अधिकतम संभावना अनुमानक - विश्वास अंतराल

मैं उस पैरामीटर के लिए MLE से शुरू करते हुए एक वास्तविक पैरामीटर के लिए एक असममित आत्मविश्वास अंतराल का निर्माण कैसे कर सकता हूं?

— फैब्रिजियो
स्रोत

इस समस्या से

मैंने देखा वहाँ बहुत व्यापक रूप में इस प्रश्न को बंद करने के वोट हैं, लेकिन है MLEs की asymptotic व्यवहार है कि संक्षेप में कहा जा सकता है के बारे में एक सामान्य प्रमेय। मैंने एक उलटे जवाब में कहा कि मैं बाद में थोड़ा विस्तार करूँगा।

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

इस तथ्य का उपयोग करें कि आकार की एक iid नमूने के लिए , कुछ नियमितता की शर्तों को देखते हुए, MLE , सच्चे पैरामीटर का एक सुसंगत अनुमानक है , और इसका वितरण asymptotically Normal है, जिसे पारस्परिक रूप से निर्धारित किया जाता है। फिशर जानकारी: $n$ $\hat{\theta}$ $\theta_0$

\sqrt{n} (\hat{θ} - θ_{0}) \to N (0, \frac{1}{I_{1} (θ_{0})})

$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}-\theta_0\right) \rightarrow \mathcal{N}\left(0,\frac{1}{\mathcal{I}_1(\theta_0)}\right)$ जहाँ एक एकल नमूने से फिशर जानकारी है। MLE देखी गई जानकारी आशा की गई जानकारी को समान रूप से देती है, इसलिए आप (95% कह सकते हैं) विश्वास अंतराल की गणना कर सकते हैं

I_{1} (θ_{0})

$\mathcal{I}_1(\theta_0)$

I (\hat{θ})

$I(\hat{\theta})$

\hat{θ} \pm \frac{1.96}{\sqrt{n I_{1} (\hat{θ})}}

$\hat{\theta} \pm \frac{1.96}{\sqrt{nI_1\left(\hat\theta\right)}}$

उदाहरण के लिए, यदि एक शून्य- तो आप MLE (जिसे आपको संख्यात्मक रूप से गणना करना है) के संदर्भ में अवलोकन की गई जानकारी के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं: $X$

f (x) = \frac{e^{- θ} θ^{x}}{x! (1 - e^{- θ})}

$\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\newcommand{\d}{\operatorname{d}}f(x) = \frac{\e^{-\theta}\theta^x}{x!(1-e^{-\theta})}$

ℓ (θ) = - θ + x \log θ - \log (1 - e^{- θ})

$\ell(\theta)=-\theta+ x\log\theta -\log(1-\e^{-\theta})$

\frac{d ℓ (θ)}{d θ} = - 1 + \frac{x}{θ} - \frac{e^{- θ}}{1 - e^{- θ}}

$\frac{\d\ell(\theta)}{\d\theta} = -1 +\frac{x}{\theta} - \frac{\e^{-\theta}}{1-\e^{-\theta}}$

I_{1} (\hat{θ}) = - \frac{d^{2} ℓ (\hat{θ})}{{(d \hat{θ})}^{2}} = \frac{x}{\hat{θ}} - \frac{e^{- \hat{θ}}}{{(1 - e^{- \hat{θ}})}^{2}}

$I_1\left(\hat{\theta}\right)=-\frac{\d^2\ell\left(\hat\theta\right)}{\left(\d\hat\theta\right)^2} = \frac{x}{\hat\theta} - \frac{\e^{-\hat\theta}}{\left(1-\e^{-\hat{\theta}}\right)^2}$

नियमितता की शर्तों को छोड़कर उल्लेखनीय मामलों में वे शामिल हैं जहां

पैरामीटर डेटा के समर्थन को निर्धारित करता है, जैसे शून्य और बीच एक समान वितरण से नमूना $\theta$ $\theta$
नमूना आकार के साथ उपद्रव मापदंडों की संख्या बढ़ जाती है

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका
स्रोत

क्या यह विधि अनमॉडिफाइड लागू होती है, जब , जैसे बाधाएं हैं ? पैरामीटर , लिए एक MLE के बारे में ऐसा क्या है जो कि [ और ?

θ

$\theta$

θ \in [0, 1]

$\theta \in [0, 1]$

N

$N$

θ_{i}

$\theta_i$

i = 0, . . ., N - 1

$i=0,...,N-1$

\sum_{i = 0}^{N - 1} θ_{i} = 1

$\sum_{i=0}^{N-1} \theta_i = 1$

θ_{i} \in [0, 1]

$\theta_i \in [0,1]$

— quant_dev

अगर , यानी सही मूल्य सीमा में से एक के बराबर नहीं है।

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0, 1)$

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

यदि और, इसका मतलब यह नहीं होगा कि सामान्य सन्निकटन लागू नहीं है और मुझे अधिक नमूनों की आवश्यकता है?

θ \in (0, 1)

$\theta \in (0,1)$

σ (\hat{θ}) > | \hat{θ} |

$\sigma(\hat{\theta}) > |\hat{\theta}|$

— क्वांट_देव

हां, यह केवल एक अस्वाभाविक आत्मविश्वास अंतराल है।

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

@quant_dev: नहीं: आप उस पैरामीटर के परिवर्तन के लिए देखेंगे जो सामान्य सन्निकटन को सभ्य बनाता है - या किसी अन्य विधि का उपयोग करता है।

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका