सहसंबंध गुणांक सूत्र को कैसे समझें?

क्या कोई मुझे पियर्सन सहसंबंध सूत्र को समझने में मदद कर सकता है? नमूना $r$ = चर $X$ और के मानक स्कोर के उत्पादों का मतलब $Y$ ।

मुझे यह समझना है कि उन्हें $X$ और को मानकीकृत करने की आवश्यकता क्यों है $Y$ , लेकिन दोनों z स्कोर के उत्पादों को कैसे समझा जाए?

इस सूत्र को "उत्पाद-पल सहसंबंध गुणांक" भी कहा जाता है, लेकिन उत्पाद कार्रवाई के लिए तर्क क्या है? मुझे यकीन नहीं है कि मैंने अपना प्रश्न स्पष्ट कर दिया है, लेकिन मैं केवल सूत्र को सहज रूप से याद रखना चाहता हूं।

correlation descriptive-statistics pearson-r

— हारून लू
स्रोत

आप "सहसंबंध गुणांक को देखने के लिए कागज" तेरह तरीके पढ़ना चाहते हो सकता है "(रोडर्स एंड निकेवांडर 1988)। जैसा कि शीर्षक का अर्थ है, यह सहसंबंध गुणांक के तेरह अलग-अलग सहज विचारों पर चर्चा करता है। तो उम्मीद है कि कम से कम एक क्लिक करेंगे :)

— अर्ध-पास

13 तरीके यहां

— देखे

सहसंबंध (जेड स्कोर के उत्पादों के मामले में) को समझने का एक 14 वीं तरह से समझने के लिए नीचे आता है सहप्रसरण मानकीकृत चर की, के रूप में पर सचित्र stats.stackexchange.com/questions/18058/... ।

— whuber

... और एक 15 वां तरीका आंकड़े पर दिखाए गए हलकों का उपयोग करता है ।stackexchange.com /a / 46508 / 919 : एक न्यूनतम-वर्ग फिट मंडलियों के कुल क्षेत्र को कम करता है (ऐसा करने के कम से कम दो तरीके हैं जब अंक करते हैं ठीक लाइन अप नहीं) और सहसंबंध गुणांक तब उनका औसत क्षेत्र है (जब दोनों चर मानकीकृत होते हैं)।

— whuber

सादे भाषा में सहसंयोजक क्या है

— kjetil b halvorsen 12

टिप्पणियों में, सहसंबंध गुणांक को समझने के 15 तरीके सुझाए गए थे:

रॉजर्स एंड निकेन्डर लेख (अमेरिकी सांख्यिकीविद, फरवरी 1988) में चर्चा किए गए 13 तरीके हैं

रॉ स्कोर और मीन्स का एक फंक्शन,

$r = \frac{\sum (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})}{\sqrt{\sum {(X_{i} - \bar{X})}^{2} {(Y_{i} - \bar{Y})}^{2}}} .$ $r =\frac{\sum\left(X_i - \bar{X}\right)\left(Y_i - \bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum\left(X_i-\bar{X}\right)^2\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}}.$
मानकीकृत कोवरियन,

$r = s_{X Y} / (s_{X} s_{Y})$ $r = s_{XY}/(s_Xs_Y)$
जहां नमूना सहप्रसरण और और नमूना मानक विचलन कर रहे हैं। $s_{XY}$ $s_X$ $s_Y$
प्रतिगमन रेखा का मानकीकृत ढलान,

$r = b_{Y \cdot X} \frac{s_{X}}{s_{Y}} = b_{X \cdot Y} \frac{s_{Y}}{s_{X}},$ $r = b_{Y\cdot X}\frac{s_X}{s_Y} = b_{X\cdot Y}\frac{s_Y}{s_X},$
जहां और प्रतिगमन लाइनों की ढलानों कर रहे हैं। $b_{Y\cdot X}$ $b_{X \cdot Y}$
दो प्रतिगमन ढलान का ज्यामितीय मतलब,

$r = \pm \sqrt{b_{Y \cdot X} b_{X \cdot Y}} .$ $r = \pm \sqrt{b_{Y\cdot X}b_{X\cdot Y}}.$
दो भिन्नताओं के अनुपात का वर्गमूल (भिन्नता के लिए अनुपात का हिसाब),

$r = \sqrt{\frac{\sum {(Y_{i} - \hat{Y_{i}})}^{2}}{\sum {(Y_{i} - \bar{Y})}^{2}}} = \sqrt{\frac{S S_{R E G}}{S S_{T O T}}} = \frac{s_{\hat{Y}}}{s_{Y}} .$ $r = \sqrt{\frac{\sum\left(Y_i - \hat{Y_i}\right)^2}{\sum\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}} = \sqrt{\frac{SS_{REG}}{SS_{TOT}}} = \frac{s_\hat{Y}}{s_Y}.$
मानकीकृत चर के माध्य क्रॉस-उत्पाद,

$r = \sum z_{X} z_{Y} / N .$ $r = \sum z_X z_Y / N.$
दो मानकीकृत प्रतिगमन लाइनों के बीच कोण का एक कार्य। दो प्रतिगमन रेखाएँ ( बनाम और $Y$ $X$ $X$ बनाम ) विकर्ण के बारे में सममित हैं। दो पंक्तियों के बीच के कोण होने दो । फिर $Y$ $\beta$

$r = \sec (β) \pm \tan (β) .$ $r = \sec(\beta)\pm \tan(\beta).$
दो चर क्षेत्र के बीच कोण का एक कार्य,

$r = \cos (α) .$ $r = \cos(\alpha).$
मानकीकृत स्कोर के बीच के अंतर का एक विकृत संस्करण। दे मानकीकृत के बीच का अंतर हो सकता है और प्रत्येक अवलोकन के लिए चर, $z_Y - z_X$ $X$ $Y$

$r = 1 - s_{(z_{Y} - z_{X})}^{2} / 2 = s_{(z_{Y} + z_{X})}^{2} / 2 - 1.$ $r = 1 - s^2_{(z_Y - z_X)} / 2 = s^2_{(z_Y+z_X)}/2 - 1.$
"गुब्बारा" नियम से अनुमानित,

$r \approx \sqrt{1 - (h / H)^{2}}$ $r \approx \sqrt{1 - (h/H)^2}$
जहाँ , पूरे स्कैल्पलॉट की वर्टिकल रेंज है और " एक्सिस पर डिस्ट्रीब्यूशन के केंद्र " (यानी साधनों के माध्यम से) है। $H$ $X-Y$ $h$ $X$
इकोसेंट्रेशन के बीवरिएट एलिप्स के संबंध में,

$r = \frac{D^{2} - d^{2}}{D^{2} + d^{2}}$ $r = \frac{D^2 - d^2}{D^2 + d^2}$
जहां और क्रमशः प्रमुख और मामूली अक्ष लंबाई हैं। भी समोच्च ऊर्ध्वाधर अक्ष को पार करता है बिंदु पर एक आइसोकोन्ट (मानकीकृत निर्देशांक में) की स्पर्शरेखा रेखा के ढलान के बराबर होती है। $D$ $d$ $r$
डिज़ाइन किए गए प्रयोगों से टेस्ट सांख्यिकी का एक फ़ंक्शन,

$r = \frac{t}{\sqrt{t^{2} + n - 2}}$ $r = \frac{t}{\sqrt{t^2 + n-2}}$
जहां एक दो स्वतंत्र नमूने में परीक्षण आंकड़ा है दो उपचार शर्तों के साथ एक तैयार किया गया प्रयोग के परीक्षण (के रूप में कोडित और) $t$ $t$ $X=0, 1$ $n$ दो उपचार समूहों में टिप्पणियों की संयुक्त कुल संख्या है।
दो साधनों का अनुपात। सामान्यता का अनुमान लगाएं और चर का मानकीकरण करें। कुछ मनमाने ढंग से बड़े मान का चयन की । फिर $X_c$ $X$

$r = \frac{E (Y | X > X_{c})}{E (X | X > X_{c})} .$ $r = \frac{\mathbb{E}(Y\,|\,X\gt X_c)}{\mathbb{E}(X\,|\,X\gt X_c)}.$

(इसमें से अधिकांश शब्दशः है, कुछ संकेतन में बहुत मामूली बदलाव के साथ।)

कुछ अन्य विधियाँ (शायद इस साइट के लिए मूल हैं)

हलकों के माध्यम से। मानकीकृत निर्देशांकों में प्रतिगमन रेखा का ढलान है। इस रेखा को विभिन्न तरीकों से चित्रित किया जा सकता है, जिसमें ज्यामितीय वाले भी शामिल हैं, जैसे कि रेखा और डेटा बिंदुओं के बीच एक स्कैप्लेट में खींचे गए कुल क्षेत्रफल को कम से कम करना। $r$
आयतों को रंगने से। कोवरियनस का आकलन एक स्कैटलपोट में आयतों को रंग कर किया जा सकता है (जो आयतों के हस्ताक्षरित क्षेत्रों द्वारा होता है )। जब स्कैप्लोट को मानकीकृत किया जाता है, तो कुल शुद्ध हस्ताक्षरित रंग की शुद्ध राशि - । $r$

— व्हॉबर
स्रोत

धन्यवाद, @Avraham, इस अनुत्तरित सूत्र को यहाँ एक उत्तर पोस्ट करके कुछ बंद करने की कोशिश करने के लिए।

— whuber