हां, यह स्वतंत्रता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है न केवल दो यादृच्छिक चर के लिए, बल्कि यादृच्छिक चर के (परिमित) अनुक्रम के लिए भी। Rinaldo B. Schinazi द्वारा सांख्यिकीय अनुप्रयोगों के साथ प्रायिकता के पृष्ठ 242 पर उदाहरण के लिए पी 2 देखें। या काउंट डेटा के इकोनोमेट्रिक एनालिसिस का पेज 259 जो प्रायिकता जनरेटिंग फंक्शन पर आधारित है। बस ध्यान दें कि "पल उत्पन्न करने वाला फ़ंक्शन हमेशा मौजूद नहीं होता है"।

— स्टेट
स्रोत

ठोस रेफ के लिए धन्यवाद। हां, यह बताने के लिए सावधान था कि मूल एमजीएफ को शुरुआत में दिया गया था और यह प्रदर्शित करने की कोशिश करने के लिए कि किसी भी अन्य एमजीएफ को मैंने परिणाम के रूप में अस्तित्व में रखने से पहले मुझे इसके साथ कुछ भी करने की कोशिश की थी! आपके संदर्भ में कौन सी प्रूफ रणनीतियों को नियोजित किया गया था?

— सिल्वरफिश

क्या आपने अपने 1 संदर्भ में पी 2 के ठीक बाद पैराग्राफ पढ़ा?

— स्टेट '

आह हाँ - यह वैक्टरों के लिए मेरे सुझाए गए प्रमाण का विस्तार है। एमजीएफ के साथ दिए गए वितरण के एमजीएफ की तुलना स्वतंत्र घटक थे; क्योंकि वे एक ही हैं और MGFs विशिष्ट संयुक्त वितरण का निर्धारण, संयुक्त वितरण है स्वतंत्र है।

— सिल्वर फिश